Anti-Demidovich (Lyashko I.I., i dr.). Tom 2. Ryady. Funkcii vektornogo argumenta (2001)(ru)(T)(223s) (940507), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Если потребовать, чтобы существовал конечный предел йш —, 9(х) (2) *-1.(( )' что возможно лишь в случае, когда 0(С) = О, ( б ((], то функция х —, хб]а,Ь[, хгаб,бс(с), 9(х) 1(х) х~-йш —, *=С ббИ 9(х) Е у(х) будет единственным непрерывным решением уравнениз (1). Итак, уравнение (1) имеет единственное непрерывное решение, если: 1) множество точек (с), в которыя 1(с) = О, нигде не плотно на ]а, Ь[; 2) 9(() = О, ( б (с]; 3) существует конечный предел (2) для всех точек 8 б (б). М 91. Пусть дано уравнение х+у =1 н х у(х), -1<х<1, (2) — функция удовлетворяющая уравнению (1).
1) Сколько функций (2) удовлетворяет уравнению (1)? 2) Сколько непрерывных функций (2) удовлетворяет уравнению (1)? 3) Сколько непрерывных функций (2) удовлетворяет уравнению (1), если: а) у(0) = 1; б) у(1) =О? и 1) Функций, удовлетворяющих уравнению (1), бесчисленное множество, например, если ха = -1+ — „ (Ь = О, п; п ж 2, 3, ... ), то для любого о = 2, 3, ... функция Д вЂ” х~, если хза < х < хтьгм у: х ~ — ~/Г- хз, если хзаез < х < хзз+з, О, если х = 1, где й = О,п, удовлетворяет уравнению (1). 2) Если х — произвольное фиксированное число из сегмента [ — 1, 1], то уравнение (1) допускает два решения: у= /~-хз у= — /~-хз.
Таким образом, можно определить две непрерывные функции р = Д вЂ” х и у = -Д вЂ” хз, -1 < х 4 1, удовлетворяющие уравнению (1). 3) Очевидно,. только одна из найденных в предыдущем пуюгге функций к = ~/1 — зз удо. влетворяет условию р(0) = 1. Условию б) удовлетворяют обе функции. в м2. Пусть дано уравнение 161 $3. Нелвнэае фуэшцнн — )х(, если х < хю, у; х»» )х), если х»2»-1 <ч х < з»э — )х), если х»э ч х < х»э 41 где н Е г(, определена при всех х и удовлетворяет уравнению (1). 2) Из уравнения (!) находим )у( ж (х), -со < х < +со. Отсюда, в свою очередь, получаем р=-х, у=х, р=)х(, у=-ф, — со<с<+со.
(3) Эти четыре непрерывные фуккцнн удозлегноряют уравнению (1). 3) Поскольку функции у = (х( и у = — )х! ие имеют производной в точке х = О, то нэ четырех функций (3) только две у = з, у = — з, х Е К, явлюотся дифференцируемыми решениямн уравнения (1). 4) Неносредствеиной проверкой убеждаемся, что среди функций (3) только две у = х и у = )х( удовлетворяют условию а) м все четыре функции удовлетворяют условию б). 5) Поскольку непрерывные функции у = х и у = (х(, удовлетворяющие условию у(1) = 1, тождественно равны в интервале ]1 — 6, 1+ 6[, О < 6 < 1, то для всех х нз этого интервала только одна непрерывная функцкя р = х удовлетворяет уравнению (1).
м 93. У авнение х+у =х «-р (1) определяет у как функцию от х. Дхя каких множеств точек числовой оси таких функций: 1) одна, 2) две, 3) трк, 4) четыре? Определить точки ветвления этой функции и ее непрерывные э»так. М Иэ уравнения (1) находим у=~ -+ — +хэ-хэ, 1 1 2 4 1 1 .р э хэ 2 2 если О ч ф < !? —, !1+ ь/2 если1< (х(< ~ — их =О. (! «- Л 2 (2) Отсюда непосредственно следует 1) уравнение (1) ни прн каких хкачениях з не определяет единственной функции (иег общих точек, в которых совпадали бы все чепяре значения у).
2) Уравнение (1) определяет две фунш|нн, если О<(з) <1 и )з(ж)( —. !'!+ ~ 2 3) ЕЗДМ З ж О МНМ )З) ж 1, тв раквнетна (2) дэле МЭМ трн ЭМаЧЕИИЛ р. ПОзтОМу Ма Ф .Ы )э»16 ур не(1) р р фу х ь» у(х), -оо < з < +со, (2) — функция, удовлетворяющая уравнению (1). 1) Сколько функций (2) удовлетворяет уравнению (1)? 2) Сколько непрерывных функций (2) удовлетворяет уравнению (1)? 3) Сколько дифференцируемых функций (2) удовлетворяет уравнению (1)? 4) Сколько непрерывных функций (2) удовлетворяет уравнению (1), если; а) у(1) = 1; б) у(О) = О ? 5) Сколько непрерывных функций х ю-+ у(х), ! — 6 < х < 1 + 6, удовлетворяет уравнению (Ц, если у(1) = 1 и 6 достаточно мало? м 1) покажем, что уравнению (1) удовлетворяет бесчисленное множество функций.
Зададим произвольно множество (о), элементами которого являются монотонно возрастающие последовательности хш, х э, ..., х»ю ... такие, что дш х„„ж +со нрн всех а. Для каждого а функция 152 Гл. 2. Дийиференциальиое исчисление функций векторного аргумента 4) Если 1 < ]х[ < у —, то уравнение (1) определяет четыре функции.
Из (2) убеокда- 1+# емсз, что ~~+ 2/г у=с -+ -+х' — хо, [х[<)( —, г 4 ' )!( 2 1 1<[[< 1 1 1+1/2 при с = ж1 явлшотся непрерывными ветвями. Точку (хо, уо) называют шочхоб о«шел«лил для уравнения г (х у) = О, если а) г (хо. уо) = 0; б) не существует окрестности точки (хо, уо), в которой бы данное уравнение удовлетворялось единственной непрерывной функцией у = У(х) и такой, что уо = 1(хо).
Для нашего случаи (ж1, О), й12 —, АЗУ вЂ” точки ветвления. в !+~/2 1 94. Пусть функция х 1-! 1"(х) непрерывна прн а < х < 1 и у 1-~ Оо(у) монотонно возрастает н непрерывна при с < у < л. В каком случае уравнение оо(у) = у(х) определяет функцию у = 11 (у(х))? Рассмотреть примеры: а) кв у + зЬ у = х; б) с " = -о!во х. ч Функция у = оо '(!'(х)) определяется следующим образом: для любого фиксированного значения х б]а, 6[, т.е.
для фиксированного значения У(х), ставится в соответствие то значение у, которое является решением уравнения р(у) = у(х). Поскольку функция оо непрермвна и монотонно возрастает на интервале )с, й[, то уравнение оо(у) = А имеет единственное решение у ж оо '(А), если число А принадлежит множеству значений функции Оо, с < у < а. Таким образом, уравнение имеет единственное решение у = 1« '(1(х)), если множества значений функций р, с < у < й, н у, а < х < 6, имеют общие точки. Рассмотрим примеры. а) вшу+ ей у = х. здесь функция у 1-! оо(у), -оо < у < +со, непрерывна. Пользуясь формулой Тейлора, находим, что производная Оо(у)=созу+сйуж 1- — + — —,, + 1+ — + — +, ы2 1+ — + — + г.
4. " ') [, г. 4. " ') [, 4. З. — со < у<+со, положительна. Следовательно, функция у ! х(у)! -оо < у < +со, монотонно возрастает. Поскольку множества значений функций р(у) ш иву+ злу, -оо < у < +оо, и 1(х) ы х, -со < х < +со, совпадают, то уравнение иву+зЬу ы х определяет единственную функцию у = о1(х)З -оо < х < +со, обращающую зто уравнение в тождество.
б) е " = — мвох, В этом случае множеством значений фУнкции у ! Оо(у), Оо(у) = с -со < у < +со, является полубесконечный интервал ]О, +оо[, а мноясеством значений функции 1(х) = — зово х, -со < х < +оо, — сегмент [-1, О]. Поскольку зти множества не имеют общих точек, то уравнение с "= -аао х не имеет решений. М 95. Пусть х = у+ оо(у), (1) где оо(0) = 0 и [р'(у)[ < й < 1 прк -а < у < а. Доказать, что при -с < х < с суще«таус« единственняя днфференцнруемая функция у 1 у(х), удовлетворяющая уравнению (1), и такал, что у(0) = О. ч Иэ условия следует неравенство — = 1 + р'(у) > О, -а < у < а, обеспечиваоощее а« строгую монотонность непрерывной функции х ж у+к(у), -а < у < а.
Пусть с = шш([х(-а+ 0)[, [х(а-0)[). тогда, в силу строгой монотонности функции х = у+к(у), кзлсдому х б]-с, с[ соответствует товько одно значение у б] — а, а[, для которого у+ р(у) = х. Повтому иа ] — с, «[ существует функция у ж у(х), обратная дяя фунвцим х = у+ р(у) и тоже строго моноииоиаз. А так как уравнение (1).при у 0 нмаэт решение х = О, то у(0) О. 3 3. Неявные функции 153 Покюкем, что функция у = у(х) диффереицяруема.
Пусгь хо, хо +гйх Е)-з, с[ и Ьх ~ О, тогда уо, уз+Ау Е] — а, а[, где уэ — корень уравнения хо = у+ р(у), гйу ~ О н гйу -~ О при 23х О. Поскольку существует предел Ь* . /, и(уз+ 23у) — р(уэ) 1 ~ ж1+р(уэ), дз»а Ду др э [ 233 то из тождества — = л- Убеждаемсл в сУществовании пРоизводной -к.
Следовательно, 4* 1 4 Ь функциз у = 1(х) дифференцируема на ) — з, е[. и 96. Пусть х ь у(х) — неявная функция, определяемая уравнением х = йу+э(у) (1) где постоанная й эй О, у ~-~ р(у) — днфференцируемая иериоднческая функция с периодом ! и и такал, что [Ээ (у)) < [й[. Доказать, что у = — + й(х), где и — периодическая функция с периодом ~й[и. М ОтООРажЕНИЕ А, ОПРЕДЕЛЯЕМОЕ РазсиетВОМ АУ и -*„— Х(ЬКС, ПРЕОбРаЗУЕт МНОжЕСтВО С) — м, +ю[ в себя.
Покажем, что это отображение сжимающее. Действительно, для любых функций у и х из С) — оо, +ос[, пользуясь теоремой Лагранжа, получаем р(Ау, Аз) = шах [Ау — Аз[ = шах ~ и(з) — р(у) — шах — [у — з) < !р'(б)[ -оо<з<аа «е ~ й - «е [й[ < шах — шах [у — з[ = шах — р(у, г), [и'Ы)[ [и'Ы)[ <э«- [й[ — «*Е «*е [й[ где с находится между у и з. так как [ээ'(у)[ < [й[, то О < 9 = эвах ~~ )1 < 1.
следовательно, р(Ау, Аз) < Вр(у, х), и сжнмаемость отображения А доказана. Таким образом, согласно теореме п 3 1, существует единственная функция у Е С)-оо, +со[, удовлетворяющая уравнению у = Ау, т. е, уравнению (1). Эта функция является пределом последовательности уэ= — — —, у =-- — (в=2,3,...). х и(О) х и(у„э) й й ' " й Переходя к пределу в последнем равенстве, получаем у = -„ + тэ(х), где 1 й(х) = -- йш 1р(у„-э(х)).
Покажем, что функции х ~ р(у„э(х)) (и = 2, 3, ...) периодические по переменной х с периодом [й[и. Для доказательства применим метод математической индукции. Прн в = 2 фунвция х 1 И(уэ(х)) периодическая по х с периодом [й[и. Действительно, согласно условию, и(х х и) ж р(у), поэтому р(уг(х+ [й[ )) ж р ~ — — — 2[ ж р(у (х) + ба й) ж р(у (х)). /х+ [й[ р(О) ) Далее, предполагая, что функция х ~ р(у„э(х)) имеет период [й[и, получаем равенство Ээ(у„(х+ (й[и)) = 1о ( — — -и(у„э(х+ [й[и)) /х+ [й(и 1 й й /х 1 Ээ(- — -р(у -э(х))+ издай) = р(у„(х)+издай) = Ээ(уа(х)), иа которого «яяээуву, что [й[и — ивриод фуивции х ь ээ(уа(х)) ио парэрушпгой х. 154 Гл. 2. Дифференциальное всчвслевве функций векторного аргумента х'у'+ *'+ у' — 1 = О, (1) то при ху > 0 справедливо равенство — + =О.
Ых яу (2) Л-хс /~-у а дифференцируя равенство (1), получаем 2хуз йх+ 2хзу Ыу+ 2х йх + 2уЫу = О. Отсюда находим х(1+у )йх+ у(1+ с~)йу= О, (3) Из равенства (!) следует з 1 у з 1 х 1 уз 1 х з з г х = —,у = —,х=~~ —,у=~~( —. (4) 1 + уз' 1 + хз' () 1 + уз' ~)( 1 + хз Если х н у одного знака, т. е. если ху > О, то, заменяя в равенстве (3) х н у нх значениями (4), получаем 1 — у, 1-хз — (1+ у ) Ых + 11 — (1+ х ) Ыу = О, т/1 — у» 4х + ф — х' йу = О. 1+ уз '3[ 1+ха Отсюда непосредственно следует равенство (2).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
