Anti-Demidovich (Lyashko I.I., i dr.). Tom 3. Kratnye i krivolinejnye integraly (2001)(ru)(T)(224s) (940508), страница 12
Текст из файла (страница 12)
В этом случае воспользуемся свойством аддитивности двойного интеграла и формулой (3), п.1.7: олкпейкьве кктегралы 80 Гл. 2. Краткые к кркволкпейкьве ег овакия в поаториых инте- Измепкть порядок кктегркров тралах: 2 2/2 - * / ((*, «( с ! 2» от 0 до 1 кеременнал * пробе обегаетв <а При изменении у от до /! у2 ег и оваиия значения от — у 2 — до 1+ области иптегриров й интеграл в силу чего получаем ловториый инте (+!/(-ув /(х, у)1х. в а 2-2 Рис. 1 2а «Юа» 8.
(1х у(х«у)(1у, а > О. /2» в М Разобьем эамкпутую ю область =(, ( а, / — < ~/ — 2« 2ах /2= (х,у)ЕИ ( . х, а, — 2(0<х(2а, «/2ах-х <у ° !/ ( с ядкв интегрирования ( с. 1). При изменении порядка = а ка три области ркс. еэком прямой у = а ка ных иитегралоз получим сумму иовторны 2» 2а /(х, у)(1х + ( /(х, у)(1х у в в у* 2а 2а йх / /(*,у)йу. ./ / изменять эиак па против в Римана и его свойства изменя кости иитеграла М Иэ свойства апдитив грирования получаем сипи иапрввлеиия иптег во поэожиый при изменепи 2» а«в» и с(п» а эс В в в а в — ах /(х, у) бу- Ь /(х, у) йу.
л в го авеисгза, камским порядок а» ю часть получеикого равеистз, ов, входюцих в прав ю В каждом из кктегр ало, ся от вгсавву до в" — вгсмву; ся от вгсавву до ' а прк интегрирования. кэмеи ' о 22 + агобв у, в силу чего Прк каменским у от 0 до и ся от агсэсву д изменении у от — до -1 0 перемеккая х измеи яитегралов получим раэкость с-ысав у В 2»+васка у Ь ~ 1(хвр)йх- / Ф ~ У,х У -! и-асс»М у О ыссв у $1. Интеграл римана иа компакте. Приведение иратиык иитеграиов к повторным 83 Г Г 1 22 = (агс«82»'2 — -~ / р1(р)бр+ 1 р ~згссбг/2 — згссоз-~ 1(р)4р. ° 1 ~,1 14. 1 = Д 1(х, у) Ых»(у, где край дР хомпахта Р задан неявно уравнением (хг+ уг) »=/» ~ »» .»'"» .. а а Из представления компакта Р г 1 г) Р = (р, р) б Н: О < р < а, -- агссоз — < р < — ыссоз— 2 а 2 аз 1 следует, что интеграл 1 можно записать также з анде У аг -«асса» 2 а 1 = / Р»гр / 1(Р созга, Рз»а р) ау» а 2 2 — »с а» 2 а 1«к, Считая, что р и»Р — поларные координаты, изменить порядок интегрирования з интеграле г аф»а 2$ бр 1(р, р)»?р, а > О.
г о Рис. 4 ч На рнс. 4 показано, что облаем, в которой задана подыитегральная функция 1, определяется неравенствами 1, рг з' 1 . Рг О < р< а, -агсив — <»Р < — — — агсив —. 2 аг 2 2 аз После изменения порядка интегрирование получим интеграл а . Рг — -«са» 2 а бр У(ю, )»Ь»р р З 2 г - «се»вЂ” 2 аг 16. ЬСвадрат Р = Цхй у) б йг: а < х < а+ Ь, Ь < у < Ь+ Л), а > О, Ь > О, посредством системы Фуикмий з = у х 2, з 1ху преобразуется в область Р'.
Найти отношение плошади области Р 22 паогнздм области Р. Чему ревем предел етого отношеммя пргг Ь О? и аг(хг — уг), х > О. ~ Полагая х = р сокр, у = ранг», получаем уравнение края дР в виде р = а2/созйр, — — ~ р < —. Если после замены переменных и перехода к повторному мнтегралу внешнее интегрирование производится по З», то, очевидно, В4 Гл. 2. Кратные и криволинейные интегралы я Пусть Рл, Рл соответственно площади областей Р' и Р. Под площадями открытых областей понимаем лгеры Жордана множеств Р' и Р илн нх замыканий. Согласно формуле замены переменной и определения жордановой меры множества, имеем Рл = 0НиНе= ~~ ' НхНу, з з лгюзг з где ' = — -х туз, лбь з1 2 Заменяя двойной интеграл повторным, получаем (6'+ (6+ Ь)'+ 6(6+ Ь) + (26+ Ь),,/6(6+ Ь)) Ь' уз Ну (, /а + Ь + т/а) (у% + Ь + з/6) ~/а(а + Ь) 3 1 Рл=-~ х зНх 2/ Поскольку Рл = Ьз, Р, Ь Ьз+ (Ь+ 6)з+ Ь(Ь+ 6) +(26+ Ь),/6(Ь-+ Ь) Рл Ь (-,/а+ Ь+,/а) (ъ/Ь+ Ь+ т/6),/а(а + Ь) Переходя к пределу при Ь О, находим з 17.
В интеграле 1 = 0 1(х, у) НхНу, где край ОР компакта Р задан уравнениями л чгх+ /у = „/а, х = О, у = О (а ) 0), произвести вазгену переменных по формулам х = и соз е, у = ияп е и перейти от двойного интеграла к повторному, считая функцию У непрерывной. я При заданном отображении имеем В(х, у) ~ соз' о — 4исоз еяпе з з з =4ияп есоз е, 21(и, е) ~ яп е 4ияп е созе в силу чего получаем 1 = 4~~ /(исоа е, изщ' х)(и((яп' е сов е(НаНе, где Р' — компакт, внутренние точки которого отображаются на лгножество всех внутренних точек компакта Р.
Чтобы заменить полученный двойной интеграл повторным, найдем пределы изменения переменных и и е Прн заданном отображении край компакта, заданный уравнением,/х + ч у = т/а, переходит в отрезок прямой и = а. Если (О, у) — любая точка, лежащая на отрезке оси Оу,где 0(у(а,то е= — ". Если точка(х,О) лежитна оси Ох и 0(х(а,то и=О. з' Таким образом, справедливо равенство з 1=4/иНи= ~бисов е,ияп е)яп зсоз еНе.я з з . з з з о 18. Показать, что замена переменных х+ у = Е, у = бу переводит треугольник Р = ((х, у) б Й; 0 ( х ( 1, 0 ( у ( 1 — х) в квадрат Р' = ((Е, 0) б Й: 0 ~ (Е (~ 1, 0 ( у < 1) . м началу координат в плоскости хОу соответствует множество точек тг = ((б, ч) б и Е = О.
0 < ч < 1). Если у = 1 — х, то б = 1, ч = 1 — х, откуда следует, что множество 11. Интеграл Римана на компакте. Приведение кратных интегралов к повторным 80 Зг = ((х, у) б Иг: 0 ч х (ч 1, у = 1 — х) отображается на множество уг ли ((С, О) б Иг; Р = 1, 0 ( О ( 1), причем при возрастании х от 0 до 1 переменная О убывает ат 1 до О. Совершенно аналогично убеждаемся в том, что множество тз = ((х. у) б И: х = О.
0 ( г, у < 1) отображается на множество тз = ((С, 0) б Иг: О ( 0 ( 1, 0 = 1), а множество зл = ((х, у) б И: О < х ( 1г у = О) — иа множество т( — — ((б, В) б И: О (» с < 1, ц = О). Таким образом, край компакта Р отображается в край компактаР'. Осталось показать. что при заданном отображении любая внутренняя точка компакта Р переходит во внутреннюю точку компакта .Р'. Если 0 < х < 1, 0 < у < 1 — х. то 0 < С < 1, 0 < С(1 — О) < 1.
откуда следует, чта 0 < 0 ( 1, т.е, что тачка (с, О) б Р' — внутренняя. в зг.9. Пусть функция (х, у) л- у(х, у) непрерывна на компакте Р. край которого дР задам уравнемиями ху = 1, ху = 2. у = х, у = 4х (х > О, у > 0). Посредством залзены переменных свести двойной интеграл ! = // Дх, у) Нх Ну к аднакратнолгу. м Произведем в интеграле ! замему переменных по формулам ху = и, у = ех. Тогда 1 з 1 1 1 < и ( 2, 1 < е < 4. т.е.
отображение. определяемое системой х = иг е у, у = иг ег, осуществляет С' — диффеоморфизм квадрата Р' = ((и, е) б Иг: 1 < и ( 2, 1 ( е ( 4) на криволинейный четырехугольник Р. Согласно формуле замены переменных. имеем г з г ! = 0 у(и) Ни Не = — / Д(и) Ни / — = 1и 2 / у(и) Ни.
Ю(х, у) 1 ! ! Нг' 'Р(из) 2( ! е о' 1 1 Заметилд чта якабпан взятого отабражемия легко вычислить по формуле Р(х,у) ('Ю(и,е)з) ( у х ) х 1 Р(и.е) ('Р(х,у)/ ( „2 ) 2у 2е Вычислить двойные интегралы 20. ! = //(х + у ) Нх Ну. где Р = ((х, у) б И: х + у < 1). о И Переходя к полярным координатам р, ~р, получнлг уравнение края ЭР компакта Р в виде р (яп Лг+соз р) = 1, откуда После замены переменных и перехода от двайнога интеграла к повторному получим .,!,лз е Лсмз л г г г Нр /' Нр р Нр=- 4 ! мп 1г+ спал Н ! з(п р+ салах 1+ гк'м о Полагая в интеграле лк гг = 1, имеем л лл.
! = //(х + у) НхНу, где Р— компакт, край которога ОР задан уравнениями о уг ж 2х, х + У = 4, х + у — 12, 86 Гл. 2. Кратные и криволинейные интегралы П Решая системы уравнений ж у' ж 2х, ) у' = г*, я+у=4 ( к+у=12, получим соответственно хг = 2, хэ = 8 и хг .= 8, хз = 18. Поэтому справедливо представле- ние Р = Рг 22 Рг. где Р, = ((х, У) Е И: 2 ( т (ч 8„4 — х < У < ъс2т), Рз=((к,у)ЕИ: 8(я<18, — э22х(у(12 — х). Пспользуя свойство аддитивности двойного интеграла и заменяя двойные игггегралы повтор- ными, получим З ъ'22 22 12- 2 С- з ою о~2 з=чг з /( + у)г 2 го 4х+ — ) (я+у) 2 21 о=а- з 2 у= — оюс з 33 1 1 г з 1 1 2 э = ) — + э/2хэ +к — 8 0х+) 72 — — + эг2зз — х Нх = 543 —.
М / [,2 ) 1 [, 2 ) 18' 2 о 222. 1 = ~~ ) соз(х + у)) 4х Ну, где Р = ((х, у) Е Из: О ( х ( я, О ( у ( т). 1 = 2 )соз(х+ у)~ИтНу, Б' где Р' ж ((х, у) Е Из: О ( х ( я, О ( у ( я — я). С помощью отрезка ( (т, у) Е И: О ( х < т, у = — — т) разобьем множество 0' на два множества, на одном из 2 которых подынтегральная функция положительная, а на другом — отрицательная. Указанные области в полярных координатах определяются соответственно неравенствами 2Г я 7г 2Г т О<р< —, О<р<; О<р< —, 2 ' 2(ил у+ соя р) ' 2 2(з!и 22+ созсс) зш р+ соз р После перехода к полярным координатам и замены двойных интегралов повторными получим с 2 эи со с) 1по еос во1 рсоз р(йп Го+ спасо) 4р — ~ рсоз р(йп р+ сову) Нр о 2СПо тоссо О) 2 2 ж 2я ,/ (1.р+ р) ) И.
(,+,.) = ~ 4,)Ь= о о 2 23. 1 = ~ —" — х' — у' 4я Ну, где Р = ((х, у) Е И': х' + у' < 1). ,/,/ э/2 Ю и В точках квадрата Р, симлгетричных относительно его диагонали, определяемой уравнением х+ у = т, подынтегральнзя функция принимает равные значения, в силу чего справедливо равенство Принимал « 1 1 2 1= /1/у — х з у =д = .О У вЂ” * У+ 24 4х,/у2 теплу «« 21з~4 3 + 11 «) /~г у 4х 1У / 2 -1 а -1 «2 1 О« рр '~ з О1 -1 3 2-«2 2- -1 -1 е Г = агсив *, охончательно по- П носаеднем интеграле г = агсив ~2, Полагая в но имеем пучим лт еграяов в повторввзм ПР дЕ иР 3 1. Интеграл Ри'21вз а на множестве Рг— «+ з „з (, У) Е Р1положиге~ в фуихння У ' (х' у) 1 М р 1 Р , вследствие чего ( з 2 щ+ ) и отрипательна на мноязестве Рз— (з у) и мз 1 з + У < имеем 1(х, у) 4в ву = 1(з, У) Ых11У // п„.
„.,„= д *,. *"1~ о =д(" '-Ж)" -д (У- '-")"'"-'.' о м лам х = р совр, ахах 1 н 2 с 1 1 оответственно но фор у После замены р «е еменных в китегр з — жрсов1р,у — = ив Осе<2 Осе<2 О<р<1 О<р<1 г 1 2 1 Ы = — +42 з' 1 1 9 2 Р 4 р — — (виго+сов 21 ) р р 1 / ) / / Г 1 2 32 64 1 2/2 24.
1 = / )у — хз~НзЫУ, гдеР =((х, у) ЕИ 1 ф .. й 1 х (1,04У(2). ''=д -" ве Р1 = (з, у) Е К~: ~з~(ч ю ) мн — ( бм~: )*)(1,0(у( ). ательно на множестве 1 =,: ( а множестве .Рг ««( з, у 1,х (у.. ) н 2) непопожи льне на мн Р = Р1 сз Рз, и свонство во внимание, что сов 4$ т Б 1 = — — — + 2 сов 22+ — ~ 31 = — + —. 3 3 12 Вычислить витез р трапы от разрывных фунзиий1 6 Ж~ 25. 1 = 11 вдп(з — у -.О / — + 2) 4хйу, где Р = ((з, у) е Ж 22 хз 2<4) +у е ет екство М Исходя нз симметрии, следует рав 1 = 4 О вдв (х — у + 2) Лз Лу, Ю« Рис. л 88 Г, 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
