Anti-Demidovich (Lyashko I.I., i dr.). Tom 3. Kratnye i krivolinejnye integraly (2001)(ru)(T)(224s) (940508), страница 16
Текст из файла (страница 16)
" + Р, + Ц [ '- о Г(Р!)Г(Р2) Г(Р л-!) й( ) Г(Р! +Рз + '' ' +Р -! + 1) Г(уч) ' ' ' Г(рт-2)Г(рт)Г(Р! + ' ' ' + Рт-! + 1) Г(Р2)Г(Р2) ' ' Г()3 ) Г(Р! + +Р ~-! 4 цГ(Р! + ''' +Рт+1) Г(Р2+Р2+ ''' +рт+1) Ыетодом математической индукции формула Дирихле доказана. В Упражнения для самостолтельиой работы Последовать иа сход~мость несобственные интегралы: 34 У = О к-'-'.Ут~-"-У, е = ((х, У) б к~: хз+ Уз < 1), 0 < т < [22(х, У)[ < м, (х, У) б е.
Об у т,о Жал"д. Е = ((х у) б И': О < х'+ у' < 1] О < т Ч [Ю(х у)! Ч М. (х, у) б Е ««г=Шгкллг«2"-;-";ЛЧГ. с-!!.Р, ° ! а':«.О, ОЛ'«*«.Ь 0 < пз ч [Г(х, Р, 4~ < М. (х, Р, 2) б Е, ьл, гз -- непрерывные иа сегменте [О, д] функции, Зт. 1т Щ Гл — '.„Лф. Е =]О, Ци]0, Цх]0, Ц. Вычислить несобственные интегралы: 38. 1 т О ~~~к, Е т ((х, у) б 14к; х ) 1, гу > 1), р > О, д > О. к 112 Гл. 2.
Кратные и криволинейные интегралы 39. 1= Ц вЂ” з — "$11, Е=((х, у) б!й~)аз+уз >1). 40. 1=Це 1*+"!)Ь)(у, Е=((к,у)6Й) !Оъя~(у). 41. 1 = Ц е 1* +" 1соз(х + у ))зх)(у. зи 42. Цехр( — ( — )+ЕЫ)))(тау, Е=((е у)бм ! 1+Ь, >1),а>0,6>0. 43. Д ту ехр ) — (~, + 21 — Уз + ""ьз ) ) )Ь )Гу, 0 < Ц < 1. аз 44. Ц!и-э Ыхду, Е=((х, у) ба'10(х +у (1). ъ'"'+ аз !!1~, )=11,„, )зз': ')г.)*'х !.
Е 46. Шг !' +" +' !1Ь ду)Ь. аз з з 47. Ще 1*!' ' 111(х) Ыхзь!Ез где Р(х), хз, хз) = ~ 'С а„г;х), а,) = а), — положив! =1)=1 тельно-определенная квадратичная форма. 40. Доказать обобщенную формулу Дирнхле г .г). -г( — ') Е Г Гх+ -+ — "+1 1 )а / гдеЕзе хб!й~!е)>0,1=1,)а. ~ ( — ') <1 .а;>О,о,>О,р,>0. 1 49. Доказать формулу Лиувилля )) т ( ьь ~ ) х; хг)! ... Ег ' Ых) ... )Ь = " ) ьь(и)аг)ь 'ьг ' Ни. г!»1+ , еа ) Е =1 ь Е= лба )х))0, 1=1,)п, ~ х,(1,р,>0, 1=1;)п, =1 в предполо:кении абсолютной сходимосги интеграла в правой части равенства. ~ 3. Приложение кратных интегралов к решению задач геометрии и физики 3.1.
Вы и!слепне меры множества. лзмерпмого по Уиордапу. Если Е -- жорданово ьгножество (см.определение 4, п.1.4), то его жорданоеой мераб дЕ (нли пз-мерны)1 объемом) называется интеграл дЕ = На. Р= Од*4„. Е (2) При га = 2 жорданоаа мера множества называехся его площадью и обозначается через Р. В этом случае алов к ещепкю звдач геометрии н физики 8 3. Приложение кратным интегралов к рещ Из формул ($) получаем — 1 1 +1 (8) 1в=1 э+ хг+ еР= кеюоз полю щявощенк» тела Т в точке 1/ьющояоеэ/я яещеямяаюея, илк яощеямкеюоз полю (х у„х) называется интеграл Ф 4ЕЙ4С .(, к, *) = Щ (б, , С) †, т (10) г е (с,, С) — обьемная плотность тела, т = Материальнал точка массы пз притя гивавт Г Г, Г иа оси к силой Г, проекции которой Г., Г„, г иа Ох, Оу и Ох выражаются формулами Г = т — = тпг Ш ю(с, э, ь) —, дх т 9 у,С г Гз ж т — = т» юИ, О, () —,, дади т С-,б,„ Г*=т — =т ю(Е э 0 — „, дпдз дг Рнс.
з т где т — гравитационная постоянная. з аны уравнениями: Найти площадк плоских фигур Ю, края которых заданы ур 57. (х +у ) = а (х ° — — 2а хз — у~), хз+утжа (х +у ))а ). пения края компакта Ю в виде и Перейдя к полариым коорди натам р и о,получки уравнения края ао осяой фигуры, ограниченном 3 3 'Г еб втсз вычислить площадь плоско" р = 2а сов 2р к р м а . 'Гребу са а, лежащей вие круга радкучастью лемнискаты Верку лзм и частью окрулсностм радиуса а, леж (, -") ется одной нз четырех точек са а (рис. 8). Легко убедиться в тоы что точка (а, -) являет я е симметрию фигуры, плопересечеиия лемиискаты с окру о жностью. Принимал во внимание площадь равна учетверенной щадь которой требуется найти, приходи ду, м к вызо, что искомая площади фигуры х Рв ((Ю~ Ф) ЕМ: а < Р< (а~/2~о~2У, 0 <~ У ~ <-) .
Согласно формуле (2), п.3.1, имеем в Мтгаг Ле в Й 33т3 х 3 Р =4 ЫР рЫр м 2а (2сов2у — 1)вСсг = 2з (из2р — р)~ = — е . Ь '=+ в в в о8. (» — у)г + хг = аг, е > О. е аб,в„ Р аосаой фиг рм воспользуемся рещением примера полагая там 1(х, у) = 1. При этом получим а г+~/аг-гг а а Р= ах -! Ь-г //Р:"Рис,=4/ /г:*'а. в Ч г-~/аг-г Полагая в квтеграле с м щчзщ —,, кмеем Р саз/ соэзтдС= 2аз/ (1+озэ2С)дС= 2ез СЬС+ — ~) =за, В в в ! л.
2. Кратные и крпиолииейиьае митетралы 1!б 59. (хз + уз)з = 8азху, (х — а)з + (у — а)з = аз (а > О, (х — а) + (у — а) «( а ). Н Требуется вычислить площадь общей части круга 1) = ((х, у) Е 1с~ ! (х — а~~ + (у — а) ( а ) и компакта К = ((х, у) б йз ! (ха+ у ) ( 8азху). Пересечение зтнх множеств В г) К аежмт в первом квадранте плоскостм хОу (рис. 9). Переходя к полярным координатам, получим представленке мколсесгва 1) г) К в виде 0 г) К = ((р, )р) Е)й ! а ((ат р+сов)р) — )/вэвг!э) ( — з 2 8 4 2 < р < 2а „/мп 2)р — агсмп — < )» < — + — агсэгп— 8) Принимая во внимание симметрию точек множества З т К относительно луча )р = †, получим 3»!/э!» 2т / рбр = аЯгзт 2!»+ 2(вт )э + сов и))/зэв 2)э — 1) Ыкэ = [(эы»+с э»)-э!а!в за),,М Ркс. 9 =Дб,б„ж / „ поп э = а (соа ~агса1в -г! — — + — агсип -~ + 2а (зт и+ сов)с)э,/згп 2)»~БР.
8!' 4 2 вг' ! . 1 — мсэт— 2 э Приминая во внимание равенства и произведя в интеграле замену переменной !р+ — = г, получим э э~- соа 21 сйп Г !й З,/7 Р = а — — — агссоз — + 2)э2 8 2 8 —,!- а»вЂ” Вычпслмм э' - мсс ° 2 ( э/ !=!се /,--.--Ыэ.~э - )с,/ь-!с! ! ээс! т!. — +и ! После замены переменной )/2 сов! = юв х имеем ° сэ!» »ч зЖ 1 = 2 соз х !4х = асса)в — + —. 2 2Я 8 » Таким образом, з /т/7 . эГ7 1 1~ Р = а — + агснв — — — агссоз -) . ~ г гМ' г 8,7' 11 / 1 )/ВЗ З /7 соа(агЫт -~ = ) ) 1 — — = — = —, — — + - агсвт - ж — - )1 — — агсаэп -г! = -- агссоз- В/ ')/ 84ж В = В ' 4 г В В/ 2 8 Гл.
2. Кратные и ьсриволинейиые интегралы 118 з — ( — зщ з Исозь ьь+ — зщз осоз з Зь+ — мпесозЬз 2/(,Ьь Ьь Ьз Ьз о 62. ~- + -) ьз — — — х > О, у > О, а > О, Ь > О. /х у1ь х у '1а 6) йз йз ' М В интеграле Р и ЫхИу и произведем заыену переменныл по форььулам 2 2 х = ерсоз уч у = 6Рзш ьь Тогда уравнение кривой, являющейся частью края аоььпакта В, приыет внд а сов ьь Ь ип~ ьь где — > О. Ь Нз условий х > О, у > О, ~гбзь~ < ь,ь — „имеем 0 » <ьь»< агсгб ьь —,.
После замены перемеинык ьь аь перейдем от двойного ььнтеграла к повторному. Прн этом получиы а зыбь у' ьь а ььььа Ь ь|ь н % л ьь Р = 2а6 ип ьзсов рЫе Р~ЬР = ь ь lьз аиы ь,ь— '1ь' ьл с 3 1г 2 з О ь'з ь . Ь .ь 1 аЬь'а ь Ь ь = оЬ / — соз ьь зщ ьь — — з1а ььсозьь Ньь = — — соз ьь+ — мн ьь 62 Ьз ( 0~6з ь -ь~/.ь — — 1 — соз ьхстб — „— — мп агсгб Р= Ыхйу и переменные по формулам хз = ау, хз = еуз, получим а(а(6, с(»э<И, х а з . у=а е, ' =а е з -ь з -з 2'(х у) ь -ь ~Э(а. е) ~ (хак как соз(агсгбо) = —,— '-, з1п(агс10о:) = -ь ).
й аз+ *' ,/1~а~ 63. хз = ау, хз = Ьу, хз = суз, хь = ю1уз (О < а < Ь, О < с < Н). ч Иэ уравнений границы области видно, что она лежит в первом квадранте. Заменяя в интеграле б 3. Приложение кратных интегралов к решению задач геометрии н физики 119 ь а «=Ц'.-'г.г.-)"г ) г - — Сь' — "11.-'-г-'1. 18 аь <Ь сд«дз В4. у = ахз, у = Ьз", у = схч, у = с)хч (О < р < у, 0 ( а < Ь, 0 < с < й).
1 1 1 1 М Запишем уравнения края компакта Р в виде у = ах"г у = Ьх", х = с чу«, х = с) чуч н в интеграле о 1 произведем замену переыеннык по формулам у = их«, х = зу ч, задающим взаимно однозначное соответствие ыелсду точками прямоугольника 1 11 Р'м (и,з)ЕИ са(и(бг3 ч (з(с ч ьг 1 ч ьч ~ ) в+1 М «+1) Ра», Ьа ч и компакта Р. Поскольку х = ич-«»ч-«г у = ич-»«ч-» ~-а.".азс~ = ч ич з» ч-з, то ~ ос», «] ~ ~-р ь ч з+1 р ~(ч+1) Р = — / ич-»йи / з ч-«йз = Ч:,— Ч Р у — р./ ./ (р+ )НО+1) 2 г 65.
(-*)'+ ®' =1, Н'+ ®' =6, — = с «+1 Ч+1«ь У Зчь ЗЬ1', Ь.—. — а.=.) ~ — — й ~-»~.) у х у —,8-=-, х>0. у>0. Ь а Ь М В интеграле Р = О ах сгу заменим переменные согласно формулаьг х = ар сов )г, у = з о Ьрзьаз зь. Тогда — = ЗаЬрйа )с сох с«, 1 ( р ~ (8, агс281 ( и ( агс282, 2)(х у) . г Р(р,т) = г М2 а сьх2 Р = Заб зьн усов тьер / рЫр = — а6 / згв )«сов )ргбгр = 2 2 189 . 2 2 2 гссь 1 1 гсь21 агсьз 2 агс12 2 189 Г , 2 189 = — а6 / з!л 22гсЬьР = — аб г/ (1 — созб)с)ьЬЬ«= 8 / 18 ° 111 ° Мь 189 с' г, г ьаг«1221 189 г 1 б 1 = — а61 агс282 — агс281 — ма)гсоз)р(соз и — ма )г)~ ) = — аб~згсгб — + — ) .
)ь 1б 111) 1б с 3 25) что ) оГ„«) ) = )с). Таким образом, имеем Р = — Ц ь)гс йс = )с). В )оы к)( 1 1 о' с«6. Найтн ПЛОщадЬ Обяаетн Р, ОтраинЧЕННОй ЗЛЛИПСОМ, ЗадаННЫМ ураВНЕНИЕМ (аьХ + Ьгу+ сь) +(агх+ бгу+ сг) = 1, где б = агЬ2 — агЬ1 ~ О. »2 В интеграле Р с» О Входу произведем замену пере»сенных по формулам аьх+ Ьгу+сг = о и, агх+ Ьгу+ ь = », отобралсающим круг Р' = ((и, е) Е мг 1 из +»2 < 1» на область Р.
Используя известное своиство якобиана, выраженное формулой ~» =, получаем, ос»,«) »1».с о1»,'з) ГОО Гл. 2. Кратные и криволинейные интегралы Применяя форлвулу (4), п. 3,1, вычислить объемы тел, ограниченных новерхностямн, заданными уравнениями: 6Т. ° = +у', = ', =1,«л«0. и Тело Т, объем 1«которого требуется вычислить, представляет собой замкнутое множество Т=Ц* у )ОИз:-1<х<1.х'<у<1,0<«<хг+уг). Согласно формуле 14), п.3.1, имеем (х +у )йхйу, Р= Цх, у) ЕИ:)х~(1, хг (у(1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
