Anti-Demidovich (Lyashko I.I., i dr.). Tom 2. Ryady. Funkcii vektornogo argumenta (2001)(ru)(T)(223s) (940507), страница 27
Текст из файла (страница 27)
е По формуле дифференцирования сложного отображения, находим (/од) жу д = ь«'«««тг«ь«« ч ы+в +« — Х ««е„« » +у ~:схс;-т« ~~. „,.~ 146 Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций векторного аргумента д* дй д Р»,,«да +й =, о ...,«1 в. д д/ д» дв вх дд д» д« д« э/ дву 67. Полагая х = Щ, у = бв — Щ, « =  — СЛ, найти якобиан -~-'-'-"-'-'). В(1,»,Г) ' 68. Доказать, что если х = совр, у = зш)зсозб, « = ип(дзшусоз))), то якобиан равен — з)л р ВЙх 0 Бш з). 69. Доказать, что при зг = -й1=, аз = — Аь= —, из = -Л=, где г' = х'+ у'+ «з, справедливо равенство о(»~ »«, »з1 (1 «)— О(*о»з *«) «3 д» З дз» 1 70.
Проверить, что — = а --у, если е =,е ьм, ш в*' 71. Проверить, что х — +у — +« — = О, если в= Н д» д» д» д« д« д« Вычислить выражения: дз» дз» дз» 72, — зг — 2д,г„+ изн, если и = р(х+у). дз дз« ') 3 73. —,т ~у — ( —,~„~, есви и = Г«(ху). 26. У(х, у) =2* ".
27. У(х, у) ж)в(ха+маху). 28 У(х у, х) ж)п(к~+2«+163«) 29. ~(х, у) = сов(2х+Зу+1). ЗО. Дх, у) = е * з 31. 1(х) у) ж(х+1)~з+'. 32. г(х, у) = аш18 )* "-. 33. «(х) у) ж 2 «, 34, у(х, у) и 1в(е*+ 2е"). 35. /(х, у) = вгс15» . 36. 1(х, у) = ху — - + з, 37. г(,,у,,)ж,«+уз+,«4.,у4.„4.у,+,"у, 38 г(, у,) (,у) 39. Г(х, у, «) = «"". 40. 1(х, у, «) = аш18«+ з«сгуу+ агсК «.
Найти дифференциалы следующих функций: 41. Дх, у) = мп(хз + уз). 42. ~(х, у) ж агссоз (ху). 43. ~(х, у) = 1п18-'. 44. 1(х, у) = ыс15 (хе + уз). 45. 1(х у «) = )в(х+ у — з). 46. у(х, у) = х". 47. 1(х, у) = соз(ху). 48. У'(х, у) = хз 4 у — ху. 49. 1(х у) = е"*". 59. 7(х у, «) = хзу+ узх+ «зу Непосредственным вычислением производных проверить теорему Эйлера об однородных функциях: 1 « 51. 1(х, у, «) = (хе+ уз + «з)з 1в-", 52.
1(х, у, «) = ";е*. 53. 1(х, у, «) = зш ,/(...)= — '. /(....)=,с(/г .*../(.,)= /«2 ~~2 ( «3 ' «' Найти частные проиазодиые первого н второго порядков в следующих примерах: 57. У(х, У) = з 1п(х 1. У ). 58. 1(х, У) = агс16 1*-~-. . /(. ,) = ...(. /,) / „ (. / ).
ю . /(. . .) - ,ЛГ~7 ~ » . Найти производные первых двух порядков от функций: 61. зж)«((,в),(жх+у,в=х-у. 62. а=в(4,л),(их~+у +«~,ужгу«. 63 з у(с В) с ж О 64. Показать, что если х = вс«, уз = (с, « = «/в, то хд»+ ус«+«д, = бег +не +»,зс. 65. Полагая х = егсгм» р, у = дгз)в»)«, найти якобиан ж д» д« д вд дд д/ 66. Полагая х ж а/со« (дзш В, у = 1/«ш~рз!в У, «ж с/сов»У, найти якобнан $ 3. Нем~же функции 147 Проверить следующие равенства: 74. (х — +у — фх — ) ижй,и= хзфузфхз, е в е1 е, ез ау + +, и 1в(х + у + х — Зхух).
' Е* е„еэ *+э+э' 76 — е +- в = -тэ ежугэ(х +У ). 77 е,э е„э — 2оез — — а и1 и =с р(х — у). э в* э еэ э з з е' е'« в. з 78, †" — †" = -21эа, и = Зэ(у — х) — хуэ(у — х). ( — ** 11 79. (х — У ) — '+ хУе' — — хУх, х = е~хэ Уезз' . 80. е,"+ е ", — — О, и = )а(х +У ). з еэ еэ Зеэч э 82. *'е ", +2хре'е +У' — ',", =п(п — 1)и,гпе и=к"Х(-")+х'-"Ээ(-") 83. в-г — 2 —" + — ", = О, если и = хо(х+ у) + уф(х + у).
84. а и — — ( — ) ) = Ь ~и — — [ — ) ), где и = р(ау+ Ьх)ф(Ьх — ау) е,э (, е, ) ) ~ е„э [ еэ ) ) ~ 3. Неявные функции 3.1. Принцип неподвижной точки. Пусть Х вЂ” метрическое пространство. Определение 1. Оператор (отображение) А: Х Х называется сжимающим, .если ЗВ б [О, 1[эт Чх, у б Х: р(Ах, Ау) ц Вр(х, У). Из определения следует, что оператор А удовлетворяет условию Лнпшнца н, следовательно, .равномерно непрерывен.
Определение 2. Точка х й А называется неподвижной точкой оператора А, если Ах = х т. е. если она является решением операторноео уравнения Ах = х. Теорема(Каччиополли — Пикара — Папаха). Всякий сжимающий оператор А, оэпображающий полное метрическое пространство Х в себя, имеет в этом пространстве единственную неподвижную квочку. 3.2. Определение неявной функции.
Пусть задано отображение 1: Х х У Е, где Х С К , У О И", Е С и", причем множество Е содержит нулевой элемент пространства И". Рассмотрим уравнение Дх,у)=0, (1) Если существуют непустые множества Е С Х и Г О У такие, что Ух й Е уравнение (1) имеет единственное решение у б Е, то можно определить отображение Ьо: Е Р, поставив в соответствие каждому х й Е то значение у = Ьо(х), у б Г, которое при этом х является решением уравнения (1).
В этом случае уравнение (1) определяет Ьо как неявное отображение Е Е . 'х ьч 1р(х), которое называется неявным отображением (прн и = 1 — функиией), определяемым уравнением (1). З.З. Теоремы о неявной функции. Пусть задано уравнение Дхэ, *з,, хт, у) =О (1) которое запишем в виде 1(х, у) = О. Здесь х = (хэ, хг, ..., хю), х б Я (хо, а), хо = (хвэ, х3, ..., хв;), у б б(уе, Ь), Я(уо, Ь) = )уе — Ь, уо + Ь[, Обозначим П = В(хо, а) х Я(уе, Ь). 143 Гл. 2. Дпфферепдиальиое исчхслввме фумкдвй векторного аргумеита Теорема У. Пусть функция 1 ( Р ь И удовлетворяет следующим услоонямз 1) У непрерывная в Р и Яхо, уе) = 0; 2) в Р сущестоуегл частная производная уг, непрерывная а точке (хо, уо); 3) ге(хе, уе) зй О.
Тогда Э 6 б]0, а[)т Зе б]0, Ь[ такие, что уравнение (1) определяет единственную функцию у: б(хо, 6) Ь'(уо е), (2) непрерывную в шаре о(хе, 6), и такую, что у(хо) = уо. Теорема 3. Пусть выполнены осе условия теоремы 1 и е области б(хо, 6) х Я(уо, с) С И Ш существуют непрерыеныс произеодныс Уе, 1 = 1, т, (э', причем уз' ф О. Тогда неявная ез ' функция у: П(хо, 6) о(уо, е), определенная уравнением (1), дифферснцируема е каждой точке шара Я(хо, 6), а се частные производные еьтисляются ло формулам 1.',(х, У) Ях, у) (3) Пусть задана система уравнений з (х),зз, ° ст у! Уз,у )жО, )=1,и, которую запишем в виде одного векторного уравнения у(з, у) = О. (4) Здесь х = (к), хз, ..., х, ), х О я(хо, а), хо = (х), эз, .. .
хо„), у = (у), уз, ..., у„), у б Я (уе, Ь), уо —— (уе), Уъ, ..., у~,). Обозначим Р = Я(хе, а) х Я(уо, Ь). Теорема 3. Пусть отображение У(Р И" удоелеп)воряет слсеующим условиям; 1) з непрерывное о Р о)пображение и У(хе, уе) = 0; 2) е Р существует частная производная з„(х, у)— (хо, Уе) ле (хо Ур) . ое (хо, Уе) непрерывная е точке (хе, уо); 1)ыг„(„„,1-$з "ь) (,ь). Тогда д 6 б]0, о[)( Ле б]0, Ь[ )панис, что уравнение (4) определяет единственное о)ноброжение у: о'(хе, 6) 3'(уо, ), непрерывное е замкнутом шаре Л(зо, 6), и такое, что у(хс) = уо Теорема 6. Если выполнены осе условия тсоремь) 3 и е области Р существуют непрсрьмныс частные производные бы Уз, а матрица Уе(х, у) обратима е этой области, то отображение у: Я(хе, 6) о(уо, е) дифференцируемо е каждой точке х б б(хе, 6) и при этом у (х) = -(у„'(х, у)) Т,(х, у).
(3) 3.4. Обратное отображеввв. Пусть задано отображение ~( Х г У, где Х С и", У С И". Если длз каждого у б У уравнение Дх) = у имеет единственное решение х б Х, то па множестве У можно определзст отображение У з: У Х, поставив в соответствие каждому у б У то значение х б Х, которое при этом у звлзетсз решением уравпеииз у(х) = у.
Так определенное отобрикепие пазьгвается обратным по отношению к отображению У. Ясно, что отображеиие У звляетсз обратным отображеиию У ), поэтому отображения К и,У наэываютсз взаилгно обратными. ) Из данного выше определения следует, что Г Ях))шх )ГхбХ, (1) З(з) (31)) Ш у ууб У. 13. Неявные функции 149 Теорема. Пусгнь отображение г ! Х -! У удовлетворяет следующим условиям: 1) у непрерывно е Х и уе — — у(хе), хе б Х, уз й У; 2) е области Х существует производная уг, непрерывная е точке хо, причем матрица " (хе) "(хэ) ... е (хо) д...г С! ! э!З "Ь' ~! )ЗУ Тогда эо(хо, е) С Х з! эо(уо, 6) С У саакие, что дяя сужения отображения 1 на юор Ь(ха, г) существует единственное непрерывное отобрамсние Г~ ! 6(уэ, б) 5(хэ, г), принимающее значение хо при у = уэ, т.е. Г (уе) = Хс.
! Это отображение дифференцируемо в точке уе, и его производная в этой точке вычисляетсл по формуле (У ) (уе) = (1 (хе)) (3) Для якобианов из формуаы (3) получаем равенства Р(Т,.(э-',...,У )(у) 1 (4) зз(ус, уг, , ун) 11(У! зг .( ) Ю(хс, хэ, ..., г ) Прн формулировке большинства задач этого параграфа предполагается, что выполнены условия, обеспечивающие существование неявных функций и их соответствующих производных, 88.
Показать, что функция Дирнхле ) 1, если х рационально, О, если х иррационально, разрывная в наждой точке, удовлетворяет уравнению у — у = О. м В рациональных точках значение функции у и ее квадрата уг равно единице. Поэтому в этих точках выполняется равенство у — у = О. Если х иррационально, то у = О, у =- О, н мы снова убеждаемся в справедливости равенства уг — у = О. Таким образом, при всех действительных значениях х функцив Дирихле удовлетворяет уравнению уэ — у = О. ю 89. Пусть функция ( определена на интервале ]а, 6[. В каком случае уравнение 1(х)у = 0 имеет при а < х < 6 единственное непрерывное решение у = 03 ч Очевидно, у = О, а < х < 6, являетса непрерывнмм решением уравнения (1) при любой функции у', определенной на интервале ]а, 6[. Пусть у = у(х), а < х < 6, — другая непрерывная функция, являющаяся решением уравнения (1), и точка хе б]а, 6[ такая, что у(хо) ю О, Из непрерывности у следует, что у(х) р' 0 на некотором интервале ]а, 6[С]а, 6[, содержащем точку хе.
Тогда длл выполнения равенства 1(х)у(х) ш 0 на интервале ]а, 6[ необходимо и достаточно, чтобы 1(х) ш 0 длл всех х из интервала ]и, !3[С]а, 6[. Таким образом, если множество пулей функции у не заполняет целиком никакой интервал ]и, !3[С]а, 6[, т.е, нигде пе плотно па ]а, 6[, то у = 0 — единственное непрерывное решение уравнения (1). Ю ВП. Пусть функции у и у определены и непрерывны в интервале ]а, 6[. В каком случае уравнение Ях)у = у(х) имеет иу ииш1упваи ]а, 6[ единстенное непрерывное решениИ 150 Гл.
2. Дифференциальное исчисление функций векторного аргумента М Пусть уравнение (1) имеет два иепрерывныя решения у = у(х) и х = з(х), а < х < Ь, т.е. пуггп у(х)р(х) = 9(з), у(х)з(х) ш 9(х). Отсюда следуе~, что у(х)(у(х) — з(х)) ш О, а < х < Ь. Таким образом, решения у н з уравнении (1) совпадают, если однородное уравнение у(х)у = 0 имеет единственное непрерывное решение у = О, а < х < Ь. Это, в свою очередь, возможно лишь тогда, когда множества нулей функции у нигде не плотно на интервале ]а, Ь[ (см. пример 89).
Если 1'(х) ~ 0 а < х < Ь, то очевидно 9 = Л(~) — единственное непрерывное решение Пз) уравнения (1). Пусть у обращается в нуль в некотором нигде не плотном множестве точек (С) С]а, Ь[. Тогда отношение д не определена на множестве (С], а функция у = Г является решением уравнения (1) только на множестве точек интервала ]а, Ь[, в которыя у(х) ф О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
