Anti-Demidovich (Lyashko I.I., i dr.). Tom 3. Kratnye i krivolinejnye integraly (2001)(ru)(T)(224s) (940508), страница 17
Текст из файла (страница 17)
о Следовательно> 1 1 1 вэ, "= '1' ")"=/~ -' -)"= — ' в г г 1 г' г, 1 х 88 3 3 ) 105 68. « = ху, х + у + « = 1. « = О. М Поверхность Я = Цх. у. «) Е И: « = ху) пересекается с плоскостью о = Цх. у, «) б Иэ: х + у + «ж 1) по кривой. уравнение проекции которой на плоскость хОу имеет внд у = —,", х, Е И '1 1-1). Поэтому множество Р в форлгуле 14), п.3.1, представляет собой замкнутый треугольник Р = Цх, у) Е Иг: 0 ( х ( 1, О ~ (у ( 1 — х), который запишелв в виде Р=Рг ыРг,где Рв ж((х,у)бИ:0(х(1,0(у(— 1+х Рг = ((х, у) Е И: О ~ (х ( 1, — ( у ~( 1 — х ~. ' 1+х На множестве Рг функция у в формуле (4), л.3.1.
имеет вид г1«, у) = ху, а на множестве Рг Хгх у) = 1 — (х + у). Представив интеграл 1' = 011х, у) а«ау л в виде суммы интегралов по иноявествам Рг и Рг и перейдя от двойных интегралов к по- вторным, получим 1- 1 1+« 1 1-1 У= ~хйх / уйу+ /Ых / 11 — х — у)Ну= в а в г-« 1в. 1 г х)г 4 1 17 йх = — ( )хг — Зх+ 4 — — ) Ых = — — 21п 2.
и 2/ 1+х 2/ 1+х« . 12 а о 69. «' ж ху, х'+ у' = а'. ° Тело ограничено сверху и снизу относительно плоскости хОу конической поверхностью о = Цх, у, х) б И: «г = ху), а с боков — цилиндрической поверхностью ов = Цх, у, «) О Из: х + у = а, «Е И). В силу симметрии точек тела относительно плоскостей, залаиных уравнениями «ж О, « = х + у, можелв вычислить значение — части объема р и улвнолангь 1 т 3, Приложение кратных интегралов к решеигно ЗадаЧ ГвомвтРии и физики 121 полученный результат на 4. При этом многкеством Р в формуле (4).
и,3.1, является Р =- ((я,. у) б Р 1 х + у < а, х ) О, у 3 0). Таким образом, имеем '=~Д ьгг Ь. Р Переходя в интеграле к полярным координатам и заменяя двойной интеграл повторным, находим / 1 1 маг ггсозг ~Р Жр = а г г 1 1 г 4 3 1' = 4 мвг дсозг РЫр Р 1ГР = -а 3 о о э г гг г / г 15 Игг Р ИР = — соз УНР = 4 / г г =)1)11 '+,'>г*а = )1 саг Ф 15 1 1 15 /1 51 15 Г (г) Г (г) 45 = — ~ соз Ьг41Р = — 3 (-, — ) = 2 / 4 1,2'2) 4 Г(3) 32 о 71.
г м х'+ у', з = з + у. ° Ф Параболоид вращения п плоскость пересекаются по рой на плоскость хОу имеет вид (к — -) + (у — -) г) стволи кривой, уравненве проекции кото- Поэтому тело Т является множе- г - (1., „*1 е Я* 1 (. — -) а формула (4), п.3.1, запишется в виде г = 11 (. „— .* -, 1 г. г,, В = (1., В е а* о яг+уг<я<з+у (-))' (-и' 6 Заменяя в интеграле переменные ио формулам к — — = Р соя д, у — - = Рэги Ф, получаем 1 1 г 1 11 3~4р / ( Р) ЫР=,» () г+ г г+ г э+ уз — 2з г — б м тело ограничено сверку параболоидом вращения 5 ~ ((х, у, г) е и 1 г = к + уз), сниз зу — плоскостью яОу, извне — цилиндрической поверхностью ог = ((х.
р. з) е к~ 1(х — 1) + г у = 1, =. е В), изнутри — цилиндрической поверхностью Яг = .((х. у. 1) е и: (х — й) + у = —, = Е Я(. Эти цилиндрические поверхности вырезают нз плоск1ити тОу замкнутую г 1 область Р, которая в полярной системе координат определяется неравенствами — -' < гг < -'. соз гг ~ (Р < 2 соз гг. Согласно формуле (4), п.3.1, имеем 121 Гл.
2. Кратные и криволинейные интегралы Х2 2 2 '2 2 Х2 72. — + — + — = 1, — + — = — (х > О, а > О, Ь > О, с > О). аг 62 сг ' аз Ьг сг и Тело ограничено конической поверхностью и поверхностью зллипсоида. Коническая поверхность вырезает из лове хности зллнпсоида кусок, проекция которого иа плоскость 2 о2 2 1 ХОу ОГраИИЧЕНа КрИВОй З = (Х. у) Е 66 ! -т+ ут зз -12. ИЗ ГЕОМЕтрнЧЕСКИХ СООбражЕНИй и формулы (4), п.3.1, заключаем, что искомый объем тела может быть найден с помощью интеграла = !!! О,.!- ! . И з, = (1*, ! з о': —, + — -!! аг 62 2)' и где 22 !2 хг(х, у) = с(( — + — . 2 62' 2 2 21(х, у) = с 1 — — — —. а2 62' 1 2 Гг з 1~ — аЬс ~!Ьзо ~ (Ръ/Ъ вЂ” Р— р !)арж -хаЬс (1 — р )з +р~~ = таЬс(2 — з/2).
ь 3 о о !/2 у!2 22 73. !1-+-~ + — =1, х=б!у=О,*=О(а>О 6>О). а Ьг' сг М Если х = О, то -+ д»( 1, т.е. О » (х ( а, О » Ку»( Ь (1 — -„). Требуется вычислить объем тела т-((„,,*! о':пр Г,,з~ Гь(! — '-), г г,ф ('+2) ), В интеграле ,Ч~, (' у!) З,З„, О=(О,„! О': г,кй,, г,с!(~ — Г)) и произведем замену переменных по формулам х = арсоз зо! у = Ьрзщг зз. Приниыая во вни- 2 манне равенство ! ' — — 2аЬрив!рсоа!р, а такам пределы изменения зо и р (О ( зо ( —, О < р ( 1) .
получим 2 1 Г г —" аЬс г ~! аЬс !г = 2аЬс) о!в засов!о!бр) рз,Г~ — рокар зз — (1 — р )2 зз —. И 3 3 о о 2 2 2 Зг З г!Гг 2 г 74. — + — + — = 1. ( — + — ) = — — — (а > О, Ь > О с > О). аг Ьг ог ' (а2 62) а2 Ьг и Тело ограничено частью поверхности зллнпсолда и частью цилиндрической поверхностп! вырезающей нз плоскости хОу замкнутую область З'хг уг'1 х! уг 1 (х, у) Е Ьз~ ! ( — + — ) < — — — 1 .
1 аг 62) аз Ьг) Переходя в интеграле к обобщенным полярным коордииатаи по формулам х = орсон х, у = 6рив р. получим Гл. я. ЬСратнвге н крнволииеииые интегралы 124 1 1 Ьг = -аЬс/ соз рюв рдр рят1 — р" Мр= В ~-, Ч ртГЪ вЂ” р" вр. в / / Н '1В В/ / о о о 1 В интеграле 1 ж ) рффи: ре Ыр заменим переменную по о 1 формуле р = 1» . Тогда 1 (1 — 2) И = -В (-, 1+ -) . в/ и '1П Н1 о Окончательно имеем Гз (Ч Применяя формулу (4), п.З.», найти1 77. Площадь поверхности тела, ограниченного полыми цилиндрами Рис. 20 З1 = ((х, у, я) 6 ЬС 1 х + я ж а, у Е ЬС), »2 = ((х, у, я) Е ЬЬ : у + 2 = а , х Е 1Ц.
° Из рис. 1О видно, что — часть поверхности тела, образованного з результате пересе- 1 чення двух цилиндров, проектируется в плоскости хОу на множество О = ((х, у) Е ЬЬ 10 ( х ( а, О ~ Ку ( х), позтому Р = 16 1+ я* + зя Ю ц я, ~ах, Поскольку 1+ з» + я» аз ~/2 2 р р » а Р 16а Ну — 16а 16а 1~ аз — 2 — 16а / ° -* l / ~=г о о о 78.
площадь части сферы о = ((х, у, х) е 11~ 1 хо+ уз + 22 = аз), заключенной внутри цилиндрической поверхности з,х у огж (х,у,з)ЕЙ'1 — + — ж1,ябй, Ь(а. аз Ьз е Цилиндрическая поверхность, пересекаясь со сферой, вырезает из иее симметричные относительно,нлоскости КОу куски, калщый из которых рассекается координатными паоскостями КО» н уОх на четыре равные части, Прн я ) О имеем р,з а 1+х» +хо 2 з 2' а — х -у ~ 3. П, о- ение кратньгк интегралов к рещеиию задач геометрии н физики 123 Согласно формуле (4), п.3.2, получаем ь)/'л- ——,, »гх л ж 8а !(х о» вЂ” х» — У2 У о ໠— х — у 2 2 » 2» — <! «» ь» Во,»В» / » 2 Ь 6 2 йх = 8а агссйп —.
Ь е о 79. Площадь части поверхности еж= ((х, у. 2) Е И: — у) ° Из: 22 = 2х 1, отсекаеыой плоскостями. заданнылги уравнениялги х + у = 1. х = О. у = О. е Дифференцируя левую и правую части равенства 2 — 2 у, у а = 2х, пол 'чаем 242 = у Нх+х!»у. откуда 2 = !2»ж.' 2 22,» 2 „ Приннлгая во внимание, что точки поверхности 5 симлгетричны относительно плоскости хОУ и что верхняя ее часть относительно атой плоско р ости п оектируется на ыножество Р = ((х, у) Е И: О < х < 1, О ~( у ~< 1 — х), находил! ! »-« г / Рж2д 3~3 =л/2 ~»гх/) (х2У 2+2 2У2) 4уж и а о )(-' -' --' -' 3 3 1 13 3 2 2 ! ! « "'(~ ! )! =2 ( (-.-) ! (»»)) ь Г»(2) 1 Г(1) Г( ) Г () т Г(3) 3 Г(3) ) л/2 ъ/2 Р = 4»/2 Д вЂ” —. 80.
Площадь части поверхности о = ((х, у, 2) Е И: = л/ + У 1. рз 2 — . /22+ 21, заключенной внутри з, полого цилиндра 5! — — ((х, у, 2) Е И: х + У = 2х 2 е И) ° ПовеРхностть площаДь котоРой тРебУетсЯ опРелелить! выуезаетса ЦилинДРом ! из конической поверхности . Цилиндр 5. Ц Я пересекается с плоскостью хОУ по окружности ; = 11х, у! с .
лх — ! у - = ((х, у) с И»: (х — 1)2 + уз = 1), которая является краем компакта Р— круга радиуса — 2 2 1 с центрол! в точке (1. О). На поверхности о имееы 2 = »„/х» + уз, позтолгу 2 = —, 22 —— ,2»+к» В 81. Площадь части Я! поверхности 5 = ((х, у, 2) Е И Из х = . /х» — 2)» заключенной внутри полого цилиндра 52 — — ((х,у,х)ЕИ:(х +у) =е (х — У) хеИ). ч Цилиндр 52 вырезает из конической поверхности 5 симметричные относительно плоскости УО2 и равные ыежду собой куски, а — часть поверхности Я! проектируется в плоскость хОУ на замкнутую область Р ж ((х, у) Е Из; (х»+у»)2 ( а (х»-у»), х ) О, у ) О).
Поскольку то для рассматриваемого случая 1+ 2' + ха —— , то 139 Гл. 2. Кратные и криволинейные интегралы плоскость хОу является окружность г = ((х, у) Е 'я~: х + уг = 4). Следовательно, множество точек тела Т имеет вид Г=((х,у.х)ЕЬЬ:» +у (4.;/я~+у~ <г(б — х — у~~, В интеграле 1' = Шах йу Их перейделз к цилиндрическим координатам и заменим тройной т интеграл повторным. Принимая во внимание симметрию точек тела Г относительно плоскостей хОг и уОх, получим з г г з р г г 32 6 =~~з,),з~ )' «=«)',о- — «з,- —.. 3 о о 9) ( г 1 г 1 г)г г( г 1 г г) я Точки тела Г силзлгетрнчны относительно всех коордпнатнык плоскостей, позтому в первом октанте находится его — часть.
Переходя в интеграле У = 0) ат ау а» к сферическим 1 т координатам по формулам (У), п.1.8, получим о /- оооз го з 1' = 8 ( зол уйд / ~бр З~ р Нр= — яиВ(ъ/ — соз28)з гИ. 3 / о о Полагая в интеграле -' — д = 1, находнлг з а(япг) — — ( (1 — 2о ) г 0а, 4за г 3 о 4ггаз г 3 4 таз г 3 Г = — / созгсозг 2141 = — / (1 — 2згл 1)у 3 / 3 / где а = ил 1.
Замена переменной чг2а = яи з приводит к интегралу г 1г = — 1 соз х Нх = — В ( —, — ) = —. 1« ЗлГ2 ./ З~/2 ( 2 2 У 4л/2 о г г г' 92. ( — "+ "— + — / ж —, а > О. Ь > О, с > О, Ь > О. 1аг Ьг сг / Ь э ««зсозе « г л 1г = Ц~ Нх Иу Нх = аЬс З~ з1п д Нд / Нло З~ р гор = т о о 'Ь аг 6г сг у' аг Ьг сз або Г.г яа 6с — ~1 х ОЗО 1 вийя= —.и 36 / / ЗЬ а Для вычисления объема тела, ограниченного данной поверхностью, удобно перейти к обобщенным сферическим координатам, полагая в форыулах (9), п.1.8. а = Д = 1. Тогда О' < 8 ~ (т, — г < и < — (так как х > О).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
