Anti-Demidovich (Lyashko I.I., i dr.). Tom 2. Ryady. Funkcii vektornogo argumenta (2001)(ru)(T)(223s) (940507), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Пусть функция х = х(х, у) удовлетворяет О, д(х, у, х, Г) = О, где à — переменный параметр. Найти и Имеем систему уравнений У» дх+ Узду+ 1» дх+ у" 41 = О, д*' де+ д', ду+у',Ух+ у, 'И = О. Отсюда с с с ~ = о ((У»дс ЛУ») "х+(Гхус Лух) с(У) = 1 ) д»сгх+Лз ду Л ) 1 с о(г »з~ ~дс де+ус еу ус ~ л(»91 Р(», с) * " З(», с) 1 = — — (Л дх+ 1э ду) 1» л Применим метод математической индукции. Для этого прежде всего покажем, что формула Лагранжа справедлива при и = 1. Из уравнения х = х+ у«»(х) находим дх 1 д в( ) дх 1 1уес' ду 1 дд Используя этн формулы н равенство и = Л(х), получаем ди дг д $ в(х)»» ду дх ду ух» ди с(д д» $ дх дх дх 1 УБ'.
4» Отсюда — в В(х) —, ди ди ду дх' (2) и мм убеждаемсл в справедливости формулы Лагранжа прн и = 1, Остается доказать, что из справедливости формулы Лагранжа при некотором Ь ) 1 вы- текает справедливость ее при Ь+ 1, т. е. д"+'и д» л»с ди (3) Дифференцкруя формулу Лаграюка при и ж Ь, получаем д"+с и д" »ди д» с г'д »ди где 1 = — ~~'Щ 1 = -~-'х), 1» = — (~-'ы. В гс( с) ' п(з,с) ' п(а') ' 120.Пусть и = д(х), где х — неявная функция от переменных х н у, определяемая уравнением х = х + ув(х).
Доказать формулу Лагранжа 165 2 3. Ыеявнгле фуищил Используя равенство —,*, = р(х) — ', вытекающее нх равенств (1), н формулу (2), преобразуем вмраженне е ((р(х))"ф). Имеем д Г,де1 «,др д де де — ((Мх)) — ) = й(р(х)) — — — + (р( )) — = ду ( дх1 Йх ду дх дхду = й(у( )) — р(х) — — +(у( )) — ( — ) = 1(22( )) — — — +(р( )) — Р( ) — ) = «2 до дх де «д (де') «42) дх де «д ! дх1 Ых дх дх дх ( ду) 42 дх дх дх ( дхl «др дх дк «( д'е Ну дх де'~ = г(у)(х)) — — — +(у(х)) ( р(х) — + — — — ) = Ых дх дх дх2 д» дх дх ) = ((1+1)(22( ))~Я вЂ”,~ —,+(Мх)) ~ —,, = д, ) М(х)) ~ д,~. Отсюда и из равенства (4) непосредственно следует (3), м 121. Функция х = «(х, у) задана уравнением )ь"(х+«у, у+хе ) ю О.
дх дх Показать, что х — + у — = х — ху. дх ду < Дифференцируя равенство (1), получаем ) ( удх — хду) ) / хих — хдх1 У2 ) х Отсюда ) — ХЖ~)' ) ')') )))))) )' )' 42 =,, дх+,, ду, ХГ)+ У)«2 Р О. *(ХУ(+ УГ') У( Г'+ Уг') Следовательно, дх у(х㫠— * г)) дх х(хг( — у гт) дх х(хг",'+уг«) ' ду у(ХГ,'+уст) ' Умножая первое равенство на х, второе на у и складывая нк, убеждаемая, что дх дх х — +у дх ду хгг + уг2 ХГ +УГХ 122.
Показать, что функция х = х(х, у), определяемая системой уравнений .хсохо+у«1по+и) х ((ю), хяпо+усохо у (о), где а = а(х, у) — переменный параметр и у — произвольн«я днфференцируемая функция, удовлетворяет уравнению (-':)' ('-;)'= ч Дифференцируя первое равенство системы, получаем со«аде+ вша))у+ (-хюла+ юсова — у (а)) ла+ — = б. В силу второго равенства системы, коэффициент лрн Ыа равен нулю.
Поэтому дх ж -х сок а де — хмпа)гу. Отсюда дх дх, (дх) дх 2 2 2 ° 2 2 — = -х сох а, — = -хюк о) — + ~ — )) ж х сое «+ х жп о = х . М дх ' ду= ' ~д ~ ~ду) 123. Покааать, что функция х ~ х(х, у), заданная системой уравнений (х — у(а))2 ~ хт(УХ вЂ” ох), (х — ((о))('(а) ~ ах, 166 Гл.
2. Дифференциальное исчисление функций векторного аргумента где а = а(х, у) — переменный параметр и 1(а) — пронзвольнаа дифференцируемая функция, д. д удовлетворяет уравнению — — = ху. д ду М Дифференцируя первое равенство системы, получаем 2(л — Да))(дл — л' (а)Ыа) = 2х(у — а ) дх+ 2х (уду — ада). В силу второго равенства, коэффициент при Ыа равен нулю, а в силу первого равенства, у — а = р(» — 1(а))~. Пользуась этим, получаем йл = -(л — 1(а)) дх+ —, — = —, — =, л р 1'(а).
1 хзу Йу дх л — 1(а) дл хзу л — Г(а) ' дх х ' ду л — г'(а) ' эл Зл л-Пь1 Отсюда вытекает, что — — = — "- = ху. р Залу л л-П1 Упразкнеимя для самостоятельной работы 82. хз + 2ху + уз — 4х + Зу — 2 = О. Найти у'л при х = 1, у а 1. 88.
х+ у = е* ". Найти ул. 89. (хз + уз — Зх)з = ез(хз + уз). Найти у' при х = О, у = О, 90. ха + уз — Зху = О. Найти у' при х = О, у а О. 91. Дамы уравнения хз - у + лз = 1, уз — Зх+х = О. Найти у' и л" нри х = 1, у = 1, л = 1. 92. Из системы х+у+х =х, я+у+э =1 з з з з з з а з найти у и л'. 93. Из уравнений аз+уз-лз = О, хз+2уз+Злз = 1 найти а~у и х~л, если х — независимая переменная. 94.
Из уравнений х + уз = 2лз, хз+ 2уз + лз = 4 найти — „и З-дз в точке (1, -1, 1), если л — независимая переменная. 9$. Пусть х + у+ л = х, х + уз + лз = Зхул. Найти производные функций у и л. 96. В точке (1, 1, — 2) найти первые и вторые производныефункций у и х, если х+у+л = О,з+ 97. хз+уз+ лз = 2л. Найти — т. 98. ха+уз+ аз — Зл =О. Найти з,' .
99. хсоз у+у сох л+лсоз х = з. Найти — * и — *. 100. ху+хл+ух = 1. Найти дл и о~л. зл. 101. Найти а~л в точке (х, х, О), если х + лз — Захл а у . 102. Найти вторые частные производные л, если зта функция от х и у определяется уравнением у = хр(л) + 9(л). 103. Показать, что л, заданная как функция от * и у уравнением л = хр (-'), удовлетворяет уравнению конических поверхностей х —, + у — = л. Эл Зл зэ 104. Показать, что при у = хр(л) + 9(л) удовлетворяетск уравнение злт ~т — (з.'„) 10$, Найти у' и у", если я~+у~ =4аху.
106. Найти у' и у", если х +уз — Злу=0. 102. Найтк у", еслм агсз63 = )в~/хл+уз, 108. Найтк у' прм х-= 1, у = 1, если х + уэ = х + у. 109. Найти у' прм к = 1, у =1, если х +2уз — Зху =О. 11,0.Даиыуравненмлхз-уз+ха 1,у-2х+л О. Найтиу' н л'ария=1,у=1 л-*1. 167 111. х +уз+ ха = аь, х + у~+я~ = 3 . Найти у' и х'. 112. Найти — к — *, если за+ха+уз — Зх = а. дз дз» 11. Найти — *, если хз+ Зхз+Зуз — З(х+у+ з) =О. д» дз ' 114. Найти — *,, Зх, ы, — при Г = х = у = х = 1, если Г+2х+у+х гх 3, Гз+х +у +х = 4.
д, д, д дз з з» ь 116. Найти ф, ф, — *„д при Ф = х = у = 1, х = -3, если Г+ 4х+ у+ з = 3, Г~ + х~ + уь — г 116. Найти — *, если я»+у~+ с~ = 4з. 11Т. Найти — *, если хь+ уз+ зь = Зг. д»з ' д» дз ' 116. Нанти — * и — * если х — 2уз+хз — 4х+2х = 3, д д*дз' 116, Найти Ззх, если з + д-+ —, = 1. 120. Найти 4 х, если соз х+ созз у+ соз з = 1. »3 » »2 2 2 3 121.
Найти — и —, если г (х — у, у — з, з — х) = О. д» д» Е» дг' 122. Найти д,*, если г(х, х+у х+ у+я) = О, 123. Найти д,т, если г(хх ух) = О. 124. Найти — *, д— , — *, —, если г'(х, у, х, и) = О, ф(х, у, з, и) = О. 126. Показать» что хд +уз +х —, =О, если из = Зх — 2у+х, и = х +у +г . д» д» д» з з з д» д» 126. хи+ уз = О, из — ху = 3, нри х = 1, у = -1 принимаем и = » = 2. Найти дч и д»» д»дз' д» д» 122. Найти — и — если х = а соз и кв з, у = Ь соз и соз э, х = с соз и. д* дз' ~ 4.
Замена переменных 4.1. Замена переменных в выражениях, содержащих обыкновенные производные. Пусть дано некоторое выражение У=У х,у,—,—,... Зу 4~у (1) Дх Зхз ' содержащее независимое переменное х, функцию х» у(х) и производные от у ло х до некоторого порядка, Требуется перейти к новым переменным — независимой переменной Г и функции от нее г» и(г). Причем зти переменные связаны с прежними переменными х и у уравнениями х =1(Г, и), у = у(й и). (2) (3) 1;:„-:.'--.,~ (;:::„,';-' -. Используя равенства (1) — (3), получаем У=у г."",Р,",.... 4.2.
Земана переменных в вырзнжлклх, содержащих частные производные. Ограничимся случаем двух независиммх переменнмх. В остальных случаях поступаем аналоги пю. Предножлким, что задано выражение дх дх А=г" хух,— — ... 1 ' ' 'даду'"' (1) содерлыщве незаансимме переменные х, у, фущщию (х, у) » х(х, у) и ее частные проивводиме. Нинсжз нелавкснмьгл переменкам х, у и фугщнки з требуегсл ввести коаые иезавксимые 1бб Гл. 2. Дифференэцгальное начисление функций векторного аргумента (4) (б) дв (др ар дх ) дш (др д»Ь дз ) дХ дХ д» вЂ” — + — — + — — + — — = — + —— ди (,ду дх ду/ де (,ду дх ду/ ду дз ду' из которой находим Эе Э» Э» ЭЭ Э» — — + — — —— ах э» ээ э ээ ээ аз + Эее» Э»Э Э с э.э э (7) Э» Э» Э» Э» Э» Э Э» Э» Э» Е» Частные производные второго порядка определяются из равенств, полученных в результате вычисления первого дифференциала от уже найденных производных первого порядка.
Если же переменные и, е, в связаны с прежними переменными х, у, г уравнениями х ш ((и, з, в), у ш у(и, э, в), х = Ь(и, е, в), где функции у, у и Ь достаточное число раэ дифференцируемы, поступаем следующим обра- зом. Используя инвариантность формы первого дифференциала в равенствах дх /ду д( д( /дв дв дх = — ~ — Ни+ — бе+ — ~ — Ыи+ — Юз)) + =а ~д д. аш~аи д.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
