Anti-Demidovich (Lyashko I.I., i dr.). Tom 2. Ryady. Funkcii vektornogo argumenta (2001)(ru)(T)(223s) (940507), страница 21
Текст из файла (страница 21)
и»х — * ххз з+ уу' и Поскольку числитель и знаменатель — непрерывные функции, то данная Фун"ция может иметь разрыв лишь в точках, где знаменатель х + у обращаегск в нуль. рещая 119 У 1. Предел функции. Непрерывность уравнение х + уэ = 0 относитевьно у, находим у = -х, Следовательно, функция имеет э разрывы иа прямой у = -х. Пусть хо ,-Е О, уэ ~ 0 и хо+ уо = О. Тогда Ьш — — лш х+У . 1 1 э хэ туз э-*а хэ — ху+уз хэ — хоро+уз э ээ э ээ Значит, точки прямой у ж -х (х ф 0) — точки устранимого разрыва функции о. Иэ соотношениа 3 3 з 2 х+у .
1 хзэ з,, э ур з э о э-э следует,что (О, О) — точка бесконечного разрыва. и эа8. Показать, что функция — если х +у ФО, 2ху 2 2 ,г(х, у) = хэ ь уэ О, если хэ + Уэ = О, непрерывна по каждой из переменных х н у в отдельности (при фиксированном значении другой перемениои), но не является непрерывной на совокупности этик перемениыт. М Пусть у ф О н хо — любые фиксированные числа.
Тогда ~( 'У) 2 2 з э 2ху 2хэу *-*э хг~ уз хээ+уз Если же У = О, то при любом хо ф О йш у(х, 0) ж 0 = Дхэ, О). Наконец, если У = 0 и ээ хо = О, то йгп .г(х, О) = 0 = ДО, О) . о Таким образом, при каждом фиксированном у функция у непрерывна по переменной х. Ввиду симметрии функции относительно х и у при любам фиксированном х функция Г" непрерывна цо переменной у.
Однако функция у ие является непрерывном по совокупности переменнык в точке (О, 0). Действительно, обе последовательности (-, -) н (-, -„) сходятся при з -~ сс к точке (0,0), а соответствующие им последовательности значений функции сходятся при и оо к различным предельным значениям: 19. Показать, что функция у( )= 4 г' если * +у фО' х'у э 2 О, е *+у=О, В ТОЧКЕ (О, 0) НЕПрЕрЫВНа ВДОЛЬ КаягдОГО ЛуЧа Х ж ГСОЗ а, у = 1ЗШ О, 0 < Ф < +СО, ЛрОХОдящего через зту точку, т.
е. существует бгп у(Фсоз о, гэш а) = г(0, 0), однако эта функцик не с э является непрерывнок в точке (О, 0). и Имеем э Гз,ь' )=ь Гхоз ю33в и с о с-о Гэсозэа+аш а Поскольку у(т сох о, 1зш а) ш 0 лри а = а", й б Ео, то при этик значениях а з' йш у(Гхоз а, Гмао) 0 = у(0, 0). г о 120 Гл. 2. Дифференциальное исчкслеике функций векторного аргумента Если 0 < и < 2х, о ~ —, х б И, то г~ сох~ а+ еш а > 0 и т~ соэ' а + зшэ п ып о > О при Г О. Следовательно, Пш /(1 сова, 1эша) = 0 ш /(О, 0). Таким образом, вдоль любого луча, с о проходящего через точку (О, 0), функция / непрерывна в этой точке.
То, что функция у имеет разрыв в тачке (0,0), следует из того, что последовательность (, э) сходится к точке (0,0) при и -» оо, а 1 ! 20. Исследовать на равномерную непрерывность линейную функцию Дх, у) = 2х-Зу+6 в бесконечной плоскости И = ((х, У): [х] < +со, [У( < +ос). М Для любых точек (хц уг) и (хэ, Ю) бесконечной плоскости Й~ имеем ]/(хю уг) — /(хэ, уз)] = ]2(хг — хэ) — 3(уг — уг)] < 2[э~ — ха[+ 3[уг — уэ[. Пусть е > 0 — произвольно заданное числю Тогда прн условии, что ]х~ — хэ[ < — = 6, )у\ — уз[ < — = 6, справедливо неравенство [/(хц у~) — у(хг, уз)] < -+ — < э, кз которого, по определению, следует равномерная непрерывность функции / на И .
к 2 21. Исследовать на равномерную непрерывность в плоскости Иэ = ((х, у): [х[ < +со, (у~ < +со) функцию о = 1/хэ+ уз. М Для произвольного е > 0 и любых (хы у~), (хг, уэ) Е Й~ имеем ~е(хы У )- (х» Уэ)]= ~Л+й-1/7Г+~4~= [(хь — хэ)(хг + хз) + (ую — уэ)(уг + уз)] [хь — хэИхг+ хг~ ]уь - уэЬг + уэ[ < + < / э 4 Уэ 4 / э 4 Уз / ~ .~, э 4 / э 4. Уэ / э 4 Уэ 4 /хэ,~, Уэ «< [хг — хз] + ]» — уз] = ]х~ — хэ[ + ]уг — уэ[ < — + — = э, ]х [ + !хэ[ ]уг[ + [уэ] / з + /хз /уэ + /уэ 2 2 как только [х~ — хэ] < -' = 6, )у~ — уэ~ < — = 6.
3 э Следовательно, по определению, фуккция о равномерно-некрерывна в плоскости Ы~. ~ь 22. Будет лк функция /(х, У) ш ыв э э в области х'+ Уз < 1 равномерно- 1 — х — у непрерывноиу ° Функция х »» (1 — х' — уэ) непрерывна при всех значениях х и у как многочлен от х и у . По теореме о суперпозиции иелрерывиыт функций, данная функция также непрерывна при всех значениях х к у, удовлетворяющкх неравенству х + у < 1. Покажем, что в этой области данная функция неравномерно-неярерывиа. С этой целью возьмем две последовательности 1 1 М„=(х„, у ) = 1 — — сова, г,г1 — — зшк 2я ' 'у' 2» 2 2 М»=(х» у»)= 1 — — согк, 1 — — эшо 1+ 4я ' 1+4я о б р(, 0 «<а < 2х, принадлеяшщие области определения функцни. Поскольку р(М„, М'„) = (х» х») + (У» У») — 1 э 1 э О пРи о -' оо, а ]/(М») У(М»)]— г э ]эш 2ях — мп (- + 2иэ.) ] = 1 при всея н, то для е б]0, 1[ не существует числа 6, участвуэогиего в определении равномерной непрерывности.
Ь 121 61 Предец функции. Непрерывность 23. Дана функция и(х, у) = шиш —. Явяяется лк эта функция непрерывной в своей У области опредеяеиия Еу Будет яи функция и равномерно-непрерывной в области Еу ц Область олредепения Е определяется неравенствами ~х( < (У(, У ~ О. В этой области функция о непрерывка как суперпозиция непрерывных функций. Однако данная функция не является равномерно-непрерывной, так как дяя последовательностей (М„) = (-„, -„), (М„) ы (-, --„) справедливо соотношение 9 0 и р(М, М'„) = при и со, а расстояние между значениями функции в соответствующих точках (о(М„)— о(М»)( = ( ысэи 1 — агсаш(-1)( = 2 ысз|п 1 = х не может быть меньше числа я, м 1 24. Показать, что множество точек разрыва функции у(х, у) = хзш —, если у р О, и У 1(х, О) = О, не является замкнутым.
ч Пусть у» = †, х» = — э, где хэ — произвольное фиксированное число. Тогда (!ей ~)' е] ' последовательность (х„, у„) при в оо сходится к точке (хо, О). Из соотношения (61|(хэ, уэ)( = (Х(хо + йх, уз + Ьу) — У(хо, уо)~ < 4 (У(хэ+ бах, уз + Ьу) — Яха+ Ьх, уа)(+ (У(хо+ Ьх, уа) — )(хе, уо)(. (1) Согласно равномерной непрерывности функции у относитеяьно х по переменной у, Ух > 0 Э6~ = 6ь(е, уо) такое, что, если (Ьу( < 6ю неравенство )Х(хо+»ьх, уз + Ьу) — З (хо+ 63х, уа)~ <— 2 (2) справедливо дяя любых хо + Ьх из области определения функции у. Далее, в силу непрерывности функции у по переменной х, для указанного ранее е > 0 В6э = 6з(е, хо, уэ) такое, что (у(хо+ бах Уо) — У(хо, Уо)) < —, 2' (3) если (»1х( < 6з. Пусть 6 ю шш(6ю 6з), тогда при (Ьх( < 6, (ЬУ( < 6 неравенства (2) и (3) будут выполнены.
Поэтому при (Ьх) < 6, (ЬУ) < 6 из неравенств (2), (3) и (1) следует, что М(хо, уо)( < х, а это и означает непрерывность функции у в точке (хо, уо). М 26. Доказать, что есвн в некоторой области б функция 6 непрерывна по переменном х и удовлетворяет условию Липшица по переменной у, т. е. )У(х, В) — Пх, уз)) < Х43~ — уз!, тде (х, у~) б ы (х уз) б С и Ь вЂ” постоянная, то ата функция непрерывка в данной,области. 1ип у(х, у ) = Бш — ав »ха . з"(1 + 4») юхафУ(хо,О)=0, хофО, »» 1+и 2 следует, что (хо, 0), хэ р' 0 — точка разрыва функции У. А из неравенства (~(х, у)( = (хант -( < )х( следует непрерывность функции у в точке (О, 0). э Таким образом, множество точек разрыва функции у заполняет сплошь ось Ох, эа исключением точки (О, 0), которая является предельной точкой этога множества. Следовательно, множество точек разрыва функции у не содержит всея своик предельных точек, а поэтому не является замкнутым.
м 25. Показать, что если функция у' в некоторой области С непрерывна цо переменной х и равномерно-непрерывна относительна х по переменной у, то эта функция непрерывна в рассматриваемой области. ц Для произвольиык точек (ха, Уэ) и (хо+ Ах, Уз+ 6ау) нз области определения функции 1 имеем 122 Гя. 2. Дифференциальное исчисление функций векторного аргумента м Поскольку функция 1 удовпетворяет условию Липшнца по переменной у, то для про- извольного с > О и любых точек (хз, уз) и (х, у) мз С имеем ]У(х, у) — У(хз, уз)] < ~у(х, у) — У(х, уо)[+ У(х, уз) — у(хз, уз)[ < ч В«у — уа]+ [У(х, уэ) — У(хз, уа)]. (1) В силу непрерывностм функции х ь-~ у(х, уз) в точке хз, можно указать такое 6, м Ьз (с, хо, уз), что при [х — хэ«< 6~ имеет место неравенство [г(х, ус) — У(хз, уз)[ < —.
2 (2) Из неравенств (1) и (2) при усяовии, что ]х — хз) < 6, ]у — уз~ < 6, где Ь = ппв [Ьз, †' ), получаем неравенство фх, у) — /(хз, уз)] < й — + - = х, гй которое доказывает непрерывность функции у в любой точке (хз, уэ) е с, ь 27. Пусть функция Г непрерывна в области С = ((х, у): а < х < А, Ь < у < В), а последовательность функций з » р»(х), п Е Я, сходится равномерно на [а, А] и удо- влетворяет условию Ь < р (х) < В, я Е М. Доказатг» что последовательность функций г»(х) = 6(х, р (х)), и Е М, также сходится равномерно на [а, А]. 4 Поскольку функция у непрерывна в замкнутой области С, то она равномерно-непре- рывна в этой области. Следоватеяьио, ге > О 36 = 6(е) такое, что неравенство [6(х, у ) — )(х, у )[ < з (1) справедливо для всех х Е [а, А] и у', у» Е [6, В], которые удовлетворяют 'неравенству ]у'— х»] < 6.
В сиду равномерной сходимости на сегменте [а, А] последовательности (зз»(х)), Ч6 > О (в том числе и дяя 6, указанного выше) ЗФ г» Ф(6) такое, что (р чр(х)-р»(х)[ < 6 зп > )г", ур > О и гх Е [а, А]. Покатая в неравенстве(1) у' = р чр(х), у» = у»(х) (Ф»эг(х) у»(х) Е [6, В]), получаем неравенство йх р Ь ( ))-Х(х, р.( ))~ < справедливое гв > 6Ь, 'гр > О и гх Е «з, А]. 'Таким образом, последовательность й»(х) = у(х, р»(х)), в Е М, сходится равномерно на сегменте [а, А].
м 28. Пусть: 1) функция г непрерывна в обчасти В = ((х, у): а < х < А, Ь < у < В); 2) функция Ьз непрерывна в ннтерваяе ]а, А[ и имеет значения, принадлежащие интервалу ]Ь, В[. Доказать, что функция г (х) = у(х, р(х)) непрерывна з интервале ]а, А[. М Пусть (хз, уз) — произвокьная точка из области В. Из непрерывности функции ~ в обпасти Я вытекает, что гс > О Э6~ = 6~(з, хз, уа) такое, что ]у(х, у) — у(хз, „)«<., (1) если )х — хз[ < Ьь [у — уз] < Ьз. Обозначим у = р(х), уз = р(хз).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
