Anti-Demidovich (Lyashko I.I., i dr.). Tom 2. Ryady. Funkcii vektornogo argumenta (2001)(ru)(T)(223s) (940507), страница 36
Текст из файла (страница 36)
'!"У(х, у Ь.д»У(х, у) +Ь.д»У( х»»в!(в — »в)! дхв ду" дх» ду" » 1 разложемне (1) запишем в виде дУ(х, у) дУ(х, у) Ьз Фах, у) дзУ(*, у~ )Ьз дзУ1х, у дх ду 2 дхз дх ду 2 дуз Ь"Ь»-" д»У(,, у) ~ 1 У' „д"У(х, У) „д"У(х, у~) д-» ~-~ »в!(в — »в)! дх»сду»-с» ~-~ в! \ дх» ду» з с»З 192 Гл.
2. Дифференциальное исчисление функций векторного аргумента Аналогично, если й = 2» — 1, то 1(1, 2» — 1 — 1) ж О. Следовательно, интеграл (2) отличен от нуля только в том случае, если й = 2», 1 = 21»: 2» 1(21», 2» — 2т) = — ! свози раш " ~~ !» <бр. г о Вычисляя этот интеграл интегрированием по частям, получаем 2т — 1 1(2т, 2» — 2пз) = 1(ут — г,г — г +2). 2в — 2»1+ 1 Отсюда саедует, что (2т — 1Н2пз — 3) ...
3 1 1 О, 2») (2» — 2пз + 1)(2» — 2т + 3) ... (2» — 3)(2» — 1) (2»2 — 1)!!(2» — 2т — 1) !! 1(О, .2в). Пользуясь тем, что 1В~, 1 „„т 1Ы „„ 1 1 2п 2 . 2 (2» — 1)!! 2т / т / (2и)!! о о получаем (2т — 1)В(2» — 2т — 1)В (2в -1)В (2»1 — 1)!!(2в — 2т — 1)!! (2» — 1)!! (2»)!! (2»)И Далее, учитывая, что (20 — 1)!! = „"„= 2 1,', окомчательно кмеем то-ыотю1' мю! 1(2пз, 2» — 2т) = (2т) !(2 в — 2т) ! (3) Заменяя в раэложенмм (1) 1 на 2», 1 на 2т и используя равенство (3), получаем (2»)! (г )!(г -г )! д'»1(ху) Я-и (2»)! ~-» (2по)!(2» — 2т)! 22»и!т!(» — пз)! дхз дУзп 2 п»1 па »»зп»з о и а п»1 оо оо где 23ж — + —, И оа' ' Разложить в ряд Маклорена следующие функцми: 187. У(х, у) = (1+ х)"(1+ у)п.
и Имеем ~(х, у) ж~(0, 0)+31(0,0)+ —,д'5(0, 0)+ .... Вычислим в точке (О, 0) значения функции и ее дифференциалов: У(0, 0) = 1, 4(0 О) = тЬх+»23у, И~ДО, О) = пз(пз — 1) Ьх~ + 2ти Ьх Ьу + и(в — 1) 2302, Покатав здесь 23х = х, »ау = у н подставляя результат в равенство (1), получаем разаоженне функции (х, у) 1 У(х, у) в ряд Маклорена; 1(х, у) = 1+ тх + »у+ - (1»(по — 1)х + 2тиху + в(в — 1)уз) + .... И 2 з 5. Формула Тейлора 103 188. У(х, у) =1а(1+я+у). ч Поскольку (х, у) и 1+ х+ у — линейная функция, то форма дифференциала любого порядка обладает свойством инвармаитностм.
Поэтому у( ) ~~,п~( 1) -1 (в+ У) ~,п ~( 1) ~п о ~ «-п1 «1 ««1 и О « — х У, (х+у~ <1. и гп!(о — от)! 1 ~ а 189. 1(х, у) = с* зн1 у. и Ряд Маклорена для функцки ,((х, у) = ((О, О) + ~ — 1) х — + у в ) У(0, 0) д и! ~ дх ду) преобразуем следующим образом: у(х у)ы~~' (х +у ) 1(0 О)= 1/ д д! и! ( дх ду ) «о "-- и!х у"- д"1(0,0)," " * у«- д«Г(0, 0) и! д и гл((и-по)! дт,'"ду" х. 1я з т!(и ш)! дхыду» — »' =Е-Е ..
'- =ЕЕ ««о ~«о п«о «о Полагая и — »о ж й, получаем ~~" х"уо д"'"УР~а ~ 1 '-«е%! дх ду" Ма п«о Дтя нашего случая д"~"1(* У) д"" (~*~У),*„„( +ь '! Отсюда д +11(0, 0) , хт ) (-1)", если й = 2о+ 1, дх"'ду" 2 '~ О, если й = 2«, Подставляя последнее выражение в формулу (1), получаем 1)п «2«»1 е'юлу=~ ) ", (х(с,(у(с о. м по!(2» + 1)! 190. 1(х, у) = е* соз у. и ггспольэуем формулу (1) мз предыдущего примера. Для этого находим производные и вычмсляем их значения в точке (О, 0)1 г"2«п = н 1-»..., 1 2„ о-г +и Пользуясь формулой (1) из презшцгу'цсго примера, окончательно получаем оп пп е соэу жЯ.фз~ г ио!(2и1 (х) < оо )У! < оо. Ь 194 Гл.
2. Дифференциальное исчисление фупкдий векторного аргумента 191. а) у(х, у) = вшх злу; б) у(х, у) = соахсЬУ, о а) Находим производные до азу( ) д 22( 1пх 1!У) / вш(х+ — ) вЬУ, если 9 = 2а, дУ д* ду ) оп(х+ — ) слу, если Й ж 2в+1. Полагая здесь х = О, у = О, имеем д вью(0, 0 дх дув = (-1)', если т = 22+ 1, 9 и 2в+ 1, ды" У(0, О! с = 0 в остальных случаях. дх ду" Используя формулу (1) из примера 189, получаем ( 1о 2221 2 21 вш х вЬ у — ~~ ~, )2! < со, )у( < оо. (22 + 1)! (2н + 1)! ' б) Аналогично предыдущему случаю находим д'о+!у(х у) д~+1(с, хсь у) ) сов(х+ — ) сЬУ, если 9 = 2в, дУ дх дг":~ сов(х+ — ) влу, если 9 = 2о+1. Отсюда дог" У(0, 01 — — '-~ = (-1)', если ш = 22, 9 = 2в, дх- ду д'"+ьУ(0, 0) ы 0 в остальных случаях.
дх ~ дуз Подставляя найденные значения производных з формулу (1) нз примера 189, получаем сов х сЬ у = ~ ~~ 1 — — -, ф < оо, ~у! < оо. > (2в)!(2в)! 22 =а 192. У(х, у) ы вш(х'+ у'). о Используя известное разложение 1)о-1 2о-1 (2а — 1)! справедливое лри )в) < сю, получаем прн а = хз + уз формулу маклорена для мп(ха + у ): ( 1) 1(х2 + уз)во 1 мп(х +у)=)~~, х +у <+оз.м (2в — 1)! о=! 193. Написать три члена разложенкя в ряд Маклорена функции ! + )!22,1 в и Прм )х( < 1, (у( < 1 имеем 1 и* )=3(1+! + Г (à — 1)х+") 2 в ,((г, у) = Щ 1) + ~ — ((г — 1) — + (У вЂ” 1) — Д1, 1).
д д '1" «)( дх ду ««1 Преобразуя данную формулу ((* У)=Ей~(* 1)д +(У ')О)~б('')жЕР~ ю( — ° ). д*-д,--- 1 / д д'1«1 а!(х — 1)ю(у — 1)«ю д" ((1, 1) ««а «а ъ«а и обозначая п — ш = й, получаем .г'(г, у = 2 ~-~ ч (г — 1) (у — 1) д +" г" (1, 1) а«а «1«а (2) Находим производные д«аау(г, у) д ~та(г*+г) д 'г» дгг" дг дуг дг"' ду" дг ду" в в"Ргы г затем вычисаяем их значению в точке (1, 1): — — - -~ = е и, додставяяя в формулу (2), поаучаем ~(г,у)же ~ ~ *, )г)<оо, )у)<оа. М а а «г«а 195.
Пусть г — та неявная функция от г н у, опредеаяемая уравнением гз — 2гг+ у = О, которая при г = 1 и у = 1 принимает значение г = 1. Написать несколько членов разложении функции г по возрастающим степеням биномов (х — 1) и (у — 1).
м Из условия задачи саедуег, что г(1, 1) = 1. Находим частные производные от г как от неявно заданной функции: дг 2г д. =За 2г' 2(Зг — 2г) в' — 2 (бг — ' — 2) г дг 1 ду Згг — 2г ' в дгг бг — — 2 в* бг — * в* вг дг г дуг (З вЂ” Зя) ' дгг (Згг 2з)г дг ду (Згз — 2*)г В точке (1, 1) дг дг дгг дгг дзг — ж2, — „=-1, — =-16, — ж10, — =-б: дг ' ду ' дгг ' дхду ' дуг Испоаьзуя формуау (2) предьгдущей задачи, получаем г(г, у) = 1+ 2(г — 1) — (У вЂ” 1) — 8(я — 1) 4 10(* — 1)(у — 1) — З(у — 1) + ..
> Упражнения для самостоятелыюй работы 3 г 142. Функцию г'(г у) = г +*у +*у+я+у разложить по формуле Тейаора в окрестности точки (1, 1). Разложить по формуле Маклорена следующие функции: 140. г (я, у) ж е*+". 140 г (я~ у) ж а ма у+ соз(я 4 у). 1бО. З(з, у) = е З б. Формула Тейлора 196 а у После интегрирования находим г (г, у) = 1+ у ~г — г ) у 4.... и 194.
Фушгцию (я, у) «е*гг разаожить в степенной ряд по целым положительным степеням биномов (я — 1) и (у — 1). 4 Поскольку степенной ряд яважтса рядом Тейлора дая функции (, то дая получения требуемого разаожения применим формулу (1), п.5.2, которая запишется в виде 19б Гл. 2. Дифференциальное всчвслевие функций векторного аргумента ~ 6. Экстремум функции векторного аргумента б.1.
Опредепевве локального экстремума. Пусть $уикция х 2 у(х), х = (хг, хз, ..., х„), определена иа множестве Р С и"" и точка хг = (хзн хз,, хз), хэ б Р. Говорят, что функция 6 имев!в точке хс локальный максимум (минимум), если существует такая окрестность Я(хе, 6) = (х: О < р(х, хо) < 6) точки хз, что для всех точек х б Я(хз, 6) Гз Р выполняется неравенство Л ) > )(х) а ) < Л*)). (1) Локальный максимум и локальный минимум объединяются общим названием локальный экстремум, а точки, в которых он достнгаетсл, называются зксгаремальиыми точками.
Если функция у имеет в точке лэ локальный экстремум, го полное приращение 62)(лз) = )(х) — !'(хс), х б Яхо, 6) щ Р, этой функции в точке хз удовлетворяет одному нз следующих условий: 62)(ха) < О (в случае локального максимума), 22)(хс) р О (в случае локального минимума). 6.2. Необходимое условие локального экстремума. Пусть функция ф имеет в точке хо локальный экстремум. Тогда если в этой точке существуют частные производные первого порядка по всем переменным, то все эти частные производные равны нулю. Таким образом, в этом случае зкстрематьные точки функции ) удовлетворяют системе уравнений У,,(хз) т О, у = 1, в. (1) Если же функция ) днфференцируема в тачке хэ, то соотнощение йУ(т) =О (У'(хэ) =О) (2) является необходимым условием локального экстремума.
Точки, в которых выпогняетсл условие (1) или (2), называют с!аачионариыми точками. Функция ) может принимать локальный экстремум только в стационарных точках или в 'точках, в которых частные производные первого порядка не существуют. Все этн точки называют ~очками возможного экстремума. О.З. Знакоопределеввые квадратичные формы, Функция А(Ь, Ь2,, Ь ) =6, у,аг!Ь Ь а = а» (1) ! 1 1=1 переменных Ь1, Ьз, ..., Ь называетсл квадратичной формой. Числа а, называются коэффициентами кеадрагвичной формы. Квадратичная форма (1) называетсл положительно-овределенной (отрицательно-определенной), если для любых значений переменных Ь1, Ьг, ..., Ь„, для которых выполняется условие Ьг + Ь; + ..
+ Ьг > О, зта форма имеет положительные (отрицательные) значения. Положительно- и отрицательно-определенные формы объеднняютсл общим названием — знакоопредеяенные формы. Сформулируем критерий зиакоопределеиностн квадратичной формы — критерий Сильвестра. Дгя того чтобы квадратичная форма (1) бь!ла положительно-определенной, необходимо и достагаочно, чгнобы аыиозиялись неравенства он а12 ... аг ан аы агз ан ащ! аы агг ... аг ан >О, ~ > О, аю агг азз > О, , ''' > О.
аз! агз ( азг азг азз аэг а 2 ... а Для !лого чтобы квадратичная форма(1) была отрицательно-определенной, необходимо и достаточно, чтобы имели место нераеенсглеа а11 ам ... а1 ~ ац агз агз он <О, 1 ~)>0, агг агг агз <О, ° ° °, ( 1) 21 22 за >О. ( а21 а22 аз1 аз2 аэз ат а 2 ... аьч з 6.
Экстремум фуцкцнм векторного аргумецта 197 6.4. Достатачцые условия локального экстремума. Пусть в некоторои окреспюсти стюгиоиариой точки хэ функция у дважды дифференциВэ г руема и все частные производные второго порядка в в (г, у = Т, и) непрерывны в точке хэ Если в этой точке второк диффереициаа Ы Дха) = ~ в в Ыг, г(хг представляет сот вгг с,=г бой знакоопредезенную квадратичную форму от днфференпиааов Ихы ахэ, ..., г(х независимых переменных, то в точке хэ функции 7 принимает вокальным экстремум. При этом если а )'(ха) < О, то в точке хэ функция у принимает локааьный максимум, а если а~у(га) > О, то локальный мкнкмум.
Рассмотрим функцию двух переменных, Пусть в некоторой окрестности стационарной точкк (гэ, ус) функция (х, у) г у(г, у) дважды югфференцируемаи все частные производные ~эг второго порядка агг =. — г, аю = в в, агг = в т непрерывны з этой точке. Тогда всяк в в в вг вг точке (го, уо) ".г(хо, уо) = апагэ — а,г > О, 2 функция (х, у) 1 „7(х, у) имеет з этой точке локатьный экстремум, а именно максимум при аы < 0 к минимум при аю > О, Есан же з точке (хэ, уа) г г.'г(хв, уг) = аыаю — агг < О, то функция У не имеет вокального экстремума з этой точке, Случай, когда га(хэ, уэ) = ам ага — аз~э — — О, требует дополнительных исследованиид Пусть в некоторой окрестности точки хэ функция у(х) = 7(хы хэ, ....
г„) т раз диффереицируема и все частные производные ш-го порядка непрерывны в эгон точке, причем 4У(хз) = О, г(Т(ха) ы ... ы 4 '1(ха) ы О, 4 1(хв) Р О. Тогда, если т нечетное, точка ха не является экстремааьиой, если же т четное, то з точке хр фУнкЦиЯ У имеет экстРемУм: локальный максимУм, если 4~7(ха) < О, и локальный минимУм, если а~у'(хв) > О. Если з соотношениях (1), ц.б.1, имеет место равенство для яюбого малого б > О н некоторык зиа гений х, отякчных от хэ, то локальный экстремум называют игстрогии (соответственно нестрогим локальным минимумом к нестрогая гокольнэги ааксимуиам). В этом случае аокаяьный экстремум достигается на некотором множестве точек. Если экстремальная точка ха принадчежит границе области П определенна функции 7', то экстремум называют краевым (соответственно краевым максимумах и краевым минимумом). 6.5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
