Anti-Demidovich (Lyashko I.I., i dr.). Tom 2. Ryady. Funkcii vektornogo argumenta (2001)(ru)(T)(223s) (940507), страница 14
Текст из файла (страница 14)
-п-о « ««о ч В силу условкя 2), имеем «« и «Э Вщ ~~~ е«з« =" о„Л" + Йп „"~ е«з« = Л, п«о иег откуда Я вЂ” ~ е«Л" = он, Гл. 1. Ряды где оп= йш 7 а х". в и-О «»в О1 н Поскольку далее а > О, то он > О. Поэтому из (1) сяедует, что О < ~ О„М" ( 5. О Посаеднее означает, что посяедоватевьность ) а Я" ограничена.
Но так как она еще и 1,» О монотонна, то, в силу известной теоремы, сходится, т.е. сходится чксяовой ряд ~ а»й". А «О тогда, по теореме Абеля, будем иметь СО С» Бш ~ ах =) а»Я. О-Н-О в О Отсюда, приняв во внимание условие 2), найдем а Я"=Я.м «»О Разложить в степенной ряд функции; 183. У: х . 1 ~ 1!. / О и Разлагал функцию ! ! ~— ,, г р О, в степенной ряд —, = ) ((тз-„)+11,, )г! > О, и »=О интегрируя последний, докучаем в О 1 Ошг г«21 й*) = ~' — й! = ~(-1)" У 1 (2п+1К2«+1)1' , )х(<оо.и О 184. у: х 1в(1+ !) О М Коэффициенты а„степенного рада подынтеграяьной функции найдем из тождества 1 ы ~ =, ~ а„г, которое дает систему алгебраических уравнений относительно аь: в О ве ч.
ОО(-1)ьь1 ОО = 1, в — х + 1 в + 1 О»1 Из втой системы уравнений посяедоватедьно получаем О1 = -, аз = --, аз = †, и т. д. 1 1 1 2' 12' 21 Таким образом, имеем в 00 »1 2 3 О ! (Х) = / — ж ~а„— ю х+ — — — + — + / 1в(1+!) а+1 4 Зб 96 О «1 Поскольку функция р ! т в», 1,, 12(0) ю 1, Оиаяиткчиа всюду за исключением точки м1ьь11 ° » ! = -1, то радиус сходимости ряда ~ а„1" равен единице.
Саедоватеяьио, такой !ке раянус в О сходимости имеет и полученное после интегрирования разяожеиие. И 1 5. Степенные ряды Примепал почленное дмфференцирование, вычислить суммы следующих рядов: 3 ь 188. х — — + — — .... 3 5 М Данный рлд, согласно формуле Кошм — Адамара, имеет радиус сходимости, равный единице. Согласно п.5.5, степенной ряд моясно почвенно дифференцкровать внутри интервала сходимости, Имеем 1 — х + х~ — ...
ю —,, ]х] < 1. Отсюда интегрированием получаем 14«« ' «« х — — + — — ... = агстб х + С. Полагал здесь х ««О, находим, что постоянная С = О. з з Окончательно имеем х х' х — — + — — ... = агстзх. 3 5 Заметим, что в концевых точках интервала сходимости этот рлд сходитсз. Поэтому, согласно теореме Абеля, сумма ряда есть непрерывная функция на отрезке [-1, 1].
Поскольку функция х «агстз х также непрерывна на этом отрезке, то последнее равенство справедливо при всех х б [-1, 1]. Ь г Ф 186. 1+ — + — + .... 2! 4! М Очевидно, этот ряд сходитсв на всей числовой прямом. Обозначая через о(х) сумму данного рада, пачленным дифференцированием ега получаем уравнения Я(х) + Я (х) = е*, а(х) — а'(х) = е Отсюда Я(х) = -(е*+ е *) = сЬ х, ]х] < са. М 2 187, — + — + — + х хг хз 122334 ° Дифференцируя почленно рлд внутри интервала сходимости, получаем+-'+ — '+...
ю а(х), ~х( < 1. Умножая обе части этого равенства на хг, х 14 О, и пользуясь формулой М, п.5.4, находим Я(х) = --— 1 )л(1 — х) (1) х хг При х = 0 полагаем 5(0) = — (х = 0 — устранимал точка разрыва функции Я). Интегрируя (1), имеем а(х) йх = — 1в(1 — х) + С. (2) Так как Иш Ы+ — *+ — *+,, ю О, то кз (2) находим С = — йш 1в(1 — х) = 1. э 1гг гз зч Следовательно, х хг хг [ 1 + ~ « )л(1 — х), если х ф О, — + — + — +" « 122334[0, если х = О.
(3) При ]х( < 1 это равенство гарантировано теоремами о возможности почленного дифферен- цирования и интегрирования степенного ряда внутри интервала сходимости. Покажем, что и в концевых точках интервала х = ш1 это равенство кри некотором условии справедлива. Действительно, поскольку рассматриваемый степенной ряд в точках х = ж1 сходится, то, на основании теоремы Абеля, сто сумма является непрерывной функцией на отрезке [ — 1, 1]. Если значение функции в равенстве (3) справа в точке х ю 1 положить равным единице, то, как легко видеть, эта функция на сегменте [-1, 1] также будет непрерывной. Поэтому окончательно можем запмсать г э [ 1 + †,« )н(1 - х), если — 1 ч х < О, О < х < 1, — + — *+ — *+...=~ о 2 З З ° 4 если х=О, 1, еслм в=1.
М Гл. 1. Ряды 188.1+ — + — х + — х +.... х 1 ° 3 з 1 З.З з 2 2 4 2 4 б ц Нетрудно проверить, что радиус сходимости рида Я = 1. Умножая производную тай»з» з 5 (х) ж - + — 2х + —,Зх + ..., [х] < 1, суммы данного ряда на 1 — х, х ~ 1, получаем уравнение (1 — х)5'(х) = -'5(х). Общее решение етого уравнения есть 5(х) ж -(с, С = солят. Полагал здесь х = О н учитывал, что 5(О) = 1, находим С = 1. Следовательно, 5(х) ж ««2», ]х] < 1. Сходимость рассматриваемого ряда в концевой точке х = -1 легко установить, если воспользоватьсл примером 70; расходимосгь ряда в точке х = 1 следует из признала Гаусса.
Таким образом, сумма ряда, по теореме Абеля, есть непрерывная функция на [-1, Ц. Поскольку фунхцил х » «7 также непрерывнана [-1, 1], то окончательно имеем 1 х13»133»1 1+ — 4 — х + — х + ... = при — 1 < х < 1. В 2 24 24б ~/1 — х Применяя почленное интегрирование, вычислить суммы рядов: 189. х -4*'+ Ох' -1бх'+ .... ц Общий член етого ряда имеет внд а (х) = (-1)" 'взх". По»тому легко можно найти, что радиус сходимости ряда Я = 1. Разделив на х, * ф О, сумму 5(х) данного рада, а затем почленно его интегрируя в интервале ] — 1, 1[, получаем — »(хжх — 2х +Зх — 4х +...+С= 5(х) з з =(х -х +х — ...)' — х+х — х + ... +С= з» з х (1+ х)з +С. Дифференцируя полученное равенство, находим 5(х) = -*~ф, [х] < 1, х ~ О.
Нетрудно видеть, что ограничение х 7«О здесь можно снять. В 190. 1 ° 2х+ 2 Зх +3 4х + .... М Общий член ряда имеет вид а„(х) = в(в+ 1)х", поэтому 1 Я= = 1. йш ~/и(в+ 1) Таким образом, степенной рлд сходится к своей сумме при [х[ < 1. Почленно интегрируя рассматриваемый рлд в интервале ] — 1, 1[ дважды, получаем — ~ 5(х)йх =х+х +х + ... — — +С» = — — — +Сз, 4х / ) ~ 3 3 С! х С1 (1) .з [,/ / х 1 — х х где С», Сз — постоянные интегрироваши, х ф О. Дифференцируя равенство (1) дважды и учитывая, что 5(0) = О, окончательно находим 5(х) = —,'* „[х] <1.
В Пользуясь соответствующими разложениями, вычислить с указанной степенью точности следующие значение функций: 191. зш 13' с точностью до 10" . ц Пользуясь разложением функции синус в степенной ряд,молим написать ( ц«-1 з«-1 зш 13' = аш 10 х-«(2в — 1)! 10з" п 1 Так зах зтот рлд лейбмицева типа, то остаток ряда не превышает по абсолютной величине » е «» первого нз отброшеюцях членов. Платону, зах следует ив неравенств й»р < РЗ < а»»р» й 5.
Степенные ряды двя получения результата с требуемой точностью достаточно взять три члена разложения. Имеем Х Х К Х Х 3 3' Б мп — ж — — — + — = — 1 — — + — 10" = 0,309017 .... > 10 10 31103 5!103 1О ~ 600 12 192. 359' с точностью до 10 '.
ч В силу оценки Яз = 1 ( — ) < 0,0005 (у(х) = збх), дяя получения приближенного значение 36 — с указанной точностью достаточно взять два члена разложения функции 23 тангенса в степенной ряд. Имеем 3' 1Г т 1Г х 389' =38 — - — + — = — ~1+ — ~ =0,158 .... М 20 20 3,20з 20 (3 1200) 1 -1 193. Исходя из равенства — = атома —, найти чисяо х с точностью до 10 6 2' и Пользуемся разяоженнем функции х Г-» агсзьзх в степенной ряд (см. пример 167). Имеем 1 1 ч-3 (2н — 1)!! 2 2 с-» 2з»1в1(2п+1)' =1 Поскольку для остатка данного ряда справедлива оценка (23 — 1)!! (2в + 1)!! 22»+111(21+ Ц 3 2з +2(в+1)!(2в+3) » э»1 и неравенство 62,„, " >",,2 1 < 10 выполняется прн н 3~ 4, то для получения приближенного значения числа » с требуемой точностью достаточно взять пять членов указанного разложения: х 1 1 3 5 35 — + — + — + — + = 0,52359 ..., 6 2 48 1280 14336 72 .
8192 откуда 11 = 3,1415 .... > 1 1 194. Пользуясь формуяой 1и(о+1) =)пи+2 ( — + ! 2в+1 3(2н+1)2 + ..., найти 1п2 и (в 3 с точностью до 10 и Покажем сначала, как получена эта формула. Разлагая функции х ! 1в(1+ х) н х Г 1в —, в степенные ряды по степеням х, затем складывая ня в общей области сяодимостн 1 (х~ < 1, находим 1+ )' З 1 1в — =2 х+ — + — + ... 1 — х (, 3 5 Полагал здесь х = —, получаем указанную формуяу.
1 2341 ' Найдем теперь соответствующие чисва й членов ряда (1) дяя вычисления ириближеннык значений )и 2 и )в 3. С этой целью оценим остаток Я» этого ряда.. Имеем )Г ы»1 ы»з 3, 2 ыз! 1»2Й+1 25+3 '' / ~ (25+1)(1 — 32)' Отсюда следует, что если х = — (в = 1), то Н» < 10 3, начиная с й = 5, а если х = — (н = 2), то 71» < 10 3, начиная с й = 3. Таким образом, /1 1 1 1 1 1в 2 вГ 2 13- + — + — + — + — = 0,69314 ..., 13 81 1215 15309 177147) )в 3 33 0,69314 + 2 ~- + — + †) ж 1,09860 .... М /1 1 1 15 375 15625 Гя. 1. Ряды 76 195.
С помощью разяоженкй подынтегральных функций в ряды вычислить с точностью до 0,001 следующие интегралы: ! О Оа» 1 а) (е Йх; б) /О*их; в) / —; г) /х Нх. / 1+хэ ц а) Пользуясь разложением 1, п.3.4, находим О =~ —,х, (х(<оэ, -»э ( 1) 2 » О откуда 1 ~-~ и!(2и+1) О »=О Полученный ряд лейбницева типа, поэтому ески дяя нахождениа прибаиженного значения данного интеграла взять й членов ряда, то погрешность не превзойдет (х + 1)-га члена ряда. Из этого усяовия находим нужное чисао М.
Имеем О 1,< < 0,001, откуда 1 > 4. 1ООО1 ОООО~ Следовательно, 1 1 1 1 1 О йх 1 — — + — — — + — = 0,747 3 10 42 216 О б) Пользуясь формулой 1, п.6.4, и разаагая лодынтегральную функцию по степеням —, 1 1» получаем О = г —,„, (х( > О. Интегрируя этот ряд лочленно, имеем ° =О ) 11 1 О» Ых ю 2 + 1а 2+ ~ ~1 — — ) 2иу и(и+ 1)!2" 2 =1 Ограничиваясь Й членами ряда, находим О О Е~ ) 11 1 е* Ых 2+1а2+ ау ~1 — — ) 2») и(и+ 1)12»' 2 1 Из оценки остатка ряда Е 1 ( 1~ ( 1 (1- 1< 1+ + + ...
< и(и+ 1)!2" 1 2") (и+ 1)!2»О'(а+1) 1 2(и+ 2) 22(и+ 2)(и+3) / »=ь41 1 / 1 < ~1+ — + — + ... < О,ОО1 ( +Ц.г»О ( +1) ~ ги+4 (ге+4)2 сяедует, что для пояучения результата с указанной точностью нужно взять Й > 3. Таким образом, О э йх щ 2+ О 6031+ -+ — + — = 2 834 ., 1 1 7 8 64 6608 (иян 2,838 с иабыгком). Гк. 1. Ряды М Двина э указанной дуги выражается интегралом Б=) ф+соБэхох. о Преобразовывая подынтегральную функцию к виду 1 11 1 4 соэ х ю 1)( — ( 1 + — соэ Зх) '9(г (, 3 и замечая, что э(сох 2х( < —, разлагаем ее в степенной ряд по стереням -соэ Зх, используя ! 1 1 формулу 1Ъ', п.б,41 '1! г ( Х (Зэ)!(3- п=1 Интегрируя этот ряд почвенно, получаем г/ ,/1 4соээхо(хм ~ х+ ~~,~~( 1)" о »п1 (г) (3) гне 1 = 1~ соэ" Зх Ых.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
