Anti-Demidovich (Lyashko I.I., i dr.). Tom 2. Ryady. Funkcii vektornogo argumenta (2001)(ru)(T)(223s) (940507), страница 32
Текст из файла (страница 32)
дх /ду ду ду /ав дв + — ~ — еи+ — аз+ — ~ — еи+ — ее)) = ау ~аи аэ дв (ди а, дй дй дЬ /дв дв = — еи+ — ае+ — ~ — эи+ — Ые) (8) ди де дш ди дз и сравнивая коэффициенты при аи, дэ, получаем систему Э» Эе Эе из которой находим — и — как функции — и —. Э» Ез Э» Э»' 124. Преобразовать уравнения: а) у'у'» — бу»Я х; нрэльйв у за новуэо лезэвэпяэвую перемою»ую. дЬ дй дв = — + — —. де дв ди' дй дй дв = — + —— де дв де' (9) б) у»зугэ ууу»у»у'»+ 32у ш О переменные и, е и новую функцию (и, е) ~ в(и, е). Переменные и, з, в выражаются через х, у, * с помощью равенств и ш в(х, у, з), з ш »Ь(х, у, х), в = х(х, у, з), (2) где функции э», »э и х достаточное число раэ дифференцируемы л — ",' е'; ,-4 О в некоторой Ргшз,»1 области.
Для решения поставленной задачи достаточно выразить аргументы функции Г через и, е, в, э~, —, .... С этой целью запишем дифференциалы равенств (2): аи = — Нх+ — Ыу+ — — ех+ — ау дш дш дш (дх дз (3) а, ау а. ),ах ду дй дй д»Ь (дх дз бз ш — Ых+ — еу+ — — ех+ — ду а* а, а, (ьах ау д ав дХ аХ аХ (д а.
ев = — Ыи+ — аз = — ех+ — Ну+ — ~ — »х+ — »»у (б) ди дз дх ду дх (~дх ду Заменяя в последнем равенстве эи и бе их выражениями (3) и (4) и приравнивая коэффициенты лри ях и яу, получаем систему 169 9 4. Замена иеременньси М Сотласно правилу дифференцирования обратной фунхцин, имеем >1у 1 Гх Ж зз ,1з „ лх~ ~ еу зз с 3 зс зс з з Заменяя в равенствах а) и б) производные, ~, ~~ к,, только что вычисленными их 4Х Зс Ес зчд значениями, иолу чаем: а) "„-у+х~ — ) О>б) азт О'» 2, 125. преобразовать уравнение у + -у +у = О, приняв х за функцию, т = ху за независимое переменное. < По формулам (3), л.4.1, находим ду 1 Ых хз' хз' и Зг 1,1 1 1 ( зхз зх,с ь зт ,сс зс (2) Из условия задачи и равенств (1),(2) окончательна получаем -сбу 4 у -с б / -с с)91 -зс /б у бу ) а' бхз Ит'1 Д.) ~И Ц' бу буба 1 (у 119 й >х (1 бх ы % И с' 11 ы зс Заменяя в данном уравнении х на е', производные у' н у" — вычисленными выше нх значениями, получаем — +у=у.
» Фу зтз 127. уы ' ~у, есви а = )в (х(. Ввода новые переменные, преобразовать следующие обыкновенные дифференцкальные уравнения> 126. хауз+ ху'+ум о> если х =е'. < Имеем 170 Гл. 2. Диффереиииалаиое исчисление фуииннй векторного аргумента ч При * ~ 0 имеем с(у с(у й с(у вбвх 1 с(у с(зу 1 4 т1 с(у'1 1 (сПу с(у '1 с(х йНх й ~х! хй' с(хз хй~зй! хг(йг й)' Таким образом, данное уравнение пряобротает вид Фу ~Ру — — 3 — +2 — — бу=О. и йз йг й 128.
(1 — х')у« — ху'+и'у=О, лик=сова Ч Вычислим производные уу 1 й 1 4у с(~у 1 4 у 1 ссу'1 1 с(~у созт с(у 4 ь«,(у зшт й' бхг в) Зй(; З й! «шзв йг ввоз й' ьс Подставляя их в данное уравнение и заменяя х на сов П получаем бгу — +и'уоб.м йг 129. у + уЗЪх+ — у=б, если х=)в зб —. «с сл сЪзх 2 и Имеем с(у 1 с(у . 4у 4гу ы, сс У, ву'з . з 4гу .
с1у — = — — = з)в Ф вЂ”, — = вш  — ~ма 1 — ! = ив 1 — + ав Фсоьс —. Ь* й й' Ы й1 й! й й' ьс А так как 1Ьх сх — совз, —,„, ш ив З, то з г сс г у +у11сх+ — у=вш З( — +оз у =О. т .г сеу г з ,бгх (,йг ,сг Отсюда — з + глгУ = О. > сзо.„" ° сс.С,'с,С.с,=о. =.,( — ,')~ссСсс). о ° ф Находим производные « « о 4у Ои ( 1 Г )з р(х) ( 1 Г )з Йи р(х)и'1 ( 1 à — = — ехр — — (р(б)сК вЂ” — иехр --) рфс(4 = — — — ) ехр — -!з рЯс(( 4х 4х ~2/ ~ 2 ~2,/ ~ (,Ь 2) ~2) «о о «о с(гу сз Ри с)и и с)р ир~(хй 1 / — = ( — — р(х) — — — — + — ') ехр — ) рЯ4б с(хз 1, с(хг с(х 2 с(х 4 ) ~ 2,/ «о После подстановки их в уравнение получаем — + ~у(х) — -~ — — -р (х) и = О.
р 4г„ / г( ) 4хз 1з 4 2 131. хоу«+ хуу' — 2уз = О если я =в' и уш ивг', где и ми(1). 3 4. Замена перемеппьзн < По формулам (3), п.4.1, имеем (з 4 (44) (Я+3 — „»+2а) е' (4", + 2а) е" гиц = ~ — +2и) е бх е~ '131 а~и аа +3 +2а Й' Й вЂ” Йз 31 Й Йт а зз 4, (д~) З 4» Таким образом, данное уравнение принимает вид зз(а в ац ац 1 — + (31 + Ц вЂ” + — = О, М Йз Йз Й 135. Преобразовать уравнение Стокса у Ау з, полагая а =, 1 = у (х — а)з(х — Ь) х — Ь' !х — а! 1в ~ — ~ и считая и функцией переменной 1. 1*- ь! < Из формул преобразованна при Я > О находим (а — Ь)е' а — Ь (а — Ь)и 1 - е'' 1 - е' Сяедовательно, Ау Аи(1 — е')з (ц (х - а)'(х - Ь)г (а - Ь)хе" Находим производные Ав -д, би — = Аа =(е ' — Ц вЂ” +а, бх 4* ж (2) бхз (а — Ь)е ез бхз е' ьс Тогда уравнение запишется скедугощим образом; Ы а 0а — + (а + 3) — + 2и ж О.
р Йз Й 132. (1+ х')зу" = у, если х = 131 и у = —, где а = е(1). созг' и Анькогично предыдущему примеру имеем »'с»з»1»ю ! з » Ф 4 у а' созг — и ап1+а мпг+исоз1» з — ж '", ' ж а'созг+июпг, — (и +и) соз 1, Ы дх где а' = — ". следоватехьно, —,(и + и)сох»1 = — ', или из ж О. ь 133.
у»+ (х+ у)(1+ у ) ж О, если х = а+1 и у = а -1, где а = а(1). < По формулам (3), пА.1, имеем 33 а' — 1 бзу 1 (а'+ Ции — (а' - Ци» 2и» ц +1' Йз а +1 (а~+ цз (а~+ цз ю 4 где и = — „, . Подставляя эти выражения в уравнение и заменяя в нем х и у соответственно иа и+1 и и — 1, получаем аз+За(а)з = О. З 134. уе' — хзу" + ху' — у = О, есяи х = — и у ж "-, где и = и(1).
1 1' ч По формулам (3), п.4.1, имеем 4» с — -» бу я~г Ыа бзу — — = -1 — +ц, бх з, Й ' дхз 172 Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций векторного аргумента Аналогично поступаем, если '†' < О. » 136. Преобразовать уравнение (1-тз)зуб 4у = О, полагая з = СЬ Г, у = —, где и = и(1). сЬС ч Дифференцируя у как параметрнческн заданную функцию переменной Г, находим б' ат-б вт взу ивсЬЗ вЂ” исЬ1, в ° Ьз тб (и — и)СЬ а = и'сЬ1 — авьг 1 сыт б Отсюда м нз условна следует —, = О.
» б,з 137. Доказать, чта шварцман а(з(г)) = — * — — ( — ) не меняет сваета значения *в'(1) з /вб(1) 1 в(Г) 2 (, '(Г),/ при дробно-линейном преобразовании у = вх(з) + 6 , вб — Ьс Ф О. сх(г) + й' и Имеем тз б з 2сз у = (вб — 6с) (сх+б)з' ~(св+б)з (сх+Н)з ) ' ~б з' бсзх без В 1 б з (ох+а)з (сх+Ы)з (сх+б)б ~ ' Отсюда (св+ Ы)з 2 1 а') се+ б у'в б ~(у(1)) = — , —- у 2 с' бсхб л' сх + д (сз-~- в)з з = т сов и, у = тиар, следую- Следовательно )=' (( " ")) 1 1 3 / у т в1в щ + гсов 'т ° з / У„,(, л тса,р1 т сов р, — тюли) =2т~йа»сав»~1+ ~ т'савбз — тмл и ~ ~'совет — тыв вт) ) Сравнивая равенства (1) н (2), после упрощенмй получаем ~ыа Иа Аи Из а (в — Ь) Преобразовать к полярным координатам т к о,полагая щие уравнению' 138.
—" = *+", < Используя формулы (3), п.4.1, находим — в1в зт+ т сов е У бт б. — саво — твш а б",ааа+тсови ом„>+в1вр соз М вЂ” ыв и бт бт После преобразований получаем — = т. » 139. (яу'-у)' =2*у(1+у ). ч Используя равенство (1) предыдущего примера, получаем з у бьз = Я(з(г)). » 128 у 4.
Замена перемепмьпс 'г Я Используя выражения для ус и усс, ззлнсаиные в полярной системе координат (см. примеры 138, 140), находим Я „гвг„сг (гс ссс т-г Нс ТСс К- (г~ + 2т' 3, т совн — ГЯпзсЯО. (та+ г'2) Р з с + ~сс'ос гвгсюг 2 с г — Ис г 142. В системе уравнений йх — =у+ух(х +у ), — я-х+йу(2 +у) 2 2 С)у 2 с)2 Й перейти к полярной системе коордмнат. Я Диффереицмруя равенства х = т сов со, у = г вы Я ~о 2, получаем систему 82 с(т Взс сзу дт 8Я вЂ” = — соввс — тапир —, — = — яввс+тсовзг —, с(2 с(2 а' и 82 81' из которой находим 8Т с(х Ву . Нас 1 / Ьх , с(у — — ССЯВс+ — ЯП Р, — ( — ВГЯЯ+ СОВ Я) 41 82 а ' 82 т (, 81 82 Учитываа, что —, = гв1а ус+ хг совР, ьас = -гсов р+ йг всп У, окончательно ьс з ь з .
с з ь ьс сгу сз 143. Преобразовать выражение Я = х — — У вЂ”, вводя новые функции с112 с122 ' я = агс18 у.. Я Дифференцируя равенство вс = ыс28 д, находмм ь ьс *-"-у— 2+ 2 сг находим —, я о Отсюда г —, я х " — у —. зьг ь ь* ьс ьс,о Днфференцмруя поспеднее равенство, окончательно пояучаем 8 у зйзс'г 82У с(гх — ~г — ') =х — -У вЂ” Я.Я сН 1 ТЦ У сУЬ2 сувг Отсюда г = =-и~~та *Се 2Г 14О, (*' + 2)'у" Я (х + уу')'. Я Дифференцируя равенство (1) из примера 128, получаем ь„сус т +2à — тт, с(у с Ат 2 сг з у= —, г= —, ьс (гссовя гявя)з ьг с,з с, С,'сс'С'=,',,С,сссС'= следующем виде: г (гг+ 2г — гто) гзг з сг г'сов вс — тяпу ~ О.
(т' сов вс — тяп вс) (т' соз я — с як сс) Мян Г(тг + 2т' — Гто) я т, > 141. Кривизну плоской кривой К =, выразить в оовяриых координатах г и (у**( (1+ у*") ' 174 Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций векторного аргумента Вводя новые независимые переменные 4 н »1, решить следующие уравнения: дг дг 144. — = —, если б = х + у, О = х — у. дх ду' дг дг ди дг де у.дл ( х+ге, дг ') дх а, а /» а » „,'Г а, а а, дг дл ди дг де 1 дл ( У+лег дг ~ дг — = — — + — — = — — + +— аа = а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
