Anti-Demidovich (Lyashko I.I., i dr.). Tom 2. Ryady. Funkcii vektornogo argumenta (2001)(ru)(T)(223s) (940507), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Найти У,'(х, 1), если У(х, у) = х + (у — 1) ажжв, — . у у з 2. Частные производные и дифференциалы функции векторного аргумента 127 М Согласно определению частной прожшодной, имеем У(х + Ь, 1) — У(х, 1) У,'(х, 1) /л йш Ь Так как У(х + Ь, 1) = х + Ь, У(х, 1) = х, то х+Л вЂ” х . Ь У„'(х, 1) = Бш = Нш — =1. в л о Ь л оЬ 31. Найти Д(0, 0) и У„'(О, 0), если У(х, у) ю,о/хуу. Является ли зта функция дифференцируемой в точке (О, 0)У м Исходя из определения частных проиэводнык, имеем У(х, О) — У(0, О) . ч/х 0-О *»о х *-о х у„'(о,о)=й у('у) у(') =й '/б'у =о.
о о У о-о у Для исследования дифференцируемости данной функции в точке (0,0) запишем ее приращение в этой точке: У(х, у) — У(0, О) = фху = а(х, у),/хо+ уз где а(х, у) = /Уху у— /* Поскольку й) = е = О, Ьэ = о — — О, то для дифференцируемости необходимо, е* оо чтобы функция (х, у) ) а(х, у) была бесконечно малой при 1/хо+уз О, т. е, при х 0 ну- О. Пустьх=-,у=-,пЕМ;очевидно,х Ону Оприл со, Таккак 1 1 последовательность точек (-, -) при л ~ со стремится к точке (О, 0), а соответствующая /1 1' им последовательность значений функции (а(-, -)) = ~- /1 стремится к +оз при л оо, то функция а не является бесконечно малой лри х О, у О. Поэтому функция у недиффер/шцируема в точке (О, 0).
в 32. Является ли дифференцируемой функция У(х, у) ю 1/хэ + уз в точке (О, 0)1 и Находим производные У(0 0)=йп) ' ) ( ' =Бш — =1, Уо(0 О)/хйш ' ) ' =йш — =1. о х *-ох ' " ' „о у о оу Представим приращение функции У в точке (О, 0) в виде У(х,) У(0 О) '/" 3+„з .1,„,) ('/ з 1.„'о у) У/(О 0) .)У)(0 0)у+ (х,) / э+уз 3 где а(х, у) = -~™-*=ю оо+Оо Поскольку последовательность з з (.(-' -')) = -' - ( — '') / э л не является бесконечно малой при л со (т. е. лри х О, у 0), то а(х, у)1/хо+у~ ~ о(~Р + уз) при х -~ О, у -~ 0 и функция у недифференцируема в точке (О 0) . в 1 33. Исследовать на дифферекцкруемосш в точке (О, 0) функцию У(х, у) = е '+ ' при х + уэ > 0 и у(0, 0) ш О.
< Как и в предыдущем примере, находим частные производные (О О) Ь У(~ ~)-Ю ) Ь ~,-4/ 0 о о х о ох /))л/)-и бл/л.л /)-| -', з-/. э о У .э еу 128 Гп, 2. Дифференцняяьное исчисление функций векторного аргумента Из того, что приращение функнми у в точке (О, 0) представимо в виде У(х, у) — У(0, 0) = ! ! ! ! е геру = п(х, у) 1/Р+ уэ, где п(х, у) = ! ' ь' ! ! е зрэ = -е рз, а -е рз -+ О при р = „эерг р ' р ~,/хэ + уэ -/ О, непосредственно сяедует, что функция У диффереицируема в точке (О, 0).
> 34. Показать, что функция У(х/ у) = 1/~ху) непрерывна в точке (О, О), имеет ватой точке обе частные производные /'(О, О) и Ур(0, 0), однако не является дифференцируемой в точке (О, 0). Выяснить поведение производных у„и ур' в окрестности точки (О, 0). и Пояьэуясь опредеяением частных производных; находим у(,а)-у(а,а) . Я*.щ .0 х у'(О О) — й ~(0' у) ~(0' О) — й р«э у р-з у Поскольку !.'гГ(0, О) = фхУ) /х /хэ + Уэ — = а(х, У)/р/хэ + УР, 1~Д*Ы ~хг+ ур где ! Р 11 э! п(х, у) =, и а(-, -1 = ' -! — ф О, /хз + !/2 '!о и/ ! ! !/2 1/' з! зэк то функция (х, у) ! а(х, у) не явяяется бесконечно малой при ~/хэ+уэ — О.
Отсюда следует, что функция ) недифференцируема в точке (О, О). Иэ соотношении /з/(О, Р) = /ау) 0 при х О, у 0 следует непрерывность функции / в точке (О, 0). Из равенства Ур(х, у) = -ф(збвх при х ~ 0 и того, что )цв У' (-„т, -„) = )пв х-" = +оо, следует, что производная у,' неограничена в окрестности точки (О, О).
Это заключение справедливо и дяя проиаводной ур', М эу 3$. Доказать, что функция у(х, у) = —, если х + уэ р! 0 и У(0, 0) = О, терпит э+уз' разрыв в точке (О, 0), однако имеет частные производные в этой точке. М Из соотношений (-, -.г) (О, 0) (лрм и - оо) (1 11 . ! 1 ! Йа ~~-,,1= йш !-', = у60=2(0,0) з-со !и' и ) з-рр -'ь. + -'г 2 следует, что функция у терпит разрыв в точке (О, 0). Пользуясь определением частных производных, находим /„„= /! !!-/(! !), ! .
/,. „, /!!! !!-/с!!, р О х *-зх ' " ' р о у р-з у 36. Показать, что функция У(х, у) = — = =, есяи хэ+ уэ 4 0 м,/(О, 0) ы О, в 1/хэ +,э ' окрестности точки (О, О) непрермвпа и имеет ограниченные частные производные У' и /р, однако недифференцируема в точке (О, 0).
ч При ха + уэ зе 0 функция / непрерьпша как зяементарная. Из очевмдного неравенства (/(х, у)) = ) — ~,~ < р и мятого, что Бш " =О, получаем йш,/(х/у) =0= У(0, О). т/р*рр ! р з * о р р! р-р Таким образом, функция у непрерывна в точке (О, 0). 22.
частные производные и дифференциалы функции венториого аргумента 129 Имеем 2 У1(в у) в в У во+уз ~ 0 у~г + уэ ( 2 + „2)Э' 2* ,У12(в, у) = —" —, в +уэ ф О, ГУ(О, 0) = О. / 2+уз 1(во+уз)2' ( Отсюда, пользувсь неравенством ~-фт~ < -, убеждаемсв, что ! У*'(з, у) ~ < — + —,, — < — ! 1'у(з, у) ~ < —, )з) )зу( )з) 3, 3 /~+ 2 гз+уо /вэ ь 2 2 " ' 2' т. е. что указанные производные ограничены. Запишем приращение функции г в точке (О, 0) в виде Ьг'(О, 0) = -вЯ== = а(с, у)р, где а(з, У) = —,фт, р = ~/вэ + уз.
легко убедиться, что функцив а не ввляетсв бесконечно малой при к О, у О, а поэтому функция г недифференцируема в точке (О, О). в 37. ПОКаэатЬ, Чта фуНКцИя /(Х, у) ы (З +у ) яп —, ЕСЛИ во+ у ф 0 И у(0, 0) Уз О, 2 2 имеет в окрестности точки (О, 0) производные Д н,(У', которые разрывны в точке (О, О) н неограничены в любой окрестности ее; тем не менее эта функция дифференцируема в точке (О, О). ч Если х + уз Ф О, то частные производные Д и Уу находим, пользуясь формулами и правмлами дмфференцированиво 1 2в 1, . 1 2У 1 у,'(в, у) = 2хма — — — соэ —, у'(л, у) = 2унв — — — соз —, з2+уэ з2+У2 во+до У во+уз 22+ 2 Уз+ у2 Если же з ы 0 и у = О, то производные у~(0, О) и (У(0, 0) находим, исходя из их следующего определении: 2 1 1) й 1(в,О) — У(0, ) й ™ М~ *-о з *-о в аналогично находим, что Уу(0, 0) = О.
Покюкем, что частные производные Уу и Уу' разрывны в точке (О, О) и неограничены в любой ее окрестности. С этой целью выберем последовательность (х„, у„), сходлщуюсл к точке (О, 0), н такую, что соз -2 — г = 1, т. е. -2 — У.ю 2нт. Пусть, например, 1 ! ОУ ' * ФУ 1 1 — — у ю —, всМ. 21Гвт' 2 „~их' Поскольку г 0 и у„ -~ 0 при в оо, то последовательность точек (в, у ) попадает в любую окрестность точки (О, 0). Прн этом соответствующав последовательность значений функции Яз , у ) = -2тулт, н б Г(, стремитсв к -оо. Следовательно, частнал проиэводнав Д разрывна в точке (О, 0) и неограничена в любой ее окрестности. Аналогичные выводы справедливы и относительно,гу. поскольку гу(0, 0) = уу(0, 0) = О, а приращение 2ау(0, 0) представимо в виде 2аУ(0, 0) = (за+ уэ)мв —, = ра(р), где а(р) = рмп — 0 прм р = /Р+уз О, то функции 1 диффереицируема в точке (О, 0).
р дзв д'в „2 Ув 38. ПрОВЕрктЬ раавиотВΠ— уз —, ЕСЛИ: а) В = В"; б) В уэ ЭГССОЗ д*ду дуде' ' 1((у ° а) Имеем -у в ° 2увэ - (1+у йгв), — Уа2увз 1вв, — =2увв (1+У )вв). дв „, дзв „*,, д» ° дзв дв:-!,: члйуфдв ду ' 0*ду 130 Гл. г. Дифференциальное исчисление функций векторного аргумента э*«э' Отсюда непосредственно следует равенство — ж —, справедливое для всех точек (х, у) лузу зуэ в области определения смешанных производных: 0 < х < оо, -со < у < оо. б) Аналогично предыдущему находим смешанные производные 1 2 э дг э ди 1 г-- ди х 2-- ди * э 22-- «и 2-- — «« --(Ху-Х ) 2, — «е -(Ху-Х ) 2, — = -(Ху -Х у ) 2, — = — (Ху-Х ) 2 дх г дудх 4 ау г дхду 4 и убеждаемся, что они равны з области их определения: 0 « — ' 1.
У Эти примеры иллюстрируют утверждение о равенстве непрерывных смешанных произ. водных, отличающихся порядком их вычисления. в х2 2 39. Пусть 2(х, у) = ху, если хг+ у ~ О, и г(0, 0) = О. Показать, что ду(0, 0) ф х2 ~. у2 ' Уэ (О, О). ч При хг + уг ~ 0 имеем х' — у' 4згу' хг — ' 4хзу ©х, у) =у — + хг+уг (х24у2)2«У( «х2+уз (х2+у2)3' Если х = у = О, то производные у«(0, 0) и уэ(0, 0) находим непосредственно из их определения; у (О 0)=лш ' ' =Вш — =О, Уэ(0,0)«ейш ( 'у) ' ) =1пп — =О.
э О х ох "'уг у э гу Пользуясь этими значениями, находим смешанные производные: ,(,э(0,0)«ейш " ' ' =йш — =-1, У„'(О, у) — У.'(О, 0) . -у' уэууу 2 (О О) = Б у"( 0) ~"(~' ) = )и — = 1 *-о х э эг Отсюда убеждаемся, что у,«У(0, 0) ф Д',(О, О), Заметим, что в точке (О, 0) не выполняютск достаточные условия равенства смешанных производных. В самом деле, при хг + уг ~ 0 находим х' — у' г' ох'у' 1.",(х, у) = У,".(х, у) = — ~1+ У = У* хг+уг ~ (хг+уг)гг« ' Поскольку последовательность (М„= (-', -)) стремится к точке (О, 0) при я оо, и « 1пл 2 У(М«) = йш ээ«(М ) = т+ (1+ Г.гзцэ), то смешанные производные терпят раз- ««« рыз в точке (О, О).
Ь 40, Существует ли Уээ(0, 0), если ~(х, у) = хг при хг +уз ф 0 и ~(0, О) ««Ог х2 дуг г„«„г .2« ч ПРи хг + Уг ~ 0 имеем Уэ(х, У) = ф-ф~. ПользУЯсь опРеделением пРоизводной, находим у~(0 0) 1,, у(х О) у( ) гш 0 «о х «»0 х Поскольку предел 2 Э У.'(О, у) — Г.'(О, О) . Ф У у У О У не существует, то производная ~"„в точке (О, О) также не существует. > 41.
Доказать, что если дифференцируемаи функция (х, у, э) 1 э(х«у, У), (х, у, э) е с, удовлетворяет уравнению * — +у — + — = уу ОГ ау ау дх ду дэ 3 2. частные производные в двфферевцвалы функции векторного аргумента 131 то она является однородной функцией степени р. 4 Рассмотрим функцию У(Схо, Суо, Сго) (2) Са Она определена, непрерывна н дифференцируема для всех С ) О, для которых точка (Схо, Суо, Сго) Е С. Вычисляя производную функции Г, получаем вырюкенне, числитель которого равен С(хоУ,'(Схо, Суо, ого)+УоУг(Схо, Суо, Сго)+гоЛ(гха, Суо, Сго)) — УГ(гхо, Суо, Схо) (3) Заменяя в равенстве (1) х, у, г на Схо, Суо, ого соответственно, приходим к выводу, что выражение (3) равно нулю. Следовательно, Го(С) = 0 и Г(С) = С = сопог.
Для определения константы положим в (2) С = 1; таким образом, С ю г(хо, уо, го). Отсюда, пользуясь равенством (2),иолучаем 1(гхо. Суо, ого) = С~1(хо, Уо, го), (хо, Уо, га) Е С. > (2) Ни ю — (х дх + у Иу + г Ыг), 1 гг г 1 з И а= — (Их*+дуг+ляг) (хдх+ гу+гсС )г— 42. Доказать, что если С вЂ” дифференцируемая однородная функция степени р, то ее частные производные Сг, Сг, Г,' — однородные функции (р — 1)-й степени.
а Поскольку à — однородная фуюсция степени р, то справедливо равенство С (Сх, Су, Сг) ю С" У(х, у, г), причем вырюкение в левой части дифференцируемо. Дифференцируя последнее равенство по х, получаем Сг(гх, Су, Сг)С = Сг(г(х„у, г) или Сг(гх, Су, Сг) ю Сг 'Г,(х, у, г). Из последнего Равенства следУет, что Уг — одноРоднал фУнкциа степени Р-1. Дла пРоизводных Гг' и Г, доказательство аналогичное. и 43. Пусть (х, у, г) » и(х, у, г) — двюкды дифференцируемал однороднал функция и-й степени.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
