Anti-Demidovich (Lyashko I.I., i dr.). Tom 3. Kratnye i krivolinejnye integraly (2001)(ru)(T)(224s) (940508), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Кратные и крнвоиииейзпие никее~ л. где Рз = ((х У) ч и ' * +» г, хг уз<4 х>О,У10). мпакте Р,. Эта функнил разрывю под знаком интеграла на кондак ~ значим черо~ 1 Фуию»и на в каждой точке кривой « = 1(, у) = 11(х ) с И~: 0 Ч х ( 1, у»» х Р» на множества Вг к .0з (рнс. Ь), где .0» = (х, у) Е и з 0 ч х ч, ° у =( 1,0« з/х«4-2~+у)634: 1(х(2,0(у( 1/4 — хг), Рз = ((х, у) Е И~: О 4 х ( 1, 1>уха + 2 ( у 4»Г4 — тг) . Поскольку 1(х, у) = 1, если (х, у) Е г, 1(х, у Р, 1(х, у) = О, если (х, у) Е «, 1(х, у) = — 1, если ( х, у) Е Рз, то з/ ггг /»:*г l»: ' »- 11>,> -11'а,>„) ° 1'>, 1> ь.>1>, 1 >„-/>* 1' >, ог оз о 1 г = ° ) (~>>»> - »т-' ) > ° )»Г-'и ь)- 1 » з г 1 — *>>*>»2+>~ (*.> >* ->>))~ — >1 > > 1 > =' (** ° г ж ив 21 г ~ 1+ за 4г (в ивтеграве >1» — г х пр > »4 — г Й оизводилась замена х = 2з)аз).
а Й~ 0< 26. 1»» Ч[х+ у]Ых4у, где В = ((х> у) Е К: О ( х ( о 2, 0 < у < 2). От прлмых заданных уравненилмп х+у =1 1 = ва Р . Й = 1, 2, 3, .4) 1 2 3), азобьем компакт Р на мнозкесгва «.( ( ) — за В«,то х+ р с. ). Ес (, ) — вну реннял точка множества В», Уз = )» й — 1, й ж 1, 4, в силу чего имеем » » 1=~' О[в+у)й43= ~~> (Й вЂ” 1)Р« = Рг+2Рз+ЗР„ «1 в» > з где Р« — гхордано а Р в мера множества Р».
Поскольку Рз = Рз = —, Р = Р = — то охончательно получаем Рис. Е 3 3 1 = 3 . — + — ж б. и 2 2'> . 1»з О г/[у — *г) й Ыу, где Р = ((ь, у) Е мй: -2 ( (х (ч 2, хг ь у ( 4). и М Исходи из симметрии заключаем> гго 1»» 2 Ц г|Ь- хг) 3х 4У. оз $1. Интеграл а иа Римам наживите. Приведение нратнази иитегр алов и повторным 89 зз у »в з/х -:з, й = 1, 4. Из свойства аддитивности двойного и р о" ого интеграла »з' следует равенство з з 1=2~~ с/Π— 1 ОйхНу=2~~з т/Х-1Р», » 1 » 1 ю иня мно где Р» — жорданова мера множества зз».
Из представления множества з)» в виде з з Рис 7 Р»=((х у)ЕИ: О~х~$с/4 — О, х +8 — 1~у(~х +х)ц ».С з: я з~ ° с т-7з — 1), .*.~з- с «*), О((х,у Е: — . х. имеем д — у зз» а= (»» / Ю~)»г ) а„= о»з»» з,/з уу»з+»-з з / з = з/4 — О+(3 — Ц (Л вЂ” Х вЂ” з/4 «) )— ~ ~ (3 — 8)У вЂ” (4 — 8)з Следовательно, » '=2Е/'=' ='( + /2 + )ж2Ь+-3 3-2~2) ж-3'( — — 2 = — (4+ 4т/3 — 3 2 » 1 зз.в * з'~», ПЗ-))', Уз». едзаз »4з4з е енныяпо формулам х = Зз, у = Зе, Г ) О, полу чаем М Произведя в интеграае замену переменных по орм Е(з) = сз', где с= О е 'Ызли. Оью41 зьюьз Дифференцируя по з, имеем 2 з 2Е(Ф) Г (з) ж 2сг ж — сМ = —, Г ) О. Н Ф зз.
з» зз». и»-~у ссГ» г.г~. ° ° ()-с . е 0(з = ((х, у) б Й: (х — з) + (у— Щз) Г)з ~, Г О $~. зз фо м лам х- з = р совр, у-з ж р аш т, О 4 зз фо м ламх-, — ' (2т, М Заменяя в интеграле переменные по формулам х- получим 3» Р(т)= ~~ (Г+а Ю)з+(4+ум' О)зрФ4т=~Ф(р,~)Ф, е ее»41 еьеьз Гл. 2. Кратные н криволинейные интегралы 90 1 где Ф(чг, Г) = ] (1+ рсоа)г)г + (1+ дгйп у)г)гор. о Согласно формуле Лейбница (формуле дифференцирования интеграла по параметру), имеем аФ(), г) „~„~ (г+д ))+(г+, з)пг) „Ц +у Г'(г) = Г() — [' ' й — Ь l й,= Ь,~ У У (1+„.~) +(г+,1 р) ll ~/* +у о о о й,',) 30, Пусть линии уровня функции У вЂ” простые замкнутые кривые, и область 5(ег.
Уг) ограничена кривыми Ог = ((х, у) Е К; Х(т, у) = ег). 1г = ((т, У) Е и: 1(к~ У) = ег) ° ег < ег. Доказать, что г= // П . )г г,= / ггсг, Й"~ "г) где Г(е) — переменная площадь фигуры, ограниченной кривой тг и кривой; = ((х, у) Е ' 1(к,у)=е,ег <» < гг). и предположим, что функция Г дифференцируема иа сегменте [ем ег]. тогда Гг(е) ) О Уе Е]ег, ег[, так как à — возрастающая функция.
Пусть П = (е, = Уе, е„..., е„= ег)— произвольное разбиение сегмента [ег, ег), где е; < О»ьг, г = О, и — 1. Принимая во внимание неравенства е, ( Г(х, у) ( 6,.>г, (х, у) Е 5(д„уг ы) н свойство аддитивности двойного интеграла, имеем -1 -1 — 1 ~.О; ~)я(гч» уч„) < ~ О Г(т, у) т 1У =1 < ~ у,„г1~(у„угы), о =о '=е где ГгЯ(О,, Уь)д) = Г(О»ы) — Г(О,) — площадь компакта Я(У„О»Ы). Согласно формуле конечных приращений, получаем гг5(6„»»Ы) = Г (э,) Ьу„где Ог < д, < О,.),. Пз очевидных соотношений е, = е;+ а, (Йгч), О,.>г —— е, + а, (ЬО;), где а; и а, йг) —, —, - Р) —. ПО Р) бесконечно малые при ЬО, О функции, следует, что неравенства (1) можно записать в виде -1 »-1 -1 ~ — г а(~)Г'(е,) г1е, +~~> е,Г (е,) Ье, < 1 < ~ ~е;Г (е;)11гч+~~> а( )Г (е,) где,, =О ' о '=а =о После перехода к пределу в этих неравенствах получиы »г 1= / еГ(е)И». Пусть, например, у"(х, у) = х + уг, (т, у) Е И~, ег = 1, ег = 2.
Тогда Г(е) = т(е — 1), Г'(е) = т, з ~з т( )о о / 1 т г 2 щ г, г) 1 Вычислить следующие тройные интегралы туг/ г г г1 г г 31. 1 = ~Ц ~ — + —" + — ] йх ау ог, где дК = ~(я, у г) Е )й": — + — + — = 1~. У 10(," ) ег Уг сг к б 1. Интеграл Римана на компакте. Приведение кратных интегралов к повторным 91 Переходя к обобпгениым сферическим координатам по формулам х = арап Всоз)р, у = брмп В мп)р, х = арсозВ, О < В < т, 0 ( 1о ~ 2т, и заменяя тройной интеграл повторным, получим, принимая во внимание, что — '"'*) = абер з)п В, РГо,о,а) 2 )о 4 1 = аЬс /миВЙВ / Вр / р )бр ж -табссозВ~ = — таЬс, в 5 о о о 32.
1 = О/ ~г хо + уо )бх)бу)бх, где край оЛ компакта К задан уравнениями х +уз = хо, К х м 1. М Ерай дК состоит из части конической поверхности и части плоскости, заданной уравнением х = 1; а компакт К проектируется на круг Р = ((х, у) Е П ) х + у » (1). Перейдем в интеграле к цилиндрическим координатам п заменим тройной интеграл повторным. Принимая во внимание, что О < р < 2т, 0 (~ р ~ (1. р (~ х ~ ~1 г)1 ' ',1 = р ' г)1о,ю ) получим г, =(+' ( = ~г') -,) о о 33. 0 = 111,'У+„,, Ь.ггН...
г = а., „,,), Н* ) .* „*, Р с,). к М Перейдем в интеграле к сферическим координатам, приняв во внимание, что 0 ( В < ~. 0 ( оо ( 2т, 0 ( р ( соз В, б( — *' Г-'*1 = р з)п В. Тогда получим з 3. о р з )г/ о т о )о 1 = /з)нуае / )бр / р )бр = — соз В з1ву)ЬВ = — соз В! г( 10 ' 10 о о о о 34. б = Я 'б ао,,* Ф аг „, г „„а О К Ьуо. у > 0 (О < а < Ь), з = ах, х = )Вх (О ( о < )В), х м Й (б > 0). аб Представив множество К в виде К= (х,у,х)Ем ) 0(х(б, ~Г(у(~Г, — (х(— и заменяя тройной интеграл повторным, получим г о а г 1 ) )) о х=~о) о),'е= ) -' г-')1, -Г )), г.= ) -' о-'),- с )~ 3 )/ гу о )г о 35.
1 ж уч/ хух)бх)бу)бх, где компакт К распохожен в октанте х > О, у > О, х > 0 к 2+ 2 2+ 2 и огРаничен поверхностямн, заданными уравнениями х =, х = ху = а, гп з ху = ь, у = г)х (О ( а < ь, О < и < )у, О < оз < и), О 1. Интеграл Римана на компакте. Приведение кратных интегралов к повторным 93 Поскольку ,(и(-,(в+В«»-., (м (= «гв г в »с., то справедливы неравенства (о(М() < («(М) < ««(М«), которые можно записать как одно неравенство (м(- ' вв'в '), м к(вк. ! о ° ...в=квЖМ*'Б~ ...„...--*- (м(=,. +в+.
+,в,...(в( ( Принимая во внимание, что 1(М) = —. имеем оценку = г(М) 4 з 1 1 = — хг )У) < 1. » ,т++~Р 37. Доказать, что если функция ( ( Л' Р непрерывна на компакте К С й~ и с" (х, у. ») ()х ((у (1» = 0 для любой областн ' С К, то г"(х. у, ») ш О, (х, у, ») Е К, М Пусть Р— любая внутреннял точка множества Л' и Б(Р, к) — открытый шар. По теореме о среднем и нз условия задачи нмеелг — ~ ~(х, у, ») ((х ду ас» = О. Р б д(Р, к). 4«гк«) 1 5(Р, *) Стягивая шар Б(Р, е) к точке Р, получаем, что г(Р) = О. Таян«с образом, функция у обращается в нуль в каясдой внутренней точке множества Л'. В силу ее непрерывности на компакте К она будет равна нулю и в точках, принадлежащих его краю дК.
Следовательно, ,Цх, у, ») = О. если (х, у, ») Е К. » 38. Найти Лч(г), если: .(г«(= 1(1( п.*в *вг(в.в в*.-.у —..., --св-.', «.(.„«4««дс« б) Г(Г) = Д 1(ху»)(сх(су(1», где у" — дифференцнруемая функция. о«*с «<«<с о«с вя а) Перейдя в интеграле к сферическим координатам и заменяя после «того тройной интеграл повторным, нолучнм «ву с г(с(-1 в.ив) в,/гуо(вв=«.1 гу(в(в. о о о о Дифференцируя функцию Г, находим Г'(г) = 4ят~ г(г~) б) Заменим тройной кнтеграл повторным г(с-1(в 1( «.1(у(."(в о о о н вычислим производную функции Г по параметру и с с с с г((-1' вь1' у«,( *«1 * /у( *сь«1' у(* о о., о о о 11, Интеграл Римана на компакте. Приведение кратнык интегралов к повторным рб и применив теорему Фубини, получим х 2 2 1(х) = / >(х з~ >(х„1 ...
2~ ~(х) >1х>. м 40. Доказать, что ! ! 2>>=>>2 >>«*. 1>!»>2> 1>.>2-= —, >1!»!) 1 о о о о где à — непрерывная функция. л Запишем 1(Г) в виде 2>>-)'1>о>2 )'» >2*" 1>».>«- и обозначим ! -г >.-*»- ' ».->«.- )' !>-и. Представив р(зм 2) з виде 2 ! -1 — )' л ->«-) 1 о о получим Предполагая справедливым равенство 1, ! т-1 1 ~»= >>!>2>22 . >>».» = —, 1>».»г) о о о имеем ! >1 1 ! >! О! т ~(г,)(г, ~~й )~. = —,~ И ~ П )1 = —, ( П )~ l Г о о о о о Методом математической индукции формула доказана.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
