Anti-Demidovich (Lyashko I.I., i dr.). Tom 3. Kratnye i krivolinejnye integraly (2001)(ru)(T)(224s) (940508), страница 21
Текст из файла (страница 21)
что ЕС вЂ” Р~ = .4~ + Вэ + С, в силу чего нмееьг гэ=,/Я+в +с а г. В случае явного задания поверхности о т ((х, у, г) б Я ; г т г(х, у), (х, у) б Р. Р С И ) (5) получаем аг а= дйэ эг дг 1 Ф(х, у) = (х. у, г(х, у)). — = 1. О,— а [,' 'ь)' Е= 1+ —, С= 1+ —, Р~ и Следовательно, (6) Пусть т = 3, р т 1, ", — ориентированная кривая, Элемент одномерного объема называется элсиеитом длины кривой ",.
Если координаты х, у. г точек кривой; являкмся функциями х(г), у(г), г(г) класса С, производные которых х (г), у (г). г (г) нигде одновременно не обращаются в нуль в области изменения параметра г, то элемент длины кривой 31(г) имеет вид гэ) =,цэ'вь э'(Хг = 41, () где й(Г) = (х(г). у(Г), г(г)) (в предполо:кении, что обход кривой т в положительном направлении соответствует возрастанию параметра 1).
4.3. Интегрирование на многообразии с краем. Криволинейные и поверхностные интегралы и их применении. Пусть К С М вЂ” многообразие с краем дК и К = зр(Р), где Р С О. О С К',— замкнутая область с гладкой границей дР, х ~ г(х), х б К, — ограниченная числовая функция. Определение 1. Если функция сз = э о й: Р И иптвгриругма по Римапу ~а множестве Р, то интеграл д(и) а1' (Н), и гдв гЬЕ(Н) — элсэ1гнгп р — мерного объема на многообразии М. называется и~тегралолг от функции э" ~а компакте К С М и обозначается у(х) аК.
к (2) Таким образом, низ ° лир. (3) К и При р = 1 интеграл (3) называется криввлинебпыи интегралом первого рода от функции 1 на гладкой кривой г = гу(Р), где Р = [а, 6) С Ьс, и обозначается / У(х) 41. (4) Ь 4. Интегрирование на многообразиях 163 и..., ««((=„'((ь((,г((>« =((ю((((« = Г(ф((('«, ° «««,- «'=! ь ~ У(х) М = ~ 1(й(4)) ~ ( — "„,'(!)) И. «=! (6) Если "( = ((х, у, г) б И: х = Ь«(!), у = «((!), г = Х(!)«а < ! < Ь), то ь у(х, у. г) д( = / ~[о(Ь), й(г), д(!)) (6) Если; = ((х, у) б р; х = р(!), у = р(!), а < ! < Ь), то ь у( .
«( «! = /( ( ( (, ° ('(( / '('( « «'( ( ь. Криволинейный интеграл первого рода не зависит от ориентации кривоп -,. Если р = 2. то интеграл (3) называется поеерхнос«иным ии«аггра.«о.н пграого рода от функции у на компакте К. Он не зависит от ориентации многообразия («! . При р = 2, «гь = 3 поверхностный интеграл первого рода обозначается )()(«ь«, (««. 5 (8) Если о = Ф(Х«), йь(и, е) = (х(и«ь), у(и, е), г(и, е)) «22 С Из, то, согласно форь«уле (4). п,4.2. и форлгуле (3) настоящего пункта«имеел! )««( ...(««х/(«((*( ° .
(, (, ! ( ((««а-«* (8) Если о=((х, у, х) бИ~(г=г(х«у),(х, у) ба«),то )«(( . *! =/('«и,. (,а ((х ду. (10) Теорема. Ингпеграл (3) ие заеисига от выбора парамгтризации многообразия й! . Поскольку интеграл на многообразии сводится к интегралу Римана, то он обладает свойствами интеграла Римана. Если кривая;. = гр([а, Ь)) кусочно-гладкая«то существует такое разбиение П = (гь = а««л, ..., ли «х Ь) сегмента [а. Ь]«что у = О 23. где 3; тг (Р([«(. «(ьл[) — гладкие кривые. Для «1 этого случая полагаем ! ~К*)дтпл ~н*) =ь Если поверхность йй = йл (О), О С Иг, не является гладкой, но существует .такое предо ставление О = [) О(, где О, — области в И! без общих внутренних точек, что каждое ! ! ниии естьи Ьу( = Ф(О,) является иоиерхностьв кльссь С'.
'«о л«нищ«ство а«будем называть 155 $4. Интегрирование на многообразиях где и — постоянная тяготения, т = (х — хо. у — уо, х — зо), г = [г] = (х — хо) + (у — уо) + (з зе) ° Моментам инерции 1ь материальной поверхности Я С И относительно осн Ол называл ется интеграл 1, = 0 (х + у )р(х, у, з) дб. з (19) Дадим определение криволинейных и поверхностных интегралов второго рода. Пусть ЛХ С Р вЂ” ориентированное многообразие размерности р < т класса С'. заданное в виде 61 = Ф(0)) С ь 66э) где Ф вЂ” отображение хласса С' области О в евклидова пространство Р . Если 61 — многообразие разл(ериости р = 1 и Э б )11, где 1 = Ф([а) 6])— гладкая кривая, то касательная ориентация этой кривой называется направлением ее обхода, а ноложительныя считается обход, при которол! вектор Ф'(Г) в каждой точке 1 б]а, 6[ является полол(ительным в сыысле ориентации в этой точке.
Поскольку кривая ", принадлея'ит классу С , то т [[Ф'(1)[[ э6 О тс й]а, Ь[, где ]]Ф (Г)[] = 6 (Ф';(Г))э. ! Пусть х )- Х(х). х б у, — вектор-функция с ограниченными компонеитал(и Г( (! т Гт), т(х) =,, = (созе, сола!, .... сова ) — единичный касательный вектор к крий1(16 вой Э в точке х = Ф(1)) 1 б]а, 6[, полояснтельный в смысле ориентации этой кривой.
Рассыотриы числовую функцию х )- (Х(х), т(х)), х б;, где (Х, т) — скалярное произведение векторов х и т ) и предположим, что существует криволинейный интеграл первого рода з')(х) дх! + г'2(х) дхэ + ° ° + г' (х) (1хы т (21) Исходя из определения криволинейного интеграла первого рода, получаем ь ь (г(*) ('))г' = 1 (г(ы)),, ) ((ь()(( = ( с л(ь())ь(( )ь, (н) Ф(1) ~, ' ][Ф'(1)П1 В ь если положительному обходу кривой э соответствует возрастание параметра и Таким образом, согласно определению, имеем ь 1) 2=к( ° л)(.; = / З ',г(ь(~))ь(())) г, ( ! а ) ! (29) Наряду с общил! криволинейным интегралом второго рода рассматривают также криволинейные интегралы частного вида Р((х) дх(. (24) Определение 2.
Интеэрал(20) называется общим криволинейным интегралом второго рода он! вектор-функции Х на орисмтироеаммой кривой 1 и обозначаеглся 4.4. Условия независнмостп криволинейного интеграла второго рода от выбора пути интегрирования. Если дифференциальная форма ы = Р(х, у) Нх + ч)(т. у) Ыу являетсл полным дифференциалом некоторой функции и, т.е.
в некоторой области, содержащей кривую ", = АВ, выполняется равенство Р Ых + Я Ну = Ыи, то интеграл Рдх+ Яду = и(В) — и(А) не зависит от выбора пути интегрирования, соединяющего точку А с точкой В. Если функции Р н Я определены и непрерывны вместе со сзоимн частными производныл|п и — в замкнутой односвязной области В С Р, а которой выполняется равенство зо еР э еэ ез ад дР д, ду (2) то дифференциальная форма с = Р дх+ Яку является полным дифференциалом некоторой функции и и криволинейный интеграл Рдх+ Яду (3) не зависит от выбора пути интегрирования пз точки А в точку В, лежащего в Р. Равенство (2) является необходимым п достаточным условнел~ независимости криволинейного интеграла (3) от пути интегрирования, лежащего в одиосвязной области Ю, Для того чтобы дифференциальная форма ы = Рдх + стоу+ Кдг была полным дифференциалом некоторой функции и в замкнутой односвязиой области К С И, необходимо и достаточно, чтобы в К выполнялись условия з дЯ дР дК дЯ дР дЛ (4) д* ду ' ду д.
' д д, ' В этом случае интеграл лВ не зависит от выбора пути интегрирования, если кривая з = АВ лежит в К. Если в односвязных замкнутых областях В С мэ и К С м~ выполняются условия (2) и (4), то Р(*, у) Ых + ьг(к, у) ду = лн, Р(х, у, з) ах+1>(х, у, л) Ну+ Я(х, у, з) дг = йи, а функции н и м можно найти по формулам Х з и(х, у) = ~ Р(Г, уо) дт+ / Я(х. 1) да + С, 3 4. Интегрирование на многообразиях 157 Криволинейный интеграл второго рода имеет физический смысл работы силового векторного поля Х, а поверхностный интеграл второго рода — потока векторного поля Х через поверхность Я. Заметиьп что криволинейные и поверхностные интегралы второго рода зависят от ориентации кривой э и поверхности Я: при изменении направления обхода кривой 1 и изменении трансверсальной ориентации поверхности 5 скалярные произведения (Р, т),(Г, и) меняют знаки на противополо'кные.
189 2 4. Интегрирование на многообразиях из которых получаем интеграл Х в виде 1( 2+ 2+ 2) 11 3,1 На окружности -, выполнено равенство х + у + 22 = а, в силу которого имеем 1 ы -«а . 2 2 2 2 2 так как 31 = г '1 126. 1 = ) 2Л, где ", — кривая. полученная в результате пересечения поверхностей. заданных уравнениями хз + у = 22, ут = ах, пробегаемая от точки О = (О.
О, 0) до точки А = (а, и. ач'2) . < В качестве параметра выберем перел1енную х. Тогда пара«1етрические уравнения кривой; примут вид х= х, ужч«ах, гик ~/22+ах (О (х (а). Поскольку — 12х, ЫУ = „-1( — Их. 2х+и 1 /а 2~/х~ + их 2 х то. применив формулу (6). п.4.3, получим а — 2 2 1 ю — 8хз -«Оих + 2из 32 =— 2 / 2 / Зх = о а 1 (1' 9а 2 1' 2 9а — гу22+ — 822 + 9ах+ 2а — — а 1п гъ«22+ — + 8хз + 9ах+ 2ат 4Я ~,(, 4ь12) 32 ( 4ъ«2 ю — ~100 Ч 38 — 72 — 17 1п а2 Г „25+ 4ч'38 2 238Л ), 1 Найти длины пространственнык кривык (параыетры считать положительными), заданных уравнениями: 127. (х — у) = а(х+ у), х — у = -2 от точки О = (О, О, О) до точки А = (ха, уо. о), 2 2 2 9 8 м Параметрнзуем кривую, полагая х+у = 2(х — у).
Тогда из уравнений кривой получаем х — у = ай х + у кк ах~, -22 ю а 1 (1 ) О), откуда х = -(Ф +2). у = -(С вЂ” С), $2~ = — а12, а 2 а 2 2Л 2 2 ' 3 2 2 При этом точке О соответствует значение 1 = О, точке .А — значение 1« = - (-12 2«2, Обо- 1 121 2 а значая через Х искомую длину кривой, получим 1« у= / 1 «11 + ««11 н«.«11'- ч ) (+ 1) г о о (1« ( Г 2 а 2 3 э 32« 2 ахе = — (1 +1)~ = — у2 — +га†128. х + у = сх. — = 18 — от точки О = (О, О. 0) до точки А = (2:«.
уо. 2«). 2 2 У Х 2. С 180 Гл. 2. Кратные н криволинейные интегралы ч Параметризуеь1 кривую взяв в качестве параметра полярный угол р. Полагал х ж рсоа р. у = рмв 1о, получаем р = сх. 18р = 18 -, откуда х = ср, р = с р. Параметрические з уравнения кривой принилгают вид хо 1 х ж с /д соз р, у = с „/уз)п р, х = с р (О ( Ье ( — ) . с,) Ныч~сллл диффеРенциал кРивой 4! = с (чгР+ — ) ЫГс и интегРиРУЯ полУченное выРажение 1 2;/т в пределах от 0 до =з,находим с =,/Б;( — '+1), и 129. Найти массу гп дуги параболы ", = ((х, у) Е Н: у = 2рх, 0 ч х ( - г, если ее з з Р~ линейная плотность р(х, у) в текущей точке (х, у) равна )у(. ° в * ... фе ...а ф р, е- '7зььггьх~птхь.
и». мая во внилгание равенство р(х, у) = (у( = ~/2рх хи симметрию точек параболы относительно оси Ох, находим Р 2 з Р з(з т+Х, у)41 ж г~у~2рХ, 1+ — 4Х = 2 ° /грт+рт ЗХ = — (2РХ+Р )У~ = -Р (2ЬГ2 — 1). М гх зр ~,-3 о о а$ аг 130. Найти массу т кривой ~ С Я~. заданной уравнениями х ж ад у = —, х = — (О < /2у Г ( 1) линейная плотность которой меняется по формуле р(х, у, х) = (/ — .
(у а < Согласно формуле (13), п.4.3, имеелг 1 тп = / р(х, у, х) Й = / р(х(г). у(г), г(г)) (х (г)р+ (у(г))2+ (г(г))зад ъ о и- - е' згя), нл=,е-. тхтсгга. г 1 тма ~Г 1+ГЗ-~.1441= — ~гт+-) -1- — 4(Г~+ -) ж 2 / 1 2) 4 (~ 2) а о ='-((""г) ' """ '-"(" -'""""'"))(= а/ з з+гчгз) = — ~~(3Л вЂ” 1) + — 1л — ( . и 8 ( 2 3 131. Найти координаты центра тяжести однородной кривой 3 С Н~, заданной уравнением у = асЪ вЂ”, от точки А = (О, а) до точки В = (Ь, Ь) (а > О, Ь > О, Ь > 0). М Воспользуелщл формуламн (15), п.4.3. Поскольку кривая 1 однородна, то в формулах (15), н.4.3, следует взять р(х, у) = 1.
Имеем ,'=.ь-*,е-атее'уь-, 1~а'*-ь= г-'ь. а У о а ь, Г х Ь Ьз г — —— Ь вЂ” 4 = .Ь вЂ” =,1 — — 1=,Г~к- а а Вяз о Ь 4. Интегрирование на многообразиях 101 ь хо = — ! х 4! = — / х с)т - 4х ж — (ах зй — — а с!т -)! ~ та — (Ь э)т — — а с)т — + а) = тл/ тл / а тл а а ~о тл а а о — Ь с)тз — — 1 — Л+ а = — ! — г(йз — ат — Л+ от = Ь вЂ” а )/ Ь+.' ь — — (1+с!т — ) т!х = 2тл / а) о а тт Ьчтйз — аз'Э Ь 2тл [ а / 2 уо = — уй= аЬ + гчйз-аэ' 'ттл ( 2 132.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
