Anti-Demidovich (Lyashko I.I., i dr.). Tom 3. Kratnye i krivolinejnye integraly (2001)(ru)(T)(224s) (940508), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Найпт координаты центра тяжести контура однородного сферического треугольника Я = Ь(х, у, з) Е !л ". х + у + з = а . х )~ О. у В 01 з В 0). 4 Сферический треугольник однороден, в силу чего имеем 1 У хс = — / х й!. ус = — / у 41, зс = — / гй1, з где; — контур треугольника, тл = -та — его длина.
В плоскости уОт выполняется тоткдество х = О. поэтому где;1 — часть кривой э . леясащая в плоскости хОу, Зэ — та ее часть, которая леконт в плоскости хОг. Еривые П н;з можно задать соответственно параметрическими уравнениями х = асозго, у та аз!вот х асозтЬ, у оо азтв то причем а! = а4от на;1 и а! = арф на тз. Поэтоьгу т о з з бз .тп созэо1Ьтт+ созй4тЬ 111 о о 2а 4а пэ Зтт Аналогично, ус = зс = — ° ьа Эт' 133. Найти статические моменты дуги; однородной астронды, заданной уравнением 2 з з хо + уз = аз, х )~ О, у ) О, относительно осей координат.
ч Воспользуемся формулами 114), п.4.3, полагая в ннк ргх, у) = 1. Записав параметрические уравнения астроиды в виде х ж а созз з, у = аз!и" ! (О ( ! ( -) и принимая во внимание зг решение примера 123, имеем з Лтт —— За соз тз!л гт!! = -а, ° з ь . 3 $ о !ЬГ = За з!л зсозгт!г= -а з о 3 о т" х а з х — у(х) с!т — Ых = — ~ сй — 4х тл а пт/ а о о .Ь вЂ” )/ — (Ь+ .Ь- Ь-) (О < Р < — ") 1 (о<В < — "), 1бг Гл. 2, Кратные и криволинейные интегралы л34.
Найти момент инерции однородной окружности ! = Цх, у) б Ж~: х + уз = аз) относительно ее диаметра. и Момент инерции однородной окружности ", соопадает с ! нли 1т (свь. формулы (14), пА.З), если систельа координат хОу выбрана так, ьто диаметр окружности; является отрезком оси Ох, а начало координат совпадает с централь окружности. Принимая во внимание однородность окру'кности т, имеем 2» 1=1,= ~уьНыа ( а!и рь!от=та о (прн вычьклении интеграла вощюльзовались параметрическими уравиениялпь окружности х = а соя ьь», у = о ми уь 0 ~< р < -'.
и равенством ь!! = и ь!р). > 'ль35. Найти полярный момент инерции 1о ье (з + у ) ьт! относительно точки О = (О, 0) однородного контура квадрата ", = ((х, у) б Р: щах()х!, /у/) = а). м Контур квадрата; образован отрезкальи прямых, заданных уравненивми у = на, х = жа.
Если х = каь то х + у~ = а + у~, -а < у < аь ь!! = ь!у. Если же у = жа, то х +у =х +а,— а<х(~а,ь!1=ь!х. Заменив криволинейный интеграл 1о соответствующим интегралом Рььмана. получим ь.=г )ь.*»тьь„ь /ь.*».'ьь.) = — ".'. 3 136, Найти моменты инерции относительно координатных осей одного витка однородной винтовой линии з, ; = ((х, у. х) б И: х = а соз !. у = азьп !. х = —, О < ! ( 2л (, 2х' Ч Обозначив через т, тт, т. расстояния от точки М = (х, у. х).
лежащей на однородной кривой -ь, до соответствующих осей координат, моькем написать формулы для вычисления моментов инерции; 1 = /т~а1, 1„=~от!, 1,= ~тза1, » Воспользуемся очевидными равенствами т = у + х, то — — х + х, т, = х + у; следова- л 2 2 2 2 з 3 х 2 о 2 ° 2 л ь 2 3 2 л ь 2 о тельно, т, = а нп !+ —.т, тг ж а соя г+ --~-, т, ж а . Поскольку ь!1, 2ьт то о (('сг ' ) =( — 'Ь вЂ” )Л о 144 Гл. 2. Кратные н нриволннейиые интегралы 2 1 1 сову соя 212 сох ир 1 4'г = — 11 (1+ — + — + ... + — + ...САУ = —, 1 'л о о а" l о ' о 1(о.) = 4х 1п и + С, С = 1(1) = О, 1(и) = 4т 1и а, и(х, у) я — 2хЯк 1п Я вЂ” 2хВк!в — = 2зЯк 1и —.
> р 1 Я р Вычислить следующие хрнволинейные ггнтегралы второго рода. взятые вдоль указанных кривых в направлении возрастания параметра; 138. 1 = (х — 2ху) гСх+ (у — 2ху) Иу, где г = ((х. у) б И~; у = хз. )х( ( 1). ч Воспольэуелщя формулой (7), пА.З. где роль параметра с играет переменная х. подставляя в подыитегральное выражение у = х о Иу = 2х ССх, получаем лгнтеграл Римана 2 1га (х — 2х +2х — 4х )ах = — —. > 1 2 з л о 14 15 -1 139. 1 = (2и — у) Нх + хну, где ", — арка пихлоиды, заданной уравнениями х ох а(С вЂ” яп С), у = а(1 — соз С), О ( С ~ (2т. ч На кривой т выполняется равенство (2а — у) Ых + хну = (2а — а(1 — сов г)) й(а(С вЂ” яп С)) + а(С вЂ” яв С) а(а(1 — сои г)) = а Сз!а СССС. Применив формулу (23), п.4.3, получим 2е 1 = и / Со1пСМ = иэ (Ссозг( +з!и С (о ) = — 22га .
И о 4х+Ыу 140. у (х) + )у)' , где АВСВА — контур квадрата с вершинами А = (1, О), В = ЛВСВ С (О,Ц, С=(-1,О),В=(О,— Ц. Ч Из свойства аддитивности хриволннейного интеграла следует равенство С' Нх+гСу С 3х+Ыу С ССх+гСу 1 гСх+сСу l 1*~+Ь('.( (*(+Ь~'./ ~*(+(у! './ (*(+Ы ЛВ ВС СВ ВС На отрезках АВ н СЮ выполняются соответственно равенства х+у = 1 и х+у = -1, Нх+ ССу = О, откуда следуез.
что хриволинейные интегралы на этих отрезках равны нулю. На отрезках ВС и ЮА соответственно имеем у — х = 1 и у — х = — 1, Ну = 4х, (х(+ (у! = 1. Если (х, у) б ВС, то х убывает от О до -1, если (х, у) б ЮА, то х воэрасгает от О до 1. Следовательно, -С 1 х 2/2 + С'2 — 222 о. ° 141. Доыазать, что для криволинейного интеграла справедлива оценка Р(х, у) ах +С1(х, у) Иу 1* Интегрирование нк миогообрааких « — «« ° х ««нд«)«сч* «) 1в, з)ач м Вез ограниченна общности можно счктвть кривун«у главкой (если т — кусочноглвдква криваа, то интеграл можно представить в виде суммы интегралов по гладким кривым). Согласно определению криволинейного кктеграаа второго рода, имеем Р«1х+Ябу м ~(Х, т) 41, l где Р = (Р, 9), т — единичный касательный вектор к кривой т. Из оценки ~(Х, г) ~ < ~Г! = 1/Ф + 11г получаем неравенство Р«1х+ Ябу ( Рг(х, у) +Чг(х«у) 41( щах Рг(х, у)+ Чг(х, у) й = ЬМ.
> (в у)л'« 1«42. Оценить интеграл 1к =, где т = ((х, у) Е Ы «х + у = К ), 1 (хг+ ту+ уг)г ' Доказать, что 1пе 1к = О. и +ю Ч Длл оценки интеграла воспользуемсз неравенством, доказанным з предыдущем примере. Здесь г -х (х«у) ( г+ + г)г«ч(х«у) ( г+ + г)г /хг .~. уг ««ив, юТ~ е~ , з -, „„, г,, Следовательно, 1и ( 2хК щвх ,/вг~„г розга«Г* +-в+в 1 Приняв во внннакке параметрические уравнение окружности х = Ксозм, у = Казв«, О ( гг ( 2х, получим оценку ,~'г 4.уг 1 4 лгвх г г г — — гках Оьэ)е'«(х +ту+ у ) зсвсг к (1 + Яви с«мв) к которая следует из неравенства 1 4 ~( 4, О ~ в«( 2в'. (««.
° ° г Р+Ъ~ Р Окончательно получаем оценку (1л( ( -т, кз которой следует предельное соотношение йш л = О. ° и +«в Вычислить криволинейные интегралы второго рода: 143. 1 = /(у — з)бе+ (х — х)бу+ (х — у) «1х«где т — окружность, получеинаа в гвезуаьтате пересечекиа сферы я = ((х, у, з) Е Йз г хг+у +зг аг) и плоскости Яг, заданной уравнением у = х гбо, нробегаемвл в иаправлплии против хода часовой стрелки, есаи смотреть Рпс, 1$ со стороны по«кхкитеаьных х. м Окрхкогвсть т с центром в иачвае кооРДниат Леипгт в паосаости 8«, и ее рахите раасн е. Пусть Ф вЂ” угол мел«ду радиусом окружности н пуамей, Мгцанмей уравиепниык У «в х гб в, х ж Гл.
2. Кратные м крмаелимеймпы мптегралы 166 О (рис. 16). Тогда можем нараметрмэовать окружмость т сладук»пнзм обраэоас а ыасоапсоау, у=амаосоэу, з ы амиу (О 4 у 4 2з ). Прмводя криволинейный ммтеграл а нмтегралу Рммаиа, получим г 1 = а з~(созо — маа)Ну = 242та юа (- — и) . р ье Р изкодим г 1 = а 1» (юа у — 2 ми у) Ыу = з Г ° г ° з з(В(1 2),й(1 б)) з(т ут) та 145. 1 = („',') бл+ (,' — аг) ~(у+ (а' — у*) бз, где т — контур, который огвзаиичнвает часть сферы Я = ((я, у, з) Е Кз: лг + уз + з = 1, з ~ )О, у ) О, з ) О), пробегаемый так, что вмешиял сторона этой поверхности остается слева.
м Представим интеграл иа ориентированной кривой в вмде суммы интегралов мо ориентированным кривмм т»ч з' 1, 2, 3, ампбзпнм в иоордмматнык нлосаастик [рмс. 16). Как»лая ири„эаа т» представляет О»бой чепэергь Рнс. 26 144. 1 = ~ уг»Ь + зэку+ зг»Ь, где т — часть кривой Внвиаим у = 8, г» Я», Я» = ((с, у, з) Е К; з + у + зз = а ), яг = ((з, у» з) Е К*: аз+ уг = ас), з ) О, пробегаеызл против хода часовой стрелки, если смотреть с положительной части (з > а) оси Оз.
ч Переходя к полярмым коордмиатам, получим уравнение кривой Внамьмн в анде 3' зд р=асозу, з= »)аг — рз (- — «(у«( — ). Прннммал во вимманме зто уравнение и зыбмрая в качестве параметра полярный угол у, имеем г l з = а соз у, у = ампу сазу, з = а~илу~ ~(ф ( -) . 2) Для вычисления крмвоаимеймого интеграла 1 приведем его к интегралу Рнмама, вычисаив зиачемме аодыктегрального выражемня в точкзл параметризованной кривой т. Получим бт ю 2аиа усовубу, Иу = а(созз у-мазу)Иу, Ыз = збпу(всосу)бу, у-„З О, уг бз+ згбу+ аз 3з = а»(-2з1аз усоа» у+ей»г у — 2 мазу+ ада усоззу) бу, у гз О. Принимая во викмаиис равенство з г (-2 паз у соэз у+ зла уссез у) Иу = О, х = сов(о, у ж 21п ьо (О к (и ( — 1 ! 2/' получим 2 2 l г 2 1 з э 1.з 4 о(х — * Ну = — (з!в со+ сох )о)!((о = — 2 ззв ро((о = — —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
