Anti-Demidovich (Lyashko I.I., i dr.). Tom 2. Ryady. Funkcii vektornogo argumenta (2001)(ru)(T)(223s) (940507), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Найти производную функции и = хух в тачке М = (1, 1, 1) в направлении ! = (созе, сов д, газ 7). Чему равна величина градиента функции в этой точке? в»гмь в вьмь в ~м~ м Очевидно,, = 1, — = 1, в . = 1. По формуле производной по направлению, получим да(м) да(м) да М) да(М) а! а* = — соэ о+ дт созд+ соэ7 =созе+сова+ соз7.
а* Величину градиента определим по формуле ж,Г~. » !!б 1а(ми = 76. Определить угол мезглу градиентами функции а = ха+та+ ээ в точках 4 = (с, о О) и В = (О, с, 0). ь* 12. Частные производные и дифференциалы функции векторного аргумента 141 м Имеем Май а(А) = ~ —,, — ~ = (2а, О, 0), ) да(А) де(А) да(А) ( 1 дг ' ду ' дг ,/ (д (В) д (В) д (В)') Отсюда Дбга(1 а(А)Ц = 2(е(, Цбга((а(В)(/ = 2(а(. Подставляя эти значения в равенство (бгаб а(А), бга(1 а(В)) = ))бга(( а(А) 0 ((бга(1 э(В) ((соз оо, получаем соз )о = О, т. е. р = —. > 77. Показать, что в точке Мо = (го, уо, го) угол между градиентами функций а = аг + з Ьу +сгг, э = агз+Ьу +сгз+2гпг+2пу+2рг (а, Ь, с, т, и, р — постоянные и а'+Ь'-гс й 0) стремится к нулю, если точка Мо удаляется в бесконечность.
)во, )ао н м Имеем соэ и = ', где Цз(ы «1 Ьз)во 1 ' Май в = (2аго, 2Ьуо, 2сго), бгааэ = (2ахо +2т, 2Ьуо +2а, 2сго+ 2р), ()бга(1а)( = 2 (ахо) + (Ьуо)'+(ого)', ()Огайо(( = 2 (ало+ т) +(Ьуо+ в) + (ого+ р)'. Тогда угол оо определяегса из равенства ага (а*о + т) е Ь уз (Ьуо + и) + ого(ого + р) соэ р )((аго + т)г + (Ьуо + а)г + (ого + р)г) ° .*, ° -....*"«,-о .,Яв„'+~- (а гоп — Ьуот)г + (агар — ого)п)з + (Ьуор — своп)г (( )' О« )' в ( в | ( + ) ' + О 1' в ( " )' 1 ' Пользуясь неравенствами 2)хоро) < го + уоз, 2(гого) < хо + 4, 2(уого) < уо г+ г~з и обозначая наибольший по абсолютной величине из коэффициентов числителя при г,.
уо и го, через 3 г Л~,получаем оценку (агап — Ьуот) + (атор — сгот) + (Ьуор — своа) ~< 4 (го + Уо + го) Ке ограничивая общности, будем считать, что а гв О, Ь г= О, с г= О. ПУсть В = шга((а(, )Ь(, (с!) тогда а хо + Ь ус + с'го > В (го+ до + го). Таким образом, имеем оценку гг+ э+ го О < )япр( ( в ят;,'т*, („,~ ) ~о,) (, г (1) В (аго + т)з + (Ьуо + п)з + (ого + р)г о „,„„4~'ав.. (ага+ т)'+ (Ьуо + и)*+ (его + р)г оо; поэтому из неравенства (1) следует, что мп(о, а вместе с ним и (о стремится к нулю, если точка Мо удаляется в бескоиечносп,. М 7(э.
Пусть а = У(к, у, г) — дважды дифференцируемал функциа и 1) = (соз а(, соэ д), сов 7() 1з = (сазов, созФз, соотг), 1з = (соэпз, соаФз) соауз) — три взаимно перпепдикуляр- нык направления. Доказать, что( Гл. 2. Диффереизцзальиое исчисление функций векторного аргумента дзи дззз Э21я дззз дги дги б) — + — + — = — + — + —. д12 ЭР д)эз дхг дуг дгг < а) Находим производные функции и по направлениям 11, 1г, 1з: дв ди ди ди — = — соз аз + — сов дг + — ссо 72, д!г дх ду дг да ди ди ди — СОБ й2 + СОБ д2 + СОБ д12 дх ду дг да ди Эи ди — = — сов аз + — сов дз + — сов 7з. д(з дх Эу дя Отсюда непосредственно следует; 12 (и)' (В' ( )'=(Й) - ° --"- ° ° 2 2 /ди'7 2 1 ди 1 2 г + — (сов дг+соя Дг+соз Фз)+ ( — ) (сов 72 й сов ~2+соя тэ)+ (,ду( ) дг ) ди ди + 2 — — (соз й1 сов д! + сов й2 соз дг + сОБ йз сОБ дз) + Э* ду ди дв + 2 — — (сов а1 соз 71 + сов а2 соз 72 + соя аз соя тз ) + д* Э.
ди ди + 2 — — (йм дг соз 71 + сов дг сов 72 + соя дз соя уз). (2) ду д. Поскольку матрица СОБ йз СОБ дз СОБ 71 сов йг соя дг сов 72 сов йз соз Вз соя 72 лвллетсл матрицей перехода от ортонормнрованного базиса (з, у, й) к ортонормнрованному базису (11, 12, 12), то она обладает тем свойством, что сумма квадратов элементов любой строки (столбца) равна единице, а сумма произведений соответствующих элементов двух различных строк (столбцов) равна нулю.
° г/ »2 /д 2 /д»1 Таким образом, в равенстве (2) коэффициенты при квадратах производных ~ — ), ( — ~, ~ *,)' (аз/' ()' а 1 а а в в ໠໠— равны единице, а при произведеннах производных — — — —, — равны нулю.
а / в» в„1 а, в*' а„д* Учитываю это, нз равенств (2) непосредственно получаем равенство а). дэ» д /д» 1 д» б) Находим — г = — ~ — ), где — определено первым из равенств (1): 1 1 1 дги д и 2 дги 2 дги у= сОБ а1+ сОБ д1+ сОБ 71+ Э1, дх ду' Э" д'а Э2и де + 2 — совйз сов дз + 2 — сов аз сов 71 + 2 — сов дг соя ум дх ду дх Эг ду дг аг» Бз» Аналогично вычнсллем мг, —;г. Складывал полученные равенства, находим дги дзи дзи дзи — 2+ — + — = — (соз аг+созгйз+сов аз)+ Э 12, Э/; д/з д дги + —, (сое дз + сое Фз + соз дз) + —, (сое 71 + ссм 72 + йм тз) + Э2и + 2 — (соя азсямдг+ сов аг соя дв+ сов аз сойдя) + Эх Эу .Бй(йййййяь 1 2.
Частише производиые и диффереициаяш фувкции векториого аргумеита д'а + 2 — (сов ог соэ тт + саэ ог соз тз + соэ оз соэ тз) + дх дг дги + 2 — (саз дз соз тг + соэ дз соэ тэ + соз дз соз тз). ду дг Отсюда, воспользовавшись свойством матрицы (2), получим равенство б). в 79. Пусть а = а(х, у) — диффереицируемая функция и при у = хз имеем и(х, х ) = 1 и 2 ди . ди — = х. Найти — при у = хг.
дх ду < Поскольку, по условию, а(х, хз) ж 1, то отсюда, используя дифференцируемость функции а, получаем е и(х, х ) = О, т. е. э 2 — + ' 2х=О. да(х, хз) да(х, х ) (1) дх ду 2х+2а'„',(х, 2х) +4и„'г(х, 2х) = О. Отсюда, учитывая ураэиение а„„= а'„'„и тождество а"г — — а„, 2а'„',(х, 2х)+ и'„'„(х, 2х) = -х.
Далее, дифференцируя равенство а'„(х, 2х) = хг по х, имеем а„',(х, 2х) + 2а",г(х, 2х) = 2х. Решая систему уравнений (1) и (2) относительно а"„и,", находим получаем (2) и учитывая, что а„= и„„, а а,"„(х, 2х) = ид'г(х, 2х) ж †, и,"г(х, 2г) = †. в дг 81. Найти решение г = г(х, у) уравнения — = х + 2у, удовлетворшощее условию ду з) ч Интегрируя уравиение по у, находим г(х, у) = хзу+ уз + р(х), где эз — пока неопределенная фуикция.
Для нахождения иензвестной фуикции О используем условие г(х, хг) = 1: г(х х ) ш хзхг + хэ + р(х) = 1. Отсюда р(х) ж -2хо + 1. Таким образом, г(х, у) = х у + у — 2х~ + 1. ° д 82. Найти решение г ж г(х, у) уравнения — ж х + у, удовлетворяющее условиям дх ду г(х, 0) = х, г(0, у) = уз. ч Имеем дг(х, у) ду = 1(*+ )4 +р (у) ш — +ху+р (у) 2 о г(х у) = — +ау+уз(у) яуш — + — +у(у)+Ф(х) / ~2 / 2 2 о Е оюэг~ Но, по условию, ' ж х, поэтому иэ (1) следует, что э' ди да 80.
Пусть фуикция а = и(х, у) удовлетворяет уравнению — — — = О и, кроме того, следующим условиям: а(х, 2х) ю х, и„'(х, 2х) = х'. Найти и" (х, 2х), а"г(х, 2х), и'„'„(х, Зх). ч ДиФференцируя обе части равенства а(х, 2х) = х по х: а',(х, 2х) + 2а'„(х, 2х) = 1 и пользуясь равеистаом а',(х, 2х) ж хг, получаем ха + 2а'„(х, 2х) = 1. Последнее равенство снова дифференцируем по х: 1ББ Гл.
2. Дифференциальное ксчислекие фувкиий векторного аргумента ыы.т:о,е-(' Д), т:ь,о-(~'+,')... я = т соз р, у ж т зщ и, (т, р) Е Р, В=((т, и):0<а<т<Я,О<1ы<2я — Б, 0<Б<2т). и По формуле дифференцирования сложного отображения находим ; ) =т .. « ° --' ) (Ф Ф-,) („маыы тсоыр у ы ты+ты *Ы+ыт (2) Поскольку за+ у = тз, то из (1) и (2) получаем ~/ ыеыы ы~+ы / т соз ыы ыЫ / з+уз 85. у:(т,ыт,ы)~ тмвр, д:(я,у,г)~ т У,если ы х з ж т соя р, у ж тма р, з = з, (т, ыы, ы) б В, В=((т,зы,з):0<о(т<Я, 0(р(2т — Б, )з)<Н, 0<Б<2т).
и Имеем (узд) жу' д ж в ы ызмы я тугое ун ~/ыыззы ы +ы 0 — 0 тыуеоыф О * еы 1 ож ыыаыы 33ы галы 0 сову -тмв Р О'(БУ;т~~+ыы ж 0 1 ы*еы' ыыеыы 0 Учитывал равенства (1), оаончатеяьно находим ыт1 0 01 (Уо д)' = О 1 О ) . » 0 0 1 где р(у) = 3 рз(у)ду. о Используя условие «(з, О) = з, находим з(з, 0) си р(х) = з; следовательно, з(з, у) ж *-;~+ Ч*-+ Р(у)+* Датее, из условия з(0, у) = уз следует з(0, у) ьд р(у) = уз. Танин образом, огончательно имеем з(з, у) = ~--У-+ у + з.
к дзз 83, Найти решение з = ы(з, у) уравнения — = 2, удовлетворшощее условиям х(з, О) = дуы 1, «„'(з, 0)ж з. и Аналогично предыдущему -з — '"1 = 2У+ ыы(з), «(х, У) = У + Ут(з) + т(з). Принимая во внимание, что з(з, О) ш тр(з) = 1, з„'(з, 0) ш р(х) = з, оаончательно находим (., )=у+л+~.. Найти производную следующих отображений Уо д 12. Частные производные н дифференциалы функции векторного аргумента 145 Н6. Пусть «Сг«т«» / т сов у аа В «1 у д: (т, у, В) «-«твшуаад, /«(ху, в)»» тсовд атосов з сов уипд -тип увшд гсовусовд впувшд тсовуиад твшусовд 4- '+г' совВ 0 -т в1п В * »в Ф« Умножив матрицы и подставив вместо х, у и * их значения из (1), получим Аналогична находим, что /1 0 01 (до/)'= 0 1 0 .
В 0 О 1 о «, Найти з», если я = (/о до Ь)(в, 1, в), «:«,» («»'«г), «:«,»-('„~). «:«,, «(,, «„), уж«вшу, т=ыи, у=з +1 +в. х = гсов у, Ч Имеем Х'=/«д' /«'. В силу ассоциативности произведения матриц, справедливо равенство й»ж(/«д') /в'. А поскольку ('7,« „', ~ф„'Т ~ /сову -типу'1 (1 01 1, /вв вв зт ) д ~ т * / (вшу гсову/ (О 1/' (2~ 21 2" / ~-.+. *" (' то (1 О) (1и зв вт) (Фв зв вт) уирюииення для самостоятельной работы Найти частнме проивводные следующих функций: 17. /(х, у) = '-"-*-а. 18.
/(х, у, в) = 1а(хувзв). 19. /(х, у) = хву+ 2хвут + хув + * — у. 20. /(х, у) = -у+2$+ . 21. /(х, у) ж *-. 22. /(х«у) =(2хвув — в+ 1)з. . т«*, » - ~«,. «4. «», » =, с««7: «т. ««. л., „.« =, Р «7 « .. (ту,д) ЕК /уж((ту,д):0<а<«<Я, 0<у <2т — 6, 0<0<«т, 0<6< 2т), х = тсовувшд, у= в!ау вшд, з = тсовВ. (1) Найти (/о д)' и (до/)'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
