Anti-Demidovich (Lyashko I.I., i dr.). Tom 2. Ryady. Funkcii vektornogo argumenta (2001)(ru)(T)(223s) (940507), страница 30
Текст из файла (страница 30)
з м Даннал система опредш1яе» функцви х = х(») и у = у(»), производные которых нъхоллтся по формуле (5), п.З.З. Дифференцируя равенства (1) по х, получаем систему зх ду ях Ыу — + — +1=0, 2л — +2У вЂ” +2»=0, 1Ь йх ' Юз дх НЗ Кезойый МВ2МВМ аз у Ш ж * Х 92 у Ш ,уех — хну ,удх — хду »Гз ~ р ~ »11У У11»»Г1 (5) хг1 + угз ' хГ,'+ УГ» Решая равенство (4) относительно кз» и используя равенства (5), находим второй дифференциал; 160 Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций векторного аргумента ~Ь Иу Их йу з з 1з 112. Найти —, —, — — прн х = 1, у = -1 х = 2, если * +у»э -э, х+ у+ х = 2.
Ь' йх' Ьз' 1эз М Предполагал, что данкам система определяет функции х = х(э) и у = У(х), дпфферезь цированием ее яо х получаем Ик йу йх йу 2х — + 2У вЂ” »з х, — + — = -1. йз йэ ' йх йэ Полагая в (1) х»» 1, у = -1, х»» 2, получаем систему 1х йу — + — = -1 »1» й йх йу — — — =1 й» йз из которой находим — »з О, -а = -1.
а»» Для нахождения вторых производных продифференцирдем равенства (1) па % 2х — +2У вЂ” +2( — ) +2~ — ) =1, — + — =О. йэз зэз йз йз ' яхз эзз Полагая в этик равенствах х = 1, у»з -1, — »з 0 и -к = -1, получаем систему, решал ь э э» 3» которую,накодим Рх 1 з~у 1 хзз а' йхз 113. Найти йе, йэ, й е, И э, если з+ э»» х+ у, уз1ве — хзш э»з О.
3 з ч Дифференцируя данные равенства, получаем систему йе т Пэ = ах+ бр, усов зйз — хсоээУэ = аз э йэ — аз зуд, решая которую, находим йз (хсозэ+ мне) Ох+ (хсоээ — низ) 0У (усове -ив э) дх+ (усове+ив и) йу йэ— х соз э + у соз в хсоээ+ усоэз Длл накожденнз вторых дифференциалов продифференцирдем систему (1). После простых преобразований получим усоэзй з- хсозэй э»з (2соз эйх — хэшэйэ)йэ+(уэшзйз — 2соззйу) йз, йзе+йзэ = О.
Отсюда 4 аз» -йе— (2 соэ э йх — х зш э йэ) йн + (у ив з йз — 2 соэ к йу) йз .в у соэ е + х соэ э 114. Найти йк, йэ, йзе, йзэ при х = 1, у = 1, в»э О, э о —,, если е соз — = —, е* юп — = У У ъ/2 У ~4' ч Дифференцируя обе части данной системы, имеем хЦз з,(х ° „уй„,йд — — е* яп— Полагая здесь х = у = 1, е = ее йэ+ 4 йуээох~ йе+йэ -йу = чу х х из которой находим ез = -(~де+ ду), пэ»з — йд -(йх — Ыу). 1 т 1 2 4 2 (2) э Н е* соху э Ю э» зш У ха У Уз ь/2 хаак — зйх " э дйэ — эйу йу + э* омв у у' Л О, э = —, получаем систему Далее, дифференцируя равенства (1), получаем е* соз —.
— ер мв + у хз у уз ю (1хде — ебх1~ ( У3(ю — юбу33 ~ -", е хди — еЫх + е соз — ~ ) — ~ — 2е* мя —. у х2 ю хзя~е — 2(хбе — идх)ех " ю утехе — 2(убою-юбу)ЫУ с* ив-. + с соз —. + х у У (1х3(е-ебх12 (убою — бу) 1 " ю хбеу хз Полагая в последних равенствах х аз у = 1, е = О, ю = -, получаем систему Ы з — 2 беях — Ы с+ 24юбу — — 3(у +Не — (Ыю — — Ыу) — 24е (ею— 2 2 2 г 1 3Г 2 2 2 2 I 32 3(хе — 2дю3)х+ Ы ю — 2дюду+ — бу + Вз — (Ыю — — ду) + 2де (ею— 2 Из систем (2) и (3) находим е'и = дх~, лтю = -'(ду — ~Ь)~.
> 22 115. Пусть х = 1+1 ', у = 12+1 2, х = 13+1 3. Найти — у, — х, — у, Ых' Йх' ~Ь2' убю-югу =О, У таю — юбу = О. У2 -'бу) =О, (з) '-бу) =О. 4 < Система определяет две параметрически заданные функции; х =1+Г, х =3+3 32 + 1-2 и 13 +Г 3 Следовательно, бзу — „(Й) г(1 — 1-2) а з ~Ь2 "* 1 — г 2 33 — = 2 111 + -), т 34 Ы 21 — 21 3 / 1т 11 Гх Б и е3 23'-21 ' Ез =О (г'+ —,',+1), т~ы; тх е 1 — 1" и ~Й) б(г -1 ') ххз м 1 1-2 и жб(3+-), г~ы. > 416. Пусть х = 32(е, е), у = О(е, е). (1) Найти частные производные первого и второго порядков от обратных функций е = з(х, у), ю = ю(х, у). ч3 Дифференцируя равенства (1), получаем систему 3Ь = — 3(з+ — 3(», ду = — бе+ — 3)ю, ди др дй д11 (2) де д» ' де дю из которой находим дифференциалы от обратиык функций: 1 1дй др 1 1 /дй д33 йе = — — Ы~ — — Юу, Ы~ = — ~ — йх — — Ыу), 11дю дю )' 11де де где 1 = и Оя — яя яя.
Кз равенств (2) пояучаем де 1 ди де 1 дгз дю 1 дг) дю 1 д32 — ю (4) де 1 де' ду 1 де' дх Х де' ду Х де' 1б2 Гл. 2. Диффереицивлытое исчисление фуикцвй векторного аргумента Дифференцируем систему (2): О = — ела+ — еле+ — ба +2 — яабе+ — хе, др ду З'~Р л З'~Р длр э да де двл да де деэ О = — х в+ — б е+ — ха +2 — бабе+ — ле ЗО ай, а'О, алд З'О дв де дат да де дел и находим вторые дифференциалм от обратных функций: 1 Пдр Зла ЗО а'р'), )'ар Зэй аа З'р') е~а = — ~( — — — — — ) да~+ 2 ( — — — — — бабе+ 1~,,(,д. Заэ а.
а,э/ (,а.а а а двд.) 111аб а', Зр Зэй\, 1'аЮ д' Зр Зэй ') б е = — — — — — — Юа + 2 — — — — — бабе+ 1 ~ ),да дел да дал) (~да авдо дв дезе,) Подставляя в эти равенства вырывания (3) для дифференциалов и собирая коэффициенты при ех, 2 ох ад и бдл, получаем а'в 1 ((Н Зэр Зр Зэб(адар /Зр аэб аб Зэр ~1аб ар адар~ — — — — — — — — + — — — — — — — + — — + дхдд 1э ~( де двл де дал/ де де 'т де дадо де двде1' ~де дв дв де1 и т.д. и 117. Функция в = в(х) онределяетсе системой уравнений а = 1(х, у, л), д(х, д, л) = О, й(х, у, л) м О. 4в баи Найти — и —. бхл ' м Предполагая, что данная система определяет три дифференцируемые функции в = в(х)„у = у(х), л = л(х), дифференцяруем систему по х: ав З1 ад ад З1 а ад Зд бд ад Ь дй ЗЬ бд аЛ Ь + — + —, О= — + — — + — —, О= — + — — + — —.
(1) бл дх дд <Ь дл ех' дх дд ех дх бх' дх дд Б дл ех' Ил последких двух равенств находим проклводиые лд 1э лл 1э ах 1т' Е 1т' Гдв И = ИН(Я, 1Л ~ фл-~1Э 1а ее ф-~. 3 3. Неявные фующин 1б3 и Используя (2), из первого равенства системы (1) получаем аи а1 6 а1 6 а1 1 / Э1 а1 Э1') 1 23(1,у,ь) 1 з(1,у,ь) — = — + — — + — — = — (6 — +12 — +1з — ) =— Ух Эх 6 ду 6 дх 6 ( ах ду дз) 6 Э(х,у,«) 6' 22(х,у,г) зги Для определения —,з дифференцируем систему (1): аг„э21 Э21/аутг Э2113212 а21 ау д21 У, д21 ау 4, д1 азу а1 422 —" = — + — ( — )+ — ( — )+2 — — +2 — — +2 — — — + — — + — —, 422 дхг дуг (,ех) дзг (,ех) дхду Ух дхдз эх дудг дх ех ду дхг дг ехг' Эг Эту 14удг агу уагдг Эту ау агу 4» агу ау 4 ЭУ агу ЭУ агг 0= — + — ( — ) + — ~ — ) +2 — — +2 — — +2 — — — + — — + — —, дхг Эуг ( ез) дзз '1 ах) дхду ех дхдз ех дудз Ух ех ду ахг дг дхг' а'Ь Эгь Галат а'Ь14 ~2 Э'Л ау Э2Ь 42 а'Л ау Уз ЭЛ агу ЭЬ агг б= — + — ~ — ) + — ~ — ) +2 — — +2 — — +2 — — — + — — + — —.
Эх аут (42) Эхг Ьх) ахау 42 дхдг ах Эуаз Ух Ух ду дхг Э. Эхг' Использовав формулы (2), последние равенства перепишем в более компактном виде: аи 1 Г д д д~ Э14у Э1У~ — = - ('6 — +6-+12-) 1+ — — + — —, акт=12(, ах ау а,) Эрах а.а ау агу ау 422 1 1 а а Э')' — — + — — =- —,~6 — +1,— +6 — ) у, (3) ду зхг дг ехг 12 ( дх ду дз) эл агу эь 4" 11 а э д')' — — + — — = — — (6 — + 1г — + 12 — ) Ь. ду ох~ д зх~ Р ( дх ду дз) Из последних двух равенств находим производные ау 1 1эу( а а а~' ЭЛ1 а а а(' — — — (11 — +12 — +1з — Л- — 1,— +12 — +12 — ) У ехг 12 ) дз (, дх ду дз) дг (, дх ду дз) 42 1 1эл1 э э а)' ЭУ1 а э а)' 2 6 +12 +12 ) У ~11 +12 +12 ) ь ахг 1,' '(,Эу (, дх ду дз) ду ~ дх ду д.) и вычисляем сумму д1 аг Э1 аг — — 2+ — — = — 2 — — — — — 6 — +6 — + 12 — Л+ ду Ых~ дг «хг 12 ) 1,ЭУ дз дг ду) ( дх ду дз) /Э1аь а1эл') 1 э а а')' ) + ( ) (6 +12 +12 ) У ( дг ду Эу Эз) ( Эх ду дз) — ' (6 — +1г — +1з — ~ Л+ ' ( 6 +6 +1з ) У (4) 1~~ УУ(у, г) (, дх ду дз) Р(у, «) (, дх ду дз) Наконец, ив равенств (3) и (4) окончательно получаем 4'е 2 (щу Л)1 а а а)2 щЬ 1)1 а Э Э')2 2 ' ~6 — +1з — +12 — ) 1+ — ' ~11 — +12 — +12 — ) У+ зхз 12 ~ Р(у, г) ( дх ду дг) 23(у, г) Л дх ду дг ) + — '-~ 6 — + 12 — + 1з — Л Р(У,у~1 д д дг 22(у,з)(, а ау а ) де де де 22® Нус1ь хгз1(е, з, и), у=у(е, з,гз),,=Ь(в,е, и), Найти дз' ду дз' 1дд Гл.
2. Дифференциальное исчисление функций векторного аргумента и Дифференцируз данные равенства, получаем скстему де=у„с(и+Лс)е+г' дв, дужд„с)и+д„'аз+У с)в, дх=й„с(и+Ь'„де+ Ьс сдв. Отсюда вычисляем дифференциал дх Л»' ~,.' 1 » п(г,»,») 1 п(з , ) п(з в) т)(з в) ~(»'„' > с(» Ь'„ Ь' з» г з» г е» г Следовательно, — = -л, — = -а, — = -л, где ' з» г вх г ' з* г 2>(Л у, Ь) Р(д, Ь) 2)(Ь, д) 2)(Л 9) З(и, з, в) ' Э(з, в) ' 1)(з, в) ' 1)(з, в) системе уравнений Г(х, у, х, Г) = ех. 119.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
