Anti-Demidovich (Lyashko I.I., i dr.). Tom 2. Ryady. Funkcii vektornogo argumenta (2001)(ru)(T)(223s) (940507), страница 19
Текст из файла (страница 19)
С отой целью представим общий член ряда в виде а„—— ( и! (и+ 1)! и Е 11 ') (1), х — 1 ( (1+ х)(2+ х) ... (и — 1+ х) (1+ х)(2+ х) ... (и+ х) н вычислим частичную сумму Я„(х) рассматриваемого ряда: 3! 4! + х ~ 1 х ~ | 1 ~ х С | ~ ~ ~ ~ ~ С ~ ~ ~ ) (1+х)(2+я) (1+я)(2+х)(3+х)/ + 4 и! (и + 1)! (1+х)(2+х) ... (и — 1+х) (1+а)(2+х) ... (в+х) 1 (и+ 1)! 1 (в+ 1)а„ г — 1 (х — 1)(1 + х)(2 + х) ... (и + х) х — 1 х — 1 а1 аг аг 249. — + + ...
прм условии, что х > О, а > 0 и ряд у аг + х аг + х аз + х а =1 расходящийся. ч Представляя общий член 3„(х) ряда в виде 6„(х)— агаг ... а (аг + х)(аз + х) ...(а,41 + х) 1( агаг ...а„ агат , а„+1 х 1,(аг + х)(аз + х) ... (аи + х) (аг + х) ... (а +1+ х)/ находим частичную сумму о' (х) данного ряда: аг 1 (( агат агагаз 5 (х)= — + — ( + аг + х х ) 1 аг + х (аг + х)(аз + х) / + агат аз агагазаг (аг + х)(аз + х) (аг + х)(аз + х)(аз + х) +" + агагаз ...
а агаг ... а„+1 ... -,„,, -;...))= а1аг ... аи41 (аг + х)(аз + х) ., (а„+1 + х) / ' аг 1 агат — + аг+х х аг+х Так каК Поскольку ряд сходится, а члены ряда положительны м монотонно убывают, то, в силу примера 13, справедливо соотношение йш (и + 1)аи = О. Прмаимая его во внимание, получаем 5(х) = йп о (х) = †, х > 1, в 1 и х — 1 Ом 1 ( 1 азаг . ° ° аз+1 (аг+х)(аз+ х) ... (аз+1+я) (1 з '1 1+ 1+а~ з г Гл. 1. Ряды и ряд с положительными членами может расходиться только к бесконечности, то бш агат ... а т! — О. (от+ х)(аз + х)... (аее! + х) Следовательно, я(х) = йп яе(х) = еа.
П 250. — + — + — +,... 1 †1 — х' 1 вЂ Ч Представляя частичную сумму ряда в виде ( ! 1 х + + + + "+ г 1 — х! 1 — ха ' " 1 хг 1 ~ хг" ! ' получаем 1/ х' 1 ~.(*) = — ~ — + ~.(х) — —.. — —.) 1-х "' 1+ха" 1' откуда 2" 1 !+1 Если же (х( > 1, то Иш Я„(х) = — ',. !-» 1 1 Я (х) = — — —. ! Погтому, если (х! < 1, то Бш Я„(х) = —, и Следовательно, сумма ряда если Я(х) = ю — если ф< 1, (х1 >1. м 251. 7' (1 — х")(1 — а"еы =1 м Рассматривая частичную сумму о'„(х) ряда х о (х)= — — + (1- х)' (,1+ х (1+ х)(*'+ х+1) + хг «-! + (хг + х + 1)(хг + хг + х + 1) (1 + х + ... + х" ') (1 + х + ... + х") +...+ и замечая, что 1р х 1 ... ~ х"-г (1 р х р хг р .р о-!)(1.р х .р .р х ) 1 р .р .р о 1 р х р р хе-!' о б )Ч '! (1), получаем хг 1+х+...+х х 5„(х)— (1 х)2 1.ь х .~, ~ х» (1 х)г 1 х +1' Отсюда следует, что если (х( < 1, то 5(х) = йш я„(х) = ( у-,т.
Если же ~х( > 1, то я е о(х) = 1пп 8е(х) = дфоп, где 5(х) — сумма ряда. М т 7, Суммирование радов. Вычисление определепиыл интегралов с помощью рпдов107 С помощью разложения подыитегральной функции в ряд вычислить следующие интегралы: о 4 При )х) < 1 справедливо разложение — т-ч (-1)" (2п — 1)!!х~"т' ) ~ (гп) й(йп+ 1) »=! (см. пример 108). Разделив почлеино зтот ряд на х, х ~ О, и проинтегрировав его в пределах от 0 до 1, получим ! (з (х+ 'Т+ х ) ~"- (-1)" (2 — 1)й! (2п)!!(2п+ 1)! о «=! 253.
~х" '1п(1 — хг)йх,р>О,О>0. о < Данный интеграл, вообще говори, является несобственным, позтому ! г- ! хг '1п(\ — х')йх= 1)гп ! х" '1о(1 — х!)!1х. ьз з ! 'гз с! ! Поскольку прн 0 < х < 1 справедливо разложение 1п(1 — х!) = — т~ ~, то =! з~ ~" — (1 — сз)з"+г п(оп+ р) 2~-~~ п(до+ р) '! (1 „)! ьг о(дп + р) — (1 — сз)" ~ Замечал, что оба степенных ряда сладятся при с! и г! = О, на основании теоремы Абеля, имеем х" '1п(1-х!)Их = йп сз! 'у ' — йп (1-сз)'~ (с!) ((1 — хз) ) т 1 ьо ! п(оп + р) „ ао п(он + р) 2 ' п(тн + р)' а о ч С помощью однократного применения метода интегрирования по частям приводим данный интеграл к виду ! ! ! ! !" 1лхох 1пх 1в(1 — х)!(х ж — ~1п(1 — х) !(х — ~ 1вх!(х+ 1 —.
з а о з ! /' )л (х + зг'1 + х~) х ! 254. /1пх 1л(1 — х)(х. ! ' г! = г! ~-~ п(оп+ =! Гл, 1. Ряды Считая, что О < хэ < х < 1 — зэ, записмваем соответствующие разложения в степенные ряды: х» !в(1 — х) ю — ~ —, ) хш-~ —, (1 — х)" )в(! — х) (1 — х)» ' з 1 — х и «»1 Поскольку 1- э 1пх !п(1 — х)Нх= Бш ! !лх !л(1 — х)Нх, эо У э э-+э,, то из (1) почленным интегрированием степенпыт рядов, на основании теоремы Абеля, полу- чаем 1 (1 — еэ) "1 — х "~ (~: -" ы-!О (»(в+1) О СО 1 т э«« ВЬВ.
~,*" . э и Полагая ! = е а™, получаем один из интегралов, вычисленных нами в предыдущем примере: Поэтому имеем хая 1 зэ * — 1 24 э 256. Разложить по целым положительным степеням модулк х, О < <!э < 1, полный эллиптическим интеграл первого рода э Р(й) = ,4:»»т; э П Поскольку хэ з!пэ х < йэ < 1, го возможно разложение (см. формулу !'т', !5): (2п 1)" э» 2 (1) йэ; э„, (2»)!! 0 В силу оценки йэ"ь%!)-'-'ипэ»!з < (зЯ"„лхэ» < йэ» и сходимости ряда ~ йэ", ряд (1) схо-' » 1 дится равномерно (по признаку Вейерштрасса) по !з. Кроме того, члены ряда (1) явлшотся непрерывными функциями, поэтому, по одному из свойств функциоиальиыт рядов, рассматриваемый функциональный ряд молсио почлеиио интегрировать. Имеем 0 э г(») +~ » -й»» х (2з — 1)!' г» ~ .
э» 2 (2х)!1,/ » э о "9 Т. Суммироваиие рядов. Вычислевие определеииык витетралов с помощьш рядов 109 зп «12п-12! Отсюда, пользуясь равенством ( ип роо2 = — — „', окоичательио иаходим 2 (2«) ! о 1+~ и РВ )" й2« Доказать равенства: 1 257. ~ — *ж~~ л Поскольку 1 1 2~ е-«1*1 1(х, о о где 21пх, если 0(х (1, О, ы 2=0, та 1 1 Л вЂ” = / ~ —,(р(х))" Ых = ~> —, / рп(х) Ых, йя (" (-цп „" (-цп Г „ о откуда, иа основании примера 190, г), получаем нужную формулу.
В 258. 2« ппэ « — если пай, е соз(зшх)соопхях = 1 211, если п = О. о < разлагая функцию х1 е"'*сов(ошх) в ряп, находим /" о" соз(ошх) = Ве(о*) = Ке ~ ~~ опо О«О где х = со* =созх+оыпх. Полученный ряд, в силу признака Вейерштрасса, сходится равномерно иа всей числовой прямой и функции х 1 сов йх непрерывны, поэтому ряд можно почлеипо интегрировать вместе с функцией х 1-~ соз вх. Имеем Вычислить иитегралы 259.
хмп х 1 — 2а соз х + ез о 2« «пв« ч 1 е соз(вшх)созвхлх = ьу 2 91 о Опо 2« е ' сов(илх) лх = о сов йх соз пх Лх = —, если в В ГО, и о1 а 2 Е .~' — 1 соз йх ох = 2т. > й1/ о Гл. 1. Ряды М Пусть [а[ < 1. Пользуясь примером 104, находим « « 1= ™~ !)х=з~~~[ а" 'хз)ппх!)х. 1 — 2асозх+ аз о о 1 Поскольку фуккции х ! хмпвх непрерывны на [О, х[ и функциональный ряд справа, в силу мажорантного признака Вейерштрасса, равномерно сходится (здесь [а" 'хз1п ох[ < т[а[" и ряд 2,' [а[" сходится), то рассматриваемый ряд можно почвенно интегрировать. «=1 Имеем (-1)" » 1 )[ -„)а(1+ а), если а ф О, если а = О. =1 Пусть ~а[ > 1. Тогда, преобразовывая подынтегральную функцию к виду хмпх аг(а 2 — 2а 'созх+!) и пояьзуась полученным выше результатом, можем записать )а[ > 1.
Пусть а = 1. Тогда исходный интеграл имеет вид Функция 1, если ! — если О, есяи гжб, 0<2< -", 2' 1)»+1 1[,»1 ах У ' = х)а2. и »1 Пусть а = -1. Тогда интеграл расходится, так как ххб — — при х х. «2 г Таким образом, окончательно получаем -„'1п(1+а), если -1< а < О, ияи 0 < а <1, х ж если а=О, -1и (1+ -'), если [а[> 1. м 260. ~)п(1 — 2асозх+ аз)!)х. о непрерывна иа отрезке [О, Я. Следовательно, она иитегрируема, т.е. последний интеграл имеет смысл. 1! +1 Кроме того, ряд 2,' "=-" — в силу признака Лейбница, сходится. Поэтому цо теореме « »=! Абеля Гл.
1. Ряды 112 Вычисляя обратные матрицы и подставляя ик значение в равенство (1), получаем зе /1 !зг 262. 5 = ~(и+ 1)А", где А = ~ ', =о з з < Паскалеву I 5=~(и+1)А = ~А =И! 4) ) =О =з то Упражнения длк самостоятельной работы Кайти суммы следующих радов: и 1 =2 =2 ьз ОО 136. ~ "— „. 137.
2,' изе""*, х > 0. 133. и ! и=! е ! 1 -з1 С помощью разложения подьзнтеграпьной функции в ряд вычислить следующие интегралы (в примерах 145 — 148 А — постоянная матраца) ! ! з 142. ( ег!(х)!!х, где ег!(х) =.з ) е"' !!! — интеграл вероятностей. о а ! 143. ! и (х) 0х, где е! (х) = — ) — "; ' !!à — интегральный синус. о з ! 144. ! мп(зцгх) ох. 145. ( е"* !(х, А ж-А. о а 146. / з!в(А;/х) Ых, А ж А. 147.
) соз(Ат/х)!(х, А =1. з з ! 143.) х!в(1+ Ах)!!х, А = о совр — зщ зз Глава 2 Дифференциальное исчисление функций векторного аргумента ~1. Предел функции. Непрерывность 1.1. Предел функции. Пусть чксловая функция у определена а области Е1(хо), где Е С П, а ха = (хо, хзо, ..., хз ) — внутренняя кли предельная точка области Е. Определение 1 (Гейне). Фумкция у имеет предел (предельмое змачемие) мри х -~ хо (в точке хо), если существует число А б П такое, что для мроизвольмой моследовательмосгяи (х„) значений х б Е'1(хе), сходящейся к точке хо, соответствующая моследовательмость (у(хь)) значений функции у сходится к А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
