Anti-Demidovich (Lyashko I.I., i dr.). Tom 2. Ryady. Funkcii vektornogo argumenta (2001)(ru)(T)(223s) (940507), страница 29
Текст из файла (страница 29)
И 99. Дохазать, что уравнение (х +уз) = а (хз — уз), с 140, (1) в окрестности точки (х, у) = (О, О) определяет две дифференцируемые функции у = уз(х) и у = уз(х). Найти у[(0) и уз(0). М Для достаточно малого с > О и шобого фиксированного х б] — с, с[ из уравнения (1) находим два значения: у»с х(х) н у ю -х(х), где р(х) = Так опредеаеннаа функция х ~ у(х) непрермвна на ] — с, с[ и определмть четыре непрерывные функция: ] у(х), есаи О ц х < с, ) -р(х) -х(х), если -с < х < 0; Уз( ) ][ у(х), уз(*) р(х), -с < х < ; у (х) -р(х) -с Х(0) = О. Позтому моясно есан 0<я<с, ,<я <О; < к<а, Предельная функция х» О(а) также периодичесхая с периодом ]Ци. Чтобы убедиться в этом, достаточно в очевидном равенстве 1 1 Ф(х+ 1Мм) — Ф(х) = (Ф(х+ [й[м)+ -Х(у - (х+]й]х))) + (,— р(у - (х)) -Ф(х)) ) перейти к пределу при в - со.
Посхольку ка~кдое мз слагаемых равномерно стремится к нулю, то в пределе получаем равенство О(х+ ]х[м) — О(х) ж О, доказывающее периодичность функцнм р. Ь 97. Показать, что при 1 + ху = с(х — у), где 1г — постоянная величина, имеет место равенство |Ы 4у (1) 1+ хз 1+ уз а Поскольку х ф у, то й = ~». Дифференцируя зто равенство, получаем 0— (х — у)(х Оу+ них) — 1+ ху)(Ых — Ыу) (х — у)з Отсюда следует соотношение (1+ хз) Оу — (1+ уз) йх = О, равносильное равенству (1).
В 98. оказать, что если 3 3. Неявные фуииции удовлетворяющие уравнению (1). Исследуем на дифференцируемость зти функции гтри х = О. С этой целью вычислим )о' (О). Имеем ги ) — гг) )Зх * — Ы )Ах~,/аэ - Ахэ Иш а --о — Нш Оо -о Гзх /зз лхо — йш а* -о Аналогично находим )о' (0) = йш д(-*~~~-" = 1. Отсюда сразу следует, что функции уз о -оо и уо не имеют производной при х = О. Поскольку у~г (0) = -и' (0) = 1, у(о(О) = )о~~(0) = 1, то функция уэ имеет производную при х = О, равную единице. Аналогично нз равенств уэ (О) = р' (0) = -1, уэ+(О) = -)о+(О) = -1 следует дифференцируемость функции уэ при х = О, причем уэ(0) = — 1.
> 100. Найти у' при х = 0 и у = О, если (х +у) =Зху — у. (1) М Представим кривую, определяемую уравнением (1), в параметрическом виде. С этой целью положим у = Гх. Тогда из уравнения (1) найдем х = ~ч)т. Подставив найденное О+с )'' зр-г' значение х в Равенство У = Гх, полУчим У = — о) . Заметим, что х = 0 и У = 0 пРи тРех О О~о) значениях параметра Г: гг ж О, Фз = АЗ, Гэ ж —./3. Остается вычислить производную от параметричесхи заданной функции при этих значенизх параметра, т. е. при х = О. Имеем Ыу (1+1~)(бт 41з) 41(31~ — Г~) Ых (1+ Гэ)(3 — ЗН) — 41(31 — Гз) Отсюда при 1 = О, г = х/3 и г = -и'3 находим уг(0) = О, уз(~/3) м ьГЗ, уэ( — ~ГЗ) = -Д. ° 101.
Найти у', у" и уе', если хо + ху+ уэ = 3. м Пользуясь формулой а— = — т, получаем У зз /э' Ыу 2х+ у — — х ~ -2у; Зх х+ 2у' Я У (я+23НЗ+у') — (2х+у) 1+2у' 13 о)хэ (х + 23)з (х 4. 2„)з а~у 34 1б2х (1+ гу') = —, х ~ -гу. В ахз (я+Зу)о (х+ 2у)э' 102. Найти у', уз и уз' при х = о, у = 1, если х — ху+2у +х-у — 1= 0. з з м Трижды дифференцируя равенство (1): 2х — у — ху'+4уу'+1 — у'= О, -Зуе — хум + 12у'уз + 4уую — у'®' = 0 156 Гл. 2.
Дифференциальное исчисление функций векторного аргумента и подставляя в результаты значения * = О и у = 1, получаем систему уравнений Зу' = О, 2+ Зуе = О, 2+ Зуа ю О, из которой находим у' = О, уе = -з, уе' = -з. и 103. Доказать, что для кривой второго порядка ахз + 26ху + суз + 2»6х + 2еу + ! = О справедливо равенство — (уе) 1 М Из уравнения кривой получаем 1 ! у = — (-(6х + е) ш с Находим вторую производную: (Ьз — ас) х + (Ье — сЫ) (Ь вЂ” ас)(ез — с !) — (Ьс — оЕ) 1 у с ((Ьз — ас)хе + 2(Ьс — сд)х+ сз — су)з Отсюда получаем равенство 1» (Ьз — ас)(ез — с!) — (Ьс — сд)з»1» з (у") з = ((6 — ас)х + 2(Ье — сд)х+ с — с!) с ег дз ез ег д ег е» ду ег Для нашего случая имеем дз -Зуз уз дз хз — — — — — х Зе ху. дх Ззз — Зху зз — ху' ду зз — ху' Учитывая, что х = х(х, у), находим вторые производные: (,з .у)„Р у.(," „) ("-*.).;.Ъ- (З.ж--р) 2 уз дхз (зз у)з (зз — ху)з ' 3 / е1 ! е» -з (3 — ху) ~я+у-) — уз ~2»- — х) аз з/ дх ду (з' — ху)з — ху)~з+» ) — уз( — х» з з з »-з! '1»»-з ) зз -2зху — ху (зз у)а ( з )ъ ( з у)г дз, Зу з дуз (зз ху)3» ( 3 105.
х = тДз:уз Зд /яз уз из которого следует равенству (1). в Длл функции з = х(х, у) найти частные производные первого и второго порядков, если: 104. ' — Зху =а'. М Частные производные функции з, определяемой уравнением Р(х, у, г) ю О, находим по формулам 3 3. Неявные фуцицнн и Аналогично предыдущему имеем — —7 з Зд-у' + /ха уа -з( з ) /ха,ас а( * ) Из условия следует, что -г з з г соз = — +1 /ха — уз ха — уа зд— ~/хг — уг /ха уг ' Используя этн равенства, получаем х азу'. х' — уг ' ау Найти Из и о~з, если; 106.
*- =1в -'+1. М Считая, что 3 = з(х у), в результате дифференцирования получаем з4х — хйа у УБ — зЫУ за г уа уз Их — хууг — уз Йх+ зз Ыу = О. Отсюда х(УУх+ зйу) у(х+ з) Дифференцируя Равенство (1) и выполняя упрощения, находим у(х + з) й х = х йх йу + (х Му — х Ыу) 1х — у 4з', откуда на основании равенства (2) окончательно получаем г(+ )з 107. з — х се ьтсзд— У ч Дифференцируя, получаем (~)з (з х)а Таким зке способом нахоДим ф = --ал — а, ха Р Уз. Находим вторые производные, используя найденные первые производные: дгг (ха — уг) (а+х — ) — хз 2х (х — У ) (з+ -а — з — 2зх ох (ха уа)а ( г уг)г ( г уа)г дгз (х — у )х е — хз(-2у) (х — у )а ~а:-'„-у + 2ху» хуз з а Лх Лу (хг — уг)г (х' — уа)г (ха — уг)г аа, (х' — у') ( — уй) — уз(-2У) (г уар ( а уа)а' х 158 Гл. 2.
Двфферевцвальвое всчвслевве фувицвй веиторвого аргумента отаода ((з — х) + уз+у) д(з- х) = (з — х)ЫУ, или (г — х) ду (.-*)2+ угу+ у Определив из равенства (1) (Гг + 2хГ2) дх + (Р1 + 2УР2) еу Р,'+2 Р,' (3) вычислим сумму 2Р2((з — х) Ых + (з — у) ду) дх+ Ыу+ дз = ,+2», Из равенств (2), (3) и (4) находим второй дифференциал: 32 4(Г1 Ргг — 2Г1Г2Г12+Гг Р11) (( )24 г ( )( „)е у (, „.з (уг) (Р,'+ 22Г1)1 !(Рг'+ 2хР2) Лх + 2(Г1 +2хР2)(Р1 + 2УР2) ехеу (Р1 + 2УР2) зу (Гг + 22Г2) (Р(+ 2 Г~)1 2Г1 ((х + ~(у )(Рг + 22Г2) Половина аозффнцнеита прн дх ду равна —. Следовательно, З'1 ге ее' дгз 4(з — х)(х — у) ,з „ , , „ г (Гг Ггг 2Г1Г2Г12+Гг Г11) дхду (Г, +22Г,)з (Г1+2 Гг)з Гг+ 22Гг 14 О > 109. Найти д'з, если: а) Г(х+ з, у+ 2) = О; б) Г (-*, ~) аз О.
м а) Последовательно дифференцируя, получаем Гг'(бх + йз) + Гг(еу + бз) = О, Г11(де + Ыз)з + 2Г12(бх + йз)(ду + Ыз) + Гз~з(ду + дз) + (Гг + Гз) д~з = О. (1) (2) Дифференцируя равенство (1): ((» — х)г + уг + у) д~ (» — х) = -2((з — х) д(з — х) + у Ыу) д(з — х) и подставляя в результат выралсение для 4(з — х), найденное из (1), получаем г „з 2(у + 1)(з — х)((2 — х)г 4 уг) ((2 х)2 + ~ + у)1 дг 108. Найти —, если Р(х+ у+ 2, х +уз+22) = О.
дхду' Л Последовательно дифференцируя данное равенство, находим Г1(дх+ ду+да)+Гг(2хдх+ 2УЫУ+ 22дз) = О, (1) Р11(дх+ ду+ 42) + 2Р12(ух + ду+ 42)(2хдх+ 2уду+ 22 Ыз) + + Р(14~2 + Ргг(2х Ых + 2у Ыу+ 22 42) + 2Г2(дх~ + ду~ + Ыз~ + яд~2) = О, где Г,' — частная производная по первому аргументу, Гг — по второму. Найденное из первого г! равенства выраясение 2хдх+ 2УЫУ+ 2242 = -ф(дх+ Ыу+Ыз) подставляем во второе, В результате после преобразований имеем -Г Ге 2Р'Г'Ге — Г' Гз (Г1+2Г2)222122+12мгы(1х+1+дз)2Р1(122+22+22)(2) Гг 3 3. Неявные функ»ц»и 159 Из равенства (1)накодим первый дифференциал: ,1 Г1 1Ь+ Гз зу Г1+ Г1 и вычисляем суммы Г1 ~х+ Г» ~у»'2)ох — еу) Газ»+ Г» еу Г1(зх — зу) »х+2»ж»х —,, =... ау+о»=оу— Используя зтн соотношения, нз равенства (2) находим второй дифференциал; я 2 = -(Г1 +Гз) (Гз Г11-2Г1гзг12+Г! Г»2) (хх — еу) .
б) Имеем Г~»ех — хе» Г~»еу — уе» (3) »' 2»2 равенство на» и еще раз дифференцируя, получаем 2 о») з (»дх — хо»)(»еу — УЫ») о (»оу- У~Ь),, „2 + 12 »2 »2 (3) находим первый дифференциал: Г1' ах + Гз ау хГ,'+ УГ,' Умножая это „, (»ох — х 11 2 Из равенства и вычисляем суммы 1» = (хг1 + УГ») 1(гз Г11 2Г1Г»Г12+ Г1 Г»2) (удх — яду) > 110. Пусть х = х(у, »), у = у(х, »), » = »(х, у) — функции, определяемые уравнением дх ду д» Г(х, у, ») = О.
Доказать, что — — ж -1, ду а ах з» ш ч Предпола»ая, что х = х(у, »), из тождества Г(х(у, »), у, ») ш О находим —, = -ф.. з» Поступая аналогично и в других случаях, получаем ау г,' а. г„' а. Г„" ах Г.' Из найденных соотношений вытекает равенство Уд»» 111. Найти — и —, если зх зу 1Ь 1Ь х+у+»=О, х +у +» =1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
