Anti-Demidovich (Lyashko I.I., i dr.). Tom 3. Kratnye i krivolinejnye integraly (2001)(ru)(T)(224s) (940508), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Приложение кратиыи интегралов к решению задач геометрии и физики 145 Считая, что диаметр шара является отрезком осн Ох и применяя одну из формул (7), п.З.З, найдем » з» с=" Ц/ /?,»„*ь',„7»ь»а —" /.» в»1») /и,= тг» 111 тгз 1 т о е з 2то»г 1 з 1 з /1 3 1 зГ(з) Г(2) 4 г — ащз 0 ٠— гага в ~ 2~ — югз з — щгг Зтгз ( 3 2' 3 Г(2+-') 9 о 120. Доказать, что момент инерции тела Т С йз относительно оси (, проходящей через его центр тяжести О = (О, О, 0) и образующей углы о, ф, у с осями координат, определяется по формуле 1~ =1 соа а+ 1»соз,б+1»соз 7 — 2К»гсозасов,б — 2К»»созпсоз7 — 2К»,соз/) соз7, г з 3 где 1, 1„, 1 — моменты инерции тела относктельно осей г) координат (см. формулы (7), и,З.З) и К„з — — ~~~ луп(х, у, х) Зхау4», г К»» = Ц~ ххн(х, у, х) ЗхЗЗ~Ь, т Кз» ш ~~~ ухи(х, у, х) <ЬЗуих т — центробежные моменты. Х и Найдем квадрат расстояния от точки М = (х, у, *) тела до прямой ! (т.е. до точки Ю вЂ” проекции точки М Рис.
Зз на прямую (, рис. 13). Пусть г ш (х, у, х) — радиус- вектор точки М, а е — орт прямой 1. Очевидно, е = (соха, сох й, сов 7), 4~ = )г(~ — (г, е), где (г, е) — скалярное произведение векторов г и е. Приикмая во внимание равенства )г)* ш х + у +», (г, е) ш х сох о+ усох,б+ хсоз7, созз а+ соз~ д+ соз~ 7 = ), имеем а (х + у + х )(Ом ю + соз П + соз 7) (х соз и + у соз ф + х с(м 7) = (у +х ) соз а+(х +х ) соз /»+(х +у ) созе 7-2ху сов асозй — 2ххсозосоз7 — 2ухсозл сох 7. Пусть п(х, у, х) — плотность вещества тела Т. Из определения момента инерции тела относительно некоторой осн (см.
формулу (6), п.3.3) следует равенство 1~ = 4 п(х, у, х)йх494». т Подставив в интеграл найденное выше значение а~ и пользуясь свойспюм аддитивности тройного интеграла, получим доказываемую формулу. 3» 121. Найти момент инерции относительно начала координат однородного тела Т плотности Пе, ограниченного поверхностью, ззданноя уравнением (х + у + х ) = а (х + у ). ч Применяя формулу (3), п.З.З, получим 14б Гл, 2. 1»ратные и криволинейные интегралы Перейдем и интеграле к сферическим координатам по формулам (7), п.1Я. Очевидно, О «( В < т. 0 < р < 2т, О ( р ( а мв В. После замены тройного интеграла повторнылг найдем а 2 2 «И В 2 о Г . о 2 , Ру 11 уо т Ври ~о)вВВВ / 412 3( р Ыр= -кроа 3( мп ВЫВ ы -т доз В (-, -~ = — роа .
)ь 5 )' б '12' 2) б о о о о 122. Найти ньютонов потенциал з точке Р = (г, у, 2) сферического слоя Т = ((с, О, л) б Нз 1 т, < ~ + лз + сг ( тз)1 если плотность д ио г'(т), где у — известная функция, т оо /~2 + 02 + лт2 М Повернем систелгу координат так, чтобы ось ОС) системы координат ОС)г))Л) проходила через точку Р. В новых координатах сферический слой является мноя'есгволг точек, определяемым неравенствами т) (» С) + О) + Л) ( то. по которому будем интегрировать, применяя 2 2 2 2 2 формулу (10), п.3.3.
Писем г(иг)+., +1)) ) ' )=.'")= Ш а а '-)6-*) 24124, 24со(,1 Перейдем к сферическим координатам по форлгулалг (2), п.1.8. Легко убедиться в тол), что О ( В ( т. О»( ло » <2т, г) » (р ( тз. Принимая это во внимание и переходя к повторному интегралу, получим 2.г à — ~У(~) (р+ — ~ р — ~) "р = ° / 1 Стл тт Р 2 Ответ мололо записать в более компактной форме. Если р > т. то — > р; если р ( г, то в2 — ' < р.
Поэтому 2 и(т, у, 2) = 42 ~ пцп —. р у(р) Вр. В 1 Упрагкнения для самостоягельяой работы Найти площади плоских фигур, ограниченных кривыми. заданнымн уравнениями) 50. (х + у — ах) = а (хг + у ), х + уз = аь)зу (внутри ка:кдой лз кривых), 51. (хо+ уз) = азха+ бзуз. 52.
х'+у та 2азху. 53. У— , + ДГ ио *— , + Ду. о Л) Ы Ы' 54. (-*+-"„) =-* — д,у>О, 55. (д+д) = — „*,,у>0,а>0.6>0. 2 2« ми ВВВ ), . *) = 1гг).)2+./ — 1 11 1 1 в=. = 2)г р~У'(р) -l' а)2 рт 1 в=о 4яу р)(р) Вр, если р > т, 11 — ) р у(р)ар, если р ( т, 1 63. Прпловкеиие кратиыл интегралов к решению задач геометрии и фмяики !41 88. хг = ау, хг = Ьу, у = та, у = и (О < а < Ь, 0 < ос < а). 89.
у =а — 2ах.у =Ь вЂ” 26х,у =юг+2шх,у —.-и +2пг (О<го<и.Осе< 6) 60 (хг+уз)г а(хз Охуг) а > О 61 (ха+уз)г хг+ уз 2, ) 0 у > О 62. (д+ ) «а.*+. 63. х+у=а,з+у=Ь,уг«о«.у«с гг (О<а<6,0<о . 56 64. 1у=+,Д = 1, /~+ Я = 2, -* = я 4'- = д (а > О, Ь > О), С полющью двойных интегралов иайти объемы тел. ограниченных поверхностями, задан- ными уравнениями. Об. я+у+2=а,ха+у =62,2=0.
(а>ЬЧ2). 66. хггг+а у =с х2,0<т<а. 67. у + гг = х, х = у (х > О). 68. г = ип(х + уг), г ш О, ах < х + у < (и + 1)х. 69. х +у =о«2,х +у =ах(г>0). 70. 2(х+у)=ах+Ьу,г=0.1<х +у <4,(х>О.у>О,а>0,6>0). 71. (~~-+ ЯВХ) + 3 = 1, г > О. 72. «2 = 2ху.
(~~+ дат~ = --Р (х > О. у > О. г > О). 73. г = хл/х + у /у, х + у = 1 (х > О, у > О, г > 0). ( + 6) + сг 1 1„+ ~6) (у>0 г)0) уз=аз — 2ах уз=глг+2лсх,у=О г=О. Нюши площади: 76. Части поверхности 5 = ((х, у. г) е Из: а» = ху). заключенной внутри цилиндра 52 = ((х, у, г) е Р; хг+ у = а . г 6 Р). 77. Части поверхности 5 = ((х, у.
2) е Из: хг + уг + гг = а ), расиолощеиной вне цилиидров 52 =((х, у. 2)ЕИ:х +у =ах.гйИ). 52=((х,у, г)ЕИ сх +у =-ах. гб И), а>О. 78. Часты поверхности 5 = ((х, у. 2) е Рз: хг+уз = 2аг). заключенной внутри цилиндра 52 = ((х. у, «) Е И: (хг + у ) «а 2а ху, г е И). 79. Части цилиндра 5((х, у, г) 6 Из: хг+ уг ш а, г Е Р). вырезанной плоскостями, заданными уравнениями х+ г = О. х — х = О (х ) О, у ) О). з 80. Части поверхности 5 = (х, у, г) еИ~ '.
(хг+ у )2 + г =1 . отсекаел2ой плоскостью хОу. 81. Части поверхности 5 = ((х. у, г) 6 Из: (-, + Ц + —" = 1), вырезанной плоскостяьиг, заданными уравнениями х = О, у = О. 2 = О. 3 82. Части поверхиости 5 = ((х, у, ) Е И: — — дь- = 22~, вырезаииой поверхностью а ((х'у г)еИ '«+ ьг 1 г 0) 3 «2 «2 83.
Части поверхности 5 = ((х, у, г) Е И: —, + —, = 22 '(, заключенной внутри цплии- «Л 2 -" =( " " (- ") ----'"") С помощью тройных интегралов найти объемы тел, ограниченных поверхностями. заданиыми уравиеииями: 84 (х2+уз +г2)з з(ха+уз+ 3) )0 ) 0 ) О 88 (х2+~2)24 га аз(х у) 2 2 *Л С лз / 2 2 2 26 ;г 66.
(8+" +«) =8+3 — —,х>О,у>О,х>0. а 6 с) В Л' 89. (а2х+62у+ с2«) +(агх+ Ьгу+ сгг) = 1, азх+Ьзу+ сзг = ю16, где ос 62 с2 аг Ьг сг ф0. аз Ьз аз 148 Гл. '2. Кратные и криволинейные интегралы (хз + уг + хг)з 91. х + уг + хг = а, хг + у + хг = Ь, х + уз = зг (х > О, 0 < а < Ь). l г з гьг гг г г г 96.
( — +р) +(-) =1,х>О,у>О.х>0, 97.,«иэог+ Я+ Льугт = 1, х > О, у > О, х ~ )О. 98. (х + у + з ) Найти координаты центров тяжести однородных пластинок Р С Р, ограниченных крпг выпи, заданными уравненияьт: 99. х' + у' = хгу. 100. (-+ д) = щь, 101.;/х +,гу =;/ащ х = О, у = О. 102. (-+ 8) = —,".
1.03. (хо + у ) = 2а ху, х > О, у > О. Найти моменты инерции 1 и 1„относительно осей координат Ох и Оу однородных пластинок Р С В~. ограниченных кривымн. заданиымн уравнениями; 104. —,* + д = 1, — + д = 1, у = О (Ьг > О. Ьг > О, Ь > О). 108. р = а(1+ сов ьг).
106. х' + у' = а (хг + уг). 107. ху = аг.. ху = 2а, х = 2у. 2х = у (х > О, у > О). 108, Найти лзолгент инерции правильного треугольника со стороной а относительно пря- мой, проходящей через центр тяжести треугольника и составляющей угол о с его высотой. Найти координаты центров тяжести однородных тел. ограниченных поверхностялги, за- данными уравненняьщ: 109. Лг(хг + у ) = а з", 0 < г < Ь. 110. ха + у + зг = а, хг + уг = ах. 111. -т + У- = -'.
- + Д = ~1, - — К = Ы, - = О. 112 хг+хг аг уг+ „г аг (з>О) 113 ха+уз 2з х+у Определить моменты инерции относительно координатных плоскостей однородных тол, ограниченных поверхностями. заданныып уравнениями (параметры положительны); г * г г г г 114.
г + ьь =,г: ' = ' 118. —: + ы +,г = 1 «г + ьг 116. — + — = 2-;. — „+ — = —,. «* з г ьг ' ь 117. Найти ньютонов потенциал в точке Р = (О. О, з) цилиндра Т = ((б, Л, ь) Е Вг: с~+ пг «( га~. О ( л «( Ь) постоянной плотности рь. 118. Найти силу притяжения однородным шаровылг секторолг плотности рс материальной точки с массой, равной единице, помещенной в его вершине, если радиус шаровой поверхно- сти равен г, а угол осевого сечения сектора равен 2о. ~ 4.
Интегрирование на многообразиях 4.1. Многообраззгя в евкпидовом пространстве йю и нх ориентация. Определение 1. Лбножсслгво 31 С гл~ наэыеастсямногообразисм роз.иерности р «( и . пранаб.гежащгьн классу С', если для каждой точки а = (аг,..., а ), а Е ЛХ, и некоторой окреспгности 5(а, б) существует окрестносгпь 5(ар, бг) точки ар —— (ап ..., ар) и тако« отображение Ьг: 5(ар, бг) — Л1 гг 5(а, б) класса С'. что ьгэ(ар) = аэ. у = р+ 1. т, причем координаты гпочек х Е Л1 гг 5(а, б) удовлетворяют уравнениям хэ — — Ьгэ(хр) = Ьгэ(хэ, ..., хр), хр Е 5(ар, бг), 1 = р+ 1, т. (1) Определение 2. Параметрическим представление н множества Л1 С Ию размерности р «(т, принадлежащим классу С, называется отображение и ь йл(и) открытогс множества С С мо в пРостРанство И™г обладающее следУющими свойспгвоми: 1) й яеллемся со.ггсозгорфиззгозг О на И; 2) йь «ьлягнн я отобз «л«нисм лг — гл«', принодяьмощнлг классу Сг; $4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
