Anti-Demidovich (Lyashko I.I., i dr.). Tom 2. Ryady. Funkcii vektornogo argumenta (2001)(ru)(T)(223s) (940507), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Прн этои число А называется пределом функции г при х хо, что записывается Йа у(х) = А, или 6(х) — ~ А при х-~ ха, г гв нли Йп Дхы ..., еы)=А, гз гз г з о нли у(хы...,х )-~А при хз х,,...,х х о о Определение 2 (Кошк). Функция у имеет мредел мри х хо, если существует такое число А, что уе > О 36 > О такое, что гх б Е, удовлетворяющие условию О < )(х-хоО < б, где ох хси = р(х, хо) = (х! — хд) + (хз — хз) + ...
+ (хв с»з) вымолмяется неравенство Щх) — А) < е. Оба определения предела (Гейме и Коши) эквивалентны. 1.2, непрерывность. Пусть у: Р -~ П, Р С П, а хо б Р. Определение. Функция у" мазывается мемрерывмой в точке хо й Р, если еымолмяет- ся любое из зкеиеалемгимых условий 1) те > О 36 > О такое, что Ьг(х) — 6(хо)~ < е, как только Ох — хоб < 6; 2) для ироизеольмой последовательности (х„) змочемий х ч Р, сходящейся к точке хо, соответствующая последоеательмость (у(хм)) значений функции г" сходится при и оо к ~(хо); 3) Йп у(х) = у(хо) или у(х) — у(хо) О при х — хо О; ва 4) те > О 36 > О изакое, что дЯ(хо, б)) С)У(хо)-е, ~(хо)+с[, или, чзмо гло ше самое, У: Я(хо, 6) ]У(хе) — е, Пхо)+ е(, где Я(хо, б) — оаисрьапый щар е пространстве П с центром е точке хо и радиусом 6. Фуикпня у непрерывна в области Р, если оиа непрерывна в кашкой точке области Р.
114 Гл. 2. Дифференциальное исчисление фуккций векторного аргумента 1.3. Равномерная непрерывность. Определение. Функция у ! Р И, Р й и™, называется равнояерно-ненрерывмой е областн Р, если рс > ОИб > 0 таков, что рх е Р п 'ру с Р, удовлетворяющмх розовою ((х — у(( < б, выполняется неравенство (г (х) — у(у)( < г. Теорема (Кантора), Если йрункция г" ! Р П, Р О ры, немрерьюна в замкнутой огранен»иной областям Р, нзо ома равномерно-мемрерьюна в этой областм. х — у 1.
Показать, что длл функции з (х, у) =— х+у ы(! л.,!)-!, » (! л., !) =-!, в то время как Иш У(х, у) не существует. » р о и Имеем (. х — ур, х . !' . х-у\ . -у Бш Ип! — ) =Иш-=1, Иш(йш — )ыйш — =-1. отр-ох+у)» ох р о1,»-ох+у) р о у Поскольку последовательности (х„, у„) = (-, -),(х'„, у„') = („-, -) сходятся к точке (О, 0) при н сю, а соответствующие последовательности значений функций сходятся к различным пределам ! ~(хы У„) ы 0 О, У(х„, У„) = з 3 » при и оо, то предел Бш г(х, у) не существует.
и *-о р-о х у 2. Показать, что для функции,г(х, у) = хзуз .~. (х у)з Бш Бш г"(х, у) = Иш Бш У(х, у) = О, тем не менее Иш г(х, у) не существует. » о р-о И Равенство повторных пределов следует из того, что Бш У(х, у) = О, Глп У(х, у) = О. р о ' *-о То,что двойной предел не существует, следует из того, что последовательности (хв, у„) = (-.. —, -), (х'„, у„) = (-, --) сходятся к тачке (О, О), а соответствующие последовательности ! 1 ! ! ! значений функции сходятся цри н со к различным предельным значениям: ! ! ,У(х», у„) =+ 1, У(х~, у!,) =, " О. И 1 .
) 3. Показать, что дла функции г(х!у) ы (х+ у)зш — мв — оба повторных предела х у Иш~йш,у(х, у) и Бш( Изп у(х, у) не существуют, но, темпе менее, существует Иш,((х, у) = О. » орр о г р о!» о у ,-о р» И Пусть у ~ —, я е М, тогда узш- р О. Очевкдио, последовательности (х„) = ( — ), ! ! ! (х„) = (1»за!1 ) сходятся к кулю прк и -» оо. При этом соответствующие последоваз тельностн значений фУнкции (У(х», У)) ы (0), (У(хы У)) = (Ума -') пРи и сю скот!тел к различным предельным зкачешшм. Следовательно, Иш у(х, у) не существует.
Акалогмчио 3 1 Предел функции. Непрерьгвпость 1. 1'1 Иш (х+у)вш — ып- =О. и в о \ х уу в-о 2ху 4. Существует ли предел (пп — ? ох +у г в-о щ Этот предел не существует, так как последовательности (х, у„) = 1-, -), (х„, у„) = !1 гг (.. —, —,) сходятся к точке (О, О) при о оо, в то время как соответствующие последователь- 1 ности значений функции сходятся к различным предельным значениям: ) г г + прн о — оо.ь г 5. Чему равен предел функции 1"(х, у) = хге 1в ю вдоль любого луча г. = гсов а, у =1ыпа, 0 < 1 <+ос, при 1 +ос". Можно ли эту функции назвать бесконечно малой прн с — со и у — со? Л Обозначим Г(1, а) = 1(1 сов а, гвш а), тогда Если а = Ш-, то Е (1, ~-) = 0 и, следовательно, Р (1, --") 0 при 1 +ж. Если же а ф ж-, то совг а ф О и 1' совг а — гып а +ж нри 1 +~и. 'Тогда, по правилу г ' Лопиталя,получаем 1пп Г(1,а)=сов а Йп г г =сов а йгп г 1 г 21 .Ь, вщ вг о-г .г в ьа (21совг а — вш а)е'г "* г 1 =сов а Йп = О.
'-.Ь (совг а — — '" ) г'г"'г гг Поэтому Бш Е(1, а) = О при любык а . ! в Функция г" не является бесконечно малой при х со и у ж, посколььу лрн х„= л г з +со, У = з +со полУчаем Равенство Бш 1(х„, Ув) = )пп пге Ш " ' = йш о' =+со, противоречащее определению бесконечно малой величины. и 6. Найти йш (1пп,г(х, у)) и 1пп ~ ?пп г'(х, у), если: в-ь г в-ь г а) У(х,у)ж —,о=,Ь=; б) хг+ уг хг+ ув ' в) у(х,у) =вш —, о=со, Ь=оо; 2х+у' д) г (х, у) = 1об (х + у), а = 1, Ь = О. щ а) При х ~ О, у ф 0 имеем У(х у) = —, о =+со, Ь = +О; 1+ хз' г)гг(х У)ав — гб —,о=О,Ь=оо; 1 ху ху 1+ ху' вг х +У' гг в г '1 г ' з „~ хг+ув) вг устанавливается, что йш у(х, у) также не существует.
Из этого вытекает, что оба повторных з о предела не существуют. Однако из неравенства 0 ( )(х+ у)ып -ып - ~ ()х+ у) ~ ((х(+ (у(, справедливого при любмх х ф О, у га О, следует, что 116 Гп. 2. Диффереицивльиое исчисление функции веиториого аргумента ( . ху ') 1 , ( . ху + '~р +о 1+хо/ 2 р +о 1* ем 1+хо / в) При каждом фихсированном х функция непрерывна по у, если (у( > 2(х(, а прн всяком фиксированном у — непрерывна по х, как только ~х) > )У). Поэтому хх тх,, х йш юп — = О, йш ип — = йш мп — „= 1. р 2х+у ' «2х+у *-м 2+-" Следовательно, йш йш мп — мР, Ьп йш мп ™ »-««),у 2х+ у/ ' у-«» 1 -м 2х+ у/ г) При фиксированном х ~ 0 йш — '-У- = 1, поэтому, в силу непрерывности тангенса, 1+ «р получаем Ьп — 10 -™- = О.
«у 1+«р Пусть теперь у фиксированное. Тогда, пользуясь тем, что йш -'д.- "= 1, имеем *-о Бш/(х, у) = Бы ',~*у(1+ху) ' =1. 1 Рш На основании этих равенств находим йш йш — 10 — /1 ««О, Йп ( йш — 10 ~ =1. ху 1 . /, 1 ху «-о р с ху 1+ху/ ' р- (» оху 1+ху~ д) Имеем /(х, у) = 1оу (х + у) = э,=ы, х > О, х + у > О, х ~ 1.
Из непрерывности логарифмической функции следует, что Бш /(х, у) = йш )п(х+у) 1пх = — =1 р о у о 1пх )их Следовательно, йгп Ьп /(х, у) = 1 11р а Поскольху )п(х + у) ) +со~ го 1пх 1 (я+у) 1«о )п х:( +ос' Ь(х+ у) Ьш если -1<у<0, если 0 < у < +со, если -1<у<0, есви О < у < +со, если у м О, то йш /(х, у), а вместе с ним и йш (йш у(х, у)/ не существуют. М »-1 у О\» 1 Найти сведующие двойные пределы: х+у ' ..«х' — хр+Уз' б) Фуивция У1 хэ непрерывна при у > 0 (х считаем постоянным), поэтому йгп ху = 1; р-+о при постоянном значении у > 0 функция х ~ х" непрерывна при всея х > О, поэтому йш хр =+оо.
+«« Пользуясь полученными равенствами, находим з 1. Предел фуикцви. Непрерывность Л Пользуясь очевидным неравенством х — ху+ У > ху, получаем (при х ОЬ 0 У Ф 0) 0 <ч х+у ! х+у э < — ( + х' - ху+ у' ~ у (у! (х!' Отсюда следует, что Таким образом, 1пп т-~~-у = О. В 8. Йп — *, со Л Пусть х ф О, у ф О, тогда хэ + уэ хэ „э хэ уэ 1 1 О< — = — + — < — + — = — + —, хо 1 ус хо+ус хо+ус хс ус хэ уэ lс Поскольку Йп ( —, + —,~ = О, то, пользуясь неравенством (1), заключаем, что (»с ус/ у-с. 1сш — = О. и х +уэ » со хо+ус у о яв ху о х у Л Имеем — Л = — ""*д у, у Ф О.
Так как Йп —" = Йп — ю 1 (ху = Г, а рс оо), то *у о *у с о у Иш -*'-'-*-г = 1ип — Йп у = а. в с о у о с у 10. Еш (хо+уз)е 1*а»1. » Есо +со Л Пользуясь эаементарным неравенством э э 2 2 (х +у)е = — + — < — + —, э э -с»оу1 х У х у о*+у с»+у е* еу' справедливым при х > О, у > О,получаем э ээ, )е < йш ! —,+ — ) =О. -(+у) . * у -., ~,о» оу,~- у +со 12. Игн(хо+ „э) эуэ Д$* Р< Йн (х +уэ » +со О ос Отсюда Йп (хо+уз)е (»е»1 =О.
° у + 11. йш у-+со Л Из очевидного неравенства л (")-- с»»э ..зЫеут) ~ ((-) -с 0 пРн х +со. +уз > 2ху следует, что -ел э < —. Поэтому 0 < ОтСЮда ВЫтЕКаЕт, ЧтО 11Ш 1 эдт) = О. В »-о» ~»'+у у Фа 118 Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций векторного аргумента а» М Из неравенств х у ~( 1(хо+ уз)2, 1 В (хо+ у )* " ) (ха + уз) а~ »у 1 справедливых при 0 < хо+ уу < 1, и нз того, что Йп(х +у)а У = Бш 21 = Йп са =1, » о » ео»-ео у о 2 2 2 вытекает равенство Йп (х + у )* " = 1.
> -о у о 16. Йн ( +1)*+". у-а и В силу непрерывности показательной и логарифмической функций, имеем а (+-')*'" = ».,( — ',»(1 ° -') ) = ° *у="« 14. й 2 Рсх2+ у2 у-о и Пользуясь непрерывностью логарифмической фуНКцИИ И тЕМ, Чта йщ а РХ2 + уу = 1 й у-о О, получаем 1в(с+с») 1п2 Бщ = — = 1п2. > г,/х~ + уз у-о 15.По каким направлениям у» существует конечный предел: » уа а) Йп с*'+»'; б) Бщ с " 21п 2ху, если х = р сов у» и у = р»1а р.
р-»о Р-» М а) Конечный предел йщ е*'+» = Йп е Р -+о р-+о существует тогда, когда соз р < О, т, е. если — ' < уа ( —. 2 б) Имеем »»-уа ° р му» 2 Йп с " щп2ху= Йп е» '" "зш(р з1п22»). Р + Р-У поскольку рз +ос, а р» ив(р'ил 22») — ограниченная функция, то предел будет конечным, если сов 22» < О нли з!п22» и О.
В первом случае — ( р « вЂ”, —, у» < —,, во втором у»=0,2»=т. И Найти точки разрыва следующих функций: 16. о = —. 1 хо+ уз М Функция (х, у)»Р хз + уз непрерывна прн всех х и у как многочлен от х и у, По известном теореме о непрерывности суперпознции непрерывных функций, (х, у)» (х + 1 уз) 2 — также непрерывнав функция прн всех х и у, кроме точки (0,0), где знаменатель 1 (х + у )2 обращается в нуль. Следовательно, (О, О) — точка бесконечного разрыва. 1» 1»У.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
