Anti-Demidovich (Lyashko I.I., i dr.). Tom 3. Kratnye i krivolinejnye integraly (2001)(ru)(T)(224s) (940508), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Интегрироваиме на многообразиях )49 3) е каждой точке и = (иэ, ..., ир), и Е О. отображение л(Ф(и) Е Е(И": И"') ил~ест ранг р. Последнее условие в определении 2 означает, что образ векторного пространства Ил при этом отобрал;енин является векторным подпространством в И"' размерности р, т.е. векторы — (и). Х = 1, р, линейно независимы в И~, в силу чего хотя бы одни из определптеяей р — го О э ее, порядка матрицы Ф'(и). составленной иэ элементов о '(и) (( = 1, гл, Х = 1, р). отличен от О э нуля. Теорема.
Длл того чтобы ллножестео Ы С И было .иногообраэием класса С роэлгерности р Е т. необходюно и достаточно. чтобы для каждой точки а Е ЛХ суилестеоааэа гаакая открытая окрестность 5(а, 6). чтобы множестео М О Яа. 6) допускало паралгегприческое представление раэмерносгли р, принадлежагисе классу С 1 Если р = 1, то говорят.
что 11 есть кривая класса С' (или гладкия криеая), а в случае р = 2 многообразие 11 называют поверхностью класса С' (или г.гадкой поверхностью). В случае, когда р = т — 1, многообразие Ы Е К'" называется гиперпоеертностью. Если гп = 3, р = 2, то, для того чтобы в окрестности точки а Е Ы множество Ы С Иэ было гладкой поверхностью, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись два эквивалентных условия: 1) с точностью до перестановки координат хэ. хз.
хэ в окрестности точки а = (ап аг, аэ) множество Ы задается уравнением хз = сс(хы хз), где р — функция класса С в окрестности 1 точки (ал, аг) и Ьс(аэ, аэ) = аз: 2) в окрестности точки а множество Ы допускает параыетризацлгю класса С 1 хэ = ьсэ(иэ, иг).
1 ~( Х < 3. (иэ, иг) Е 5(а. б), хэ(о) = аэ, и при этом хотя бы один из определителей лэ(рэ. Ез) Р(Ьсз, Рэ) К'Р~ 9г) 2э(иэ, иг) сл(иэ, иэ) сэ(иэ, «г) отличен от нуля для всех точек (иг.иг) Е 5(сг, Л). Определение 3. 1(усть отображение и с — Ф(и). и Е О, О Е Ил. яеляетсл пиромегаричсским предстаеленисм ллножестеа э11 Е И~ раэлгерности р < т класса С е окрестности точки а Е М. причеи Ф(а) = а, сг Е О. Тогда образ линейного отображения НФ(сг): Иг — И™ есть секторное подпространстео раэ.исрносгпи р.
Это иодпространстео ниэыеается касательным пространстеом к многообраэию Ы е точке а и обозначается Т (ЛХ). Определение 4. Систе ной ориентаций .'У диффсренчирусмогомногообразия Л1 наэысастся выбор для каждой точки а Е М неко~норой ориентации его ееггпорного касательного пространства Тл(Л1). Определение б, Л(ногообраэие Л1 С И размерности р < т класса С' наэыеастся ориент ирусм ылг, если оно имеет хотя бы одну непрерывную аист сну ориенглоиий, а выбор такой фиксироеанной сисплемы ориентаций наэыеастся ориентацией многообразия ЛХ. Если многообразие Ы является связным н ориентируемым, то оно обладает двумя возможными ориентациямн.
определяемыми выборолэ ориентации пространства Тл(ЛХ). Если ЛХ Е И~ — гиперповерхиость класса С', то ее трансверсально ориентируют выбором непрерывного поля единичных норыалей п(х), х Е Ы, а выбор одного из двух возможных направлений вектора и в произвольной точке х Е Ы определяет трансверсальную ориентацню в целом.
Трансверсально ориентируемые гнперповерхности называются деуспэоронними. Если, например, гладкая поверхность размерности р = 2 в пространстве Из задана уравнением Х'(х, у, х) = г — р(х, у) = О. (х, у) Е (1, Ху С И, то д,р бхай((г ° и. г) — (г. у) ° (х, у) 1) дх ду Га. 2. Кратные и кривавнкайиые икттралы 150 следовательно, векторы и(х, у, х) (2) «ф+р «г' ««з«Р+Р ««з«з'«гЗ' где р = гх(х, у), у = $(х, у), опредеэяэзт два непрерывных поая еднннчньпз иормелей к о поверхности в хыкдои ее точке. Выбор определенного знака перед радккалом 1 + уэ + д э з произвольной точке поверхности фиксирует одно из этих полей, а значит, и определемную сторону поверхности, т.е.
ориентирует ее траасеерсальио. Если гладкая поверхность М С Йэ задана параметрмчесхи в виде хтх(и,е),у=у(и,е), х=х(и,е), (и,е)бО, ОС61~, А В С * А «э'«гз «А «гз«гз «««з«В «гз) где А= — з-'— —, Вю — ', Сю Р(у, г) Р(х, х) 2З(х, у) 21(и, е)' Э(е, о)' 2з(и, э) Если М С мю — гладкая кривая, то ее касатеаьная орнемтация называется мапроелемием обхода кривой, а поломительным считается обход, прн катаром вектор скорости йз'(3), 4 б]а, 6[, в хая«кой точке 4 является полозкительмыы в смысле ориентации в этой точке. Траксзерсальнаа ориентация этой кривой определяется эздаюзем направления вращения вокруг нее. Пусть М С Й вЂ” ориентированное многообразие размерпостк р = 2 хаэска С , а К— з компакт, лемащнй па этом многообразии.
Обозначим через дК гранмцу компакта Л . Определение б. Компакзп К С М маэьзеа- з ется компакпзом с краем класса С, если выр с. 14 полмены следующие условияз ис. 1 «з 1) дК в проспзрансззее И является кусочно-тадкой кривой класса С (э«по кривая леэзипз з ма многообразии М и имеезп е обком случае конечное ммоместео угловых точек); 2) всякое точка а б ВЛ', отличная от угловой, имтт такую открытую окрестность 8(а, 6) на многообразии М, чпзо ммомеспзво 8(а, б) гз С ЭК распадается не дее связные компоненты, одна иэ копзорых состоит иэ точек 8(а, б) Гз СЛ, а другая — иэ точек окрестности 8(а, б), иримадлемощих компакту К.
Ориеитации многообрааия М сопоставляем ориентацаю гладких дуг храя ЗК по следующему правклу: в хамкой регуаярюэй точке а б дК рассмотрим в касателькок плоскости к мкогообравто вектор т(а), касательный к дЛ' в точке а, иаправленаый в сторону, определяемую ориеитациеи крам ВК, н вектор м(а), оргогоиальиый к вектору т (а), капававлеиный в ту сторону, где аткат виутреннке точак компакта К. В случае, когда М С 6з, зезторы т(а), и(а) и гз =(т(в), и(а)] образуют базис пространства 62э, ориентируювпзй его так мо, ках и канонический базис ( °, у, Й) (рис. 14).
Есам М С дзю — многообразна размерности р е, зи класса С', то всякое параметрическое предсгавленне бз класса С открытого мкоктспза М О 8(а, й) этого многообразна наэываетсэ локальной картой класса Сз, каи просто карп«ой. Мнохзестао Ф(О) = М гз 8(а, 6) называется образам этой харкет. Атласом ммогообрамт М иазываопм мноитстзо карт открытьзх мнолтсгв иэ М, образы которых покрьзэаэаг М. $ 4. Интегрирование иа многообразиях 1г1 4.2. Элемент г1з-МЕриого объема иа многообразии М С И™ размерности р < гп класса С . Пусть и ь Ф(и), и б О, — С'-гомеоморфизм области О С йр на область Ф(О) евклидова пространства И, а отображение бФ(и) б б(йр; Им) имеет ранг р в каждой точке и Е О.
Тогда мно'кество М = Ф(О) является многообразием разлгернасти р класса С . Отображе- 1 нне ЫФ(и) в точке и Е О переводит систему р векторов базиса пространства Ир в систему линейно независиыых векторов е (и), у ж 1, р, из И еа з, Расслгатрнлг на ыножесгве О брус В с вершиной в точке и Е О, построенный на векторах Ыиг' = е, Ыиз, у = 1, р, биг. > О, где ез — векторы стандартного базиса пространства ИР.
Объем этого бруса 1г(В) равен произведению длин его ребер: ЙГ(В) — Ыиг биз ... Ыир ° (1) еа Образом вектора ди, при отображении йФ(и) является вектор Ф'(и)ег ди, = е (и) биг. Следовательно, дифференциал ЫФ(и) отобра кает брус Вг на параллелепипед Н с вершиной еа в точке Ф(и), построенный на векторах — (и), у' = 1, р. ез Определенгге. Объем Нг(Н) параллелепипеда Н назыеасглся згсмснщолг р-лгерного объема на многообразии М. Согласна определению. имеем (2) бе~ г~иг ... бир, гг1г(Н) = где Г (д (и), е— (и),..., е (и)) — определитель Грана от векторов е (и), у = 1, р.
г' еа еа еа еа Пусть гп = З, р = 2, 5 — гладкая двусторонняя поверхность в пространстве И . Обозназ чнм через х, у, г координаты точки в из со стандартным базисом (з, у, «). В окрестности каждой точки поверхности М рассмотрим ее параметрическое представление (а, е) г Ф(и, е), определяелгае тремя функциями класса С' х = х(и, е), у = у(и, е), г = г(а, е), (и, е) Е О С й . (2) Так как поверхность Я является многообразнем разлгерностгг 2. то ранг матрицы равен 2. Поэтому по меньшей мере один пз якобианов З(у, г) З(л, х) З(х, у) З(и, е) ' З(н, е) ' З(и, е) отличен от нуля во всех точках открытого лгно кества О С И .
2 Обозначим через ггЯ элелгент двумерного объема многообразия 5 и буделг называть ега элементом площади поверхности лО. Согласно формуле (2). получим ы =ггс — г (4) где (дФ д* дх ду ди д д ,+ + ди де ди де ди де л) 1 Ое этам з'же говорилось в пункте 3.2. здесь строится мера на произвольном лан гьааразии. чаегнмм серчаем нсеерьй яяляегся 48. 152 Гл. 2. Кратные и криволинейные интегралы — коэффициенты Гаусса. Из толсдества Лагранжа (Ьс' — сЬ') + (са' — асс)г + (а6' — Ьа') = (а + Ь + сэ)(а + Ь + с ) — (аи'+ ЬЬ' + ссс) следует.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
