Anti-Demidovich (Lyashko I.I., i dr.). Tom 2. Ryady. Funkcii vektornogo argumenta (2001)(ru)(T)(223s) (940507), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Из непрерывности функции у = р(х) на интервале ]а, А[ вытекает, что для указанного выше Ьь ЛЬз = Ьз(6з) тахое, что [р(х) — 4хо)[=]у — уз[ < 6ю (2) если [х — хз] < 6з. Следовательно, из неравенств (1) и (2) и из того, что у = р(х), у б]Ь, В[, есзи х й]а, А[, вытекает неравенство [У(х, р(х)) — Х(хз, Й(хз))] < е, справедливое при ]х — хз[ < 6 = шш(6з, Ьз) и доказывающее непрерывность функции Г(х) = 6(х, у(х)) на интервале ]а, А[. и 29. Пусть: 1) функция у' непрерывна в обяасти В = ((х, у): а < х < А, Ь < у < В); 2) функции х = р(з, е) и у = М(з, е) непрермвны в области Я' = ((з, з): а' < и < А, Ь' < з < В') и имеют значения, прзнадяежашие соответственно интервалам ]а, А( и ]Ь, В(.
Доказать, что функция Е(и, з) = У(Гз(з, з), 4(з, е)) непрерывна в обпастн В'. 122 $ 1. Предел фуикции. Непрерывность 4 Пусть (ао, ео) — произвольная фшссироваинаа точка из 22', а хо = р(ссо, ео), уо = тс(ао, ео). Из условия 1) вытекает, что оз > 0 За = а(е, вщ уо) такое, что (Х(х, у) — Х(хо, до)( < з, (1) если (х — хо~ < а, (у- уо( < а. Из условия 2) следует, что для указанного выше сг 36 = 6 (и) = 6(е, ао, ео) такое, что при )а — ао) < 6 и )е — оо) < б справедтивы неравенства (р(а, е) — ог(ао, зо)( < а, (сб(а, о) — сб(ио, оо)( < а.
(2) Из неравенств (1) и (2) непосредственно следует, что (сс(ог(п, е), сб(а, о)) — Х(зс(ао, оо), сб(зо, оо))( = (Г(а, е) — Г(ао, оо)) < о при (а — ао( < 6, ~е — зо( < б, т. е. что функция Г непрерывна в точке (ао, оо). Поскольку (ао, оо) — произвольная точка из сс', заключаем, что функция Г непрерывна з области й'. > Уцражиемил для самостоятельиой работы 1. доказать, что функция (х, у) с Ах~+ Вхгу+ Сху + Вуг, (х, д) Е л~, имеет в точке г (О, 0), по меньшем мере, тот же порядок малости, что и р си (х + у )г. 1 2. Показать, что для последовательности а си —, и, сп Е Н, имеем Ьп (йгп а„) = йщ ( Ьв аи ), тем ие менее Ьп а ю пе существует.
и и и 3. Доказатьи что дсш последовательности аии ж — "' ", а, сп Е Я, двойной предел йш а си т и и существует, в то время как ЬП (ЬП аи ) ф йсп ( Ьп аиси) . Выяснить, существуют ли следующие двойные пределы: и с 1 г)+с" ' ' и-с с-стим - г т' с и»с и с Ьис 7. Показать, что функции у(х, у) = -г — "~~, д(х, у) = —; — т — - стремятся к пулю, если точка (х, у) стремится к точке (О, 0) вдоль любой прямой, проходящей через точку (О, 0), но эти функции не имеют предела в точке (О, 0). Найти пределы: с о *" -о о-о г г г *ссиге <а с *=с,—, с, ». ». с с с с~о+" 1 ) *-о з о С помощью "е — б" асс ждеиий доказать непрерывность следующих функций: 12. 6(х у) = 1 + х' + у' ( , д) б )й'.
10. 6(х, у) = чгГ+ Рз, (*, у) б И'. 14. Доказать, что если фуикция (х, у) с-с г" (х, у), (х, у) Е Иг, непрерывна по каждой переменной х и у в отдельности и мопотоииа ио одной из иих, то оиа непрерывна по совокупности переменных. 10. Исследовать па равиомериую непрерывность в Кг функцию = /Р + да )п ' , хг + дг ~ О, ,6(О, О)аи О. ,~ г~р' 10. Доказатги что функция у(х, у, з) = зш(хо + уз+ зз), (хс у, з) Е К~, ие является равномерно-непрерывной в пространстве Ио. 124 Гл. 2.
Дифференциальное ксчисление функций векторного аргумента ~ 2. Частные производные и дифференциалы функции векторного аргумента 2.1. Частные производные. Пусть функция х ~ 1(х) определена в области Р простэпанства К; (еы ез, ..., е )— стандартный базис этого пространства, а хз = (х„хзэ, ..., х„,) — точка области Р. э Определение 1. Разность У(х)-Д(хэ) называется волиым приращением функции У е точке хз, а 1(хо+(хэ — х,)еэ) — 1(хо), 1 = 1, т — частным пРиРащением фУнкции э' во переменной х в точке хэ. Определение 2. Если существует конечный предел )пп у(хо+(хэ -*,')е ) -у(хэ) эт1, (Ц э э х, — хэ э то он называется частной производной функции У е точке хе во переменной х, и обозначается †(хэ), или у,'з(хэ), нлн Рэ)(хо). ду дх.
Функция г имеет в точке хэ частную производную Д. тогда и только тогда, когда в этой *э точке справедливо равенство ~(хо +(кэ *э)еэ) Пха) = ( д— (ха)+ а(хэ хэ)( (*э — хэ) о йз йз При этом величина Хй т Ь!йэ+ Лайз+ ... + Ьтйт, где й =, — произвольный йт вектор пространства К~, называется дифференциалом функции 1 з точке хс и обозначается дэ(хо), а матрица линейного отобрюкения Л: К~ ~ К называется производной функции 1 в точке хэ и обозначается г'(хо). Полагая в (1) х = хэ + кэе, получаем равенство ((хо + (х, — х,)е,) - у(хэ) = (Ьэ + а(х„ хэ))(к, — х,), нэ которого, в силу пункта 2.1, следует, что Еэ = ус-(хо). Следовательно, длл дифференциала ду(хо) получаем формулу дУ(~) = — (х,)й, ф — (х,)й, + ...
+ — (*,)й ду ду' ду дхэ дхз дхт или, если йэ = х, — х = дхэ, э йу(ко) = — (хо)бхз+ — (хо) Ыхз+ ... + — (хо)йх„„ дУ дУ дУ дхэ дх, дх,ч а для производной у'(хо) — равенство м( ) ~аУ( ) дг( ) дэ ( )) (г) где о(х„, хс) 0 при хэ. -~ к,. э 2.2.
Дифференцируемые функции. Определение. Функция )': Р К, Р С К~, называется дифференцнруемой е еочке хэ б Р, если полное приращение функции г е этой точке монна представить в виде Х(х) — э (хо) = Ь(х — хэ) + а(х, хэ)~!х — хэ~(, (1) где Ь[х — хз) = Ез(хс — хасэ) + Хз(хз — кээ) + ... + Ьы(э — кэ ) — линейное отобрансние пространства К~ е К, а а(х, хэ) -~ б ври х хс. г 2. частные кроиаводиые и дкфферекциалы функции векторкото артумекта 12б Теорема (достаточное условие дифференцируемости). Если функция 1 имеет в окрестности точки хо частные производные -г-(х), у = 1, гп, непрерывные в точке хо, о г то она дифферснцируема в этой точке.
Если функция 1 дифференцнруемая в каждой точке области Р, то она называется диффсренцаруемой в области Р. 2.3. Частнъте ироизводные сложной функции. Если функция 1: Р -» М, Р С М~, дифференцируема в точке х б Р, а функции р,: С Р, С С М", г' = 1, т, имеют частные производные в точке С б 0 и х = (хг(1), ггг(1), ..., т (1)), то д(1 о р) д1 дзч дгг дх, д1а (1) т ~ — (Х) — '(т), й т1, П, ут (С,, Сг,..., 1„). 1 2лд Дифференцируемые отображения. Определение. Отобрагсвнис 1: Р М", Р С М, называется диффсренциругммм в точке хо б Р, если ариращенис 1(х)-1(хо) отображения 1 в точке хо представимо в виде 1(х) — 1(хо) т А(х — хо) + о(х, хо)Цх — хоЦ, где Агг Агг .. Аг хг — х о Аю Аы ... Ага хг -хг А(х - хо) = о А»г Аг .. А» хт — х», — линейное отображение пространстваМ в пространствоМ", а о(х, хо) 0 при х хв.
Если отображение 1 днфференцнруемо в точке хо, то Ач = в ' (хо) и оп 'г Вгг д1 д1 д1 дхг дхг ' " дхт называется производной отображения 1в точке хо и обозначаетса 1(хо). Если отображение 1: Р М", Р С М, днффереицируемо в точке х б Р, а отображение д: Р Р, С С М, дифференцнруемов точке 1б С и х = д(1), то (1о д)'(Ф) = 1(х) д'(1) нли в матричной форме д1„д1. д1.
ду„ду ду„ дх, д, "' дх дт, ас, "' а~„ д(1„ о д) д(1» о у) д(1» о у) И, дт, '" дта 2.б. Частные вроввводвые к дифференциалы выствк кормиков. Пуст Функивя 1; Р -» М, Р С Мт, имеет частные производные в некоторой окрестности д(хо, у). д(1г о д) дт, д(1г о д) дз, д1г д1г дЬ дхг дхг дхн д1г дЬ д1г дхг дхг ' ' дх, д(1г о д) д(1 о д) д1г д1г дтг дта д(1г о д) д(1г о д) дт, "' дт дхг дхг дЬ д1г дхг дхг д1'д дх дЬ дх, дуг дй ' дуг дсг дсг дга дуг дуг дсг "' дса 126 Гл.
2. Дифференциальное исчисление функции векторного аргумента Определение 1. Если функция х эуг-(х), х б Я(хг, 6), имеет в точке хг частную производную по переменной х„то се называют частной производной второго порядка или второй частной производной и обозначают — (хг) или Х,т(хс) дз у' г дх;дх, При этом, если э' ф э', то частнгэ производная называется смешанной. Аналогично определяются производные порядка выше второго. Определение 2. Функция у' называется и раз диф4сренцаругмой в точке хо б Р, голи она имеет в некоторой окргстности этой точки всг частные производные (и — 1)-го порядка, каждая иэ которых является диф4сргнцируемой 4ункцигй в точке хг.
Теорема. Если функциг у" дваждзг ди4фгргнцирусма в точке хг, то в этой точке выполняюгася равенства — (хг) = — (хэ), э, 1 = 1, д'у да у (1) дх,дх„ дхрдх, Из этой теоремы получаем следующее утверждение; смсшанная производная и — го порядка д" э тд ьз д, аз+па+ ... +и х, ь, ... ь,' ч 'з нг зависит от порядка, е котором производилось диффсргнцированиг.
Определеине 3, Дифференциалом второго порядка (или вторым диффсрснциолом) а~!' дважды диффсренцирусмой функции / называется ди4фгренцивл от функции х ь а((х), т. г. бзУ'та(аг). Аналогично определюотся дифференциалы более высокого порядка. Дифференциал и-го порядка и раз днфференцируемой функции у вычисляется по формуле l д д д й") = ( — й, + — йз+ ... + — 1 '! у (2) (,дхз дхз ' дх 2.6. Производная по направлению. Градиент. пусть фунхцнв (х, у, з) э-~ У(х, у, э) днфференцнруена в области Р с к~ н (хг, 1и, зг) б Р. Если направление ! задается направляющими косинусами (сога, сов д, сов т), то дроиэ. водная по направлению ! вычисляется по формуле д,У д,( д1 д,( — т — сов а + — сог д + — сов т, д! дх ду дз Определение. Градиентом функции у' е точке (хг, уг, зо) называется вектор, обозначагмый символом йгай У' и имеющий координаты, соответственно ровные производным —, —, вычисленным в точке (хг, уг, го).
ез вэ ог Таким образом, йгайУ = — г+ — у+ — й, дз, д2 . дз' дх ду дз причем в этом случае можем записать, что —, = (а, йгай У), где а = (сова, сов д, сог 1). вг Градиент функции э в точке (хо, уг, зг) характеризует направление и величину максимального роста этой функции в точке (хо, уо, яз). Следовательно, (Я) =)!. йл~= Вектор йгаг) У в данной точке (хо уо, хо) ортпгонален к той поверхности уровня функции ,1, которая проходит череа тачку (хо, уо, зо). ЗО.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
