Anti-Demidovich (Lyashko I.I., i dr.). Tom 2. Ryady. Funkcii vektornogo argumenta (2001)(ru)(T)(223s) (940507), страница 13
Текст из файла (страница 13)
«из п«О п«О по По формуле Кошм — Адамара находим радиус и интервал сяодимостн этого ряда: — '= Ш ОГЬ«пЦ1=! я-!, ! ! ! ° )С и ю 164. * 1 — 2хсоза+ ха' м Полагая зш а = — *,, сова = — *,, где х = ОО, и разлагая данную дробь на простекшие, получаем хзша 1 ( 1 1 1 — 2х сов а+ хэ Б ~1 — хх 1 — ~У) Применяя к правой части этого соотношения разложение 1Ч, п.5.4, можем написать пп Пп 1 — 2хсоза+ха 2! — Хи(хи — уи) = ~! Х«ЗШ ва.
и О О Гл. 1. Ряды бб Очевидно, полученным ряд сходится абсолкнно при ) х) < 1. > 165. х йс(1+ х+ х'+ х'), и Преобразовывал дакную функцию к вику 1 (1+ + э+хз) 1 (1+ )+1 (1+ з) > н исвользул разложение У, п.бА, получаем 1(1+*+*'+*')=~(-1)" — *+~ (-Цл-' — *, -1<*<1. я е л 1 л 1 Складывал полученные ряды в абщеи области их сходимости, окончательно имеем 1п(1 + х + х + х ) = ~~! — ((-1)" ' + 2зш(я — 1)-11 х", - 1 < х < 1.
к ~ 2/ л«1 Нетрудно видеть, что прк (х! < 1 этот ряд сходнтсх абсолютно, а в точке х = 1 сходится лишь условно (по признаку Дирнхле). > 166. Х Л«О«еж СОЗ(ХЭШО). М Рассматривая данную функцию кис ке(е'"' О" н'") = ке(е*' ) и применяя разложение 1, п.бА, можем написать е "' соэ(хило) = Ке~ ««О Поскольку 2,' 1 ††""з < 2 )«(,- к второй степенной ряд в этом неравенстве сходится при л«О л О всех х б)оо, +оо(, то полученное разложение справедливо прм )х) < оо. В Разлолсить в степенной ряд следующие функции: 167.
! . "х л«атсзш х, М С помощью формулы 1Ч, п.б.4, имеем ~с( ) (1 з) ~ ! ( 1)( 3) '''( 3 ) зл 1+~(» )" зл ««О «1 Интегрируя этот ряд почвенно (что возможно внутри интервала сходимости), находим (2в — 1)П хзл+' у(х) = С+э+ ~ — „, «1 Так как у(0) = О, то С = О. Следовательно, ОО (2в — 1)П атсмлх=х+~ ' х, (х!<1.
2" в!(2в + 1) л«1 Для исследования сходкмостн ряда в концевых точках применяем признак Раабе. Имеем 1' 4в + 10в+б ), без+ Ьв 3 л с«\~ 4вз+4п+1 / л с«4кз+4в+1 2 поэтому црн х = ж1 рлд сходится абсолютно. Таким образом, полученное рааложение, в силу теоремм Абеля, справедливо при ~х~ < 1, т.е. во всей области существования атома х. !л 168. у:х ь(.+ф+.О) 15. Степенные Ряды 47 1 м Раэлагая производную данной функцпн у'(х) = (1+х ) 2 прн (х! < 1 в степенной ряд !2п — 1)!! =1 пнтегрнрованнем последнего получаем „(2п — 1)!!22"41 у(х) = х+ ~(-1)" и + С, !х! ( 1.
«1 Посколысу у(О) ю О, то С = О Как н в предыдущем примере, находим, что полученное разложение сходятся абсолютно прк !х! < 1, к в концевых точках сумма ряда равна, по теореме Абеля, значению функции ! в этих точках. Текли образом, написанное разложение справедливо прн !х! ( 1. М 2 — 2х 169. 11х! ысоб— 1+4х М Представляя функцню у в виде 2 — 2х у ! х ! ысоб — = ысгб 2 — агсгб 2х — то(х), 1+ 42 где О, если х> — -, ! е(х) = 1 еслн х<--, н разлагая в ряд функцию х «ысоб2х с помощью почленного интегрирования ряда для ее производной, находим 2 — 2х 2«41 2«.1-1 ысоб — = ыс!22 — 1 ( — 1)" х " — эе(х).
1+4х 4-~ 2в+1 «=о Поскольку полученный ряд сходятся прк /х! ~ (- (абсолютная сходнмость его прн )х! < 1 1 2 устанавлнвается с помощью признака д'Аламбера, а в концевых точках — с помощью признака Лейбница), то в данном случае О, если -- < х ( —, о(х) = 1, еслн --. < х < --. Ь 170 У: х ~- ысгб —, !х! < Я 2х м Представляя производную функции у в виде 1 22 у'(х) = — + —, 1+1! 1+11' где О = -1., и пользуясь формулой Р11, п.5.4, находим ~'(*) = ~:(-1)"2'"+ ~:(-1)"2'"". -о о Очевидно, прн !1! < 1 оба ряда справа абсолютно сходатся, поэтому прн )2! < 1 нх можно сложнть.
Имеем «« 1«1 2! ,.(.) ц;-( 1)Н~~г" =~ (-цю1 *— ,„, !.! У2, 88 Г . 1. Ряды откуда интегрированием получаем Сэ! хз"+1 У(х) = ~ ( — 1)1э1, (~) < эГ2. э=е Поскольку интервал абсолютной сходимости ряда после интегрирования не меняется, то полученный рлд сходится абсолк!тно при (х) < э/2. В точках (х) = йэ/2 ряд сходит! сл, но только условно. Действительно, последовательность ( †,) ( О при в оо , а п СС1 (-1)Сэ! < 2; поэтому, согласно признаку Дирихле, ряд сходится. Абсолютная рас- а=о ходнмость ряда в этих точках следует из расходимостн гармонического ряда. Но так как функциа ) в то псах х = шэс2 не определена, то полученное разложение справедливо только при )х) < э/2. Этот пример показывает, что сумма ряда мажет существовать на множестве большем, чем то, на котором задана функция.
М 171. у ! х ь~ агссаа(1 — 2х ). ° Дифференцируя функцию у, получаем у'(х) =, О < /х! < 1. Л:хз' Пользуясь разложением 11!, п.5.4, находим !'! != (!!С. „" ~ !-, " (г -1)!1 э„) (2п)!1 =1 Интегрируя почленио полученный ряд, имеем (2в — 1)В ~х)тоэ' 7(х) = 2 )х)+ ~~! «=! Этот ряд, согласно пркзнаку Раабе,сходится абсолютко при ~х! < 1, т.е, ва всей области существования функции 1. > 172. Функцию у ! х ~ 1пх разложить в стеленной рлд по целым положительным х — 1 степеням дробк — . х+1 М Положив — ',' = С, получим у" (Я) м Г(С) ш 1в ',~,. Поскольку х > О, то ~ ~=,' ~ = Щ < 1 (заметим, что справедливо и обратное утверждение). Следовательно, использовав формулу Ч, п.б.4, можем написать 1+1 Сээ-! ' ! 1,г -! 1 — =1 (1+ С) -1 (1-С) ю2~ — =2~ 1! — *) . > 1 — С ~~ 2п — 1 !х 4 1,) 2и — 1' э=! э=! э 173. Пусть с(х) = ~ — *, .
Доказать непосредственно, что 7(х) у(у) = 7(х+ у). э Э 00 ! М ПеРемножаЯ РЯды 2 — „, и 2 дь;, полУчаем э е ь=о Л*иу) = ~ Ц: —,„*,",, в=э а!=э э Но так как (х+ у)" = ~ Сах" ауа, то ь=о э б. Степенные ряды что н требовалось доказать. Н 174. Пусп,,по определенмю, 2»й! ц» 2» ( — 1) ( о в 0 1 Доказать что ма хсозх = -зш2х. 2 < Записывая данные разложеннл в виде и! . ° в» и — ! э!и— зш х = ~ — х, сов х = 2 п а! и О н пользуясь правнвом умноження рядов Каши, имеем и савв 2 и п»О п, й» (пй]» "юЕ" .'" . й!(и — й)! й»о ИВХСОЭХ = ~~! С»Х (г) и О !ак вах пц — соэ = -мп — +(-1) -эш — н —, = 1,' —... г —,, = б, что й! !п-й! 1 ° п! Ой!1 ° п» 2» ! т ! — 1) 2 2 2 2 2 2 и.
й!!п-й)! Е» йй'1 -й]! й»о ' ' й»о вытекает нз элементарной формулы г" в!х» йуй (х+у) ю2 й](а й)] й о прн х = у = 1 н х = -у = 1 соответственно, то й! (у-й)» сп = .юЕ мл 2 саэ 2 2 . вг — Э1В а!(а — х)! и! 2 й»о А тогда, согласно (1) н (2), зшхсоэх = -~ 2 х» = — мв2х, 2 в. '2 » О что н требовалась доказать. м 175, Написать несколыю членов разложення в степенной ряд Функции '-ЖМ М Следует подобрать хоэффнцненты а» так, чтобы выполнялось тождества па х! » Ю а х»~ ~— ш1, и+1 » О» О а»х = )(х). »о Это дает бесконечную снстему уравненлй относнтельно а»; а»=1, а] —.=- —, пбу(, а — 1+1 н+1' 1»1 1 1 1 нзаоторой последовательно нэходнм а! = --,аэ = ††,аэ = — 2 Э' . Ш' 2»' Пронэводя соответствующие действня со степеннымм рвдамн, получнть разлад!ення в степенные рвлы следующих фунлцнйо 17ю У!Хв (1 — х)эс]йэ/х.
Гл. 1. Ряды 7О м Разлагая функцию х г-г сЬ |/х в ряд по степеням чох, получаем Очевидно, это разложение справедливо при всех х. > 177. У; х !п2(1 — х), и Возводя в квадрат ряд — 2,' †' = !в(1 — х)г получаем 1(х) = 1 с«хи+', где и«1 »1 1 2 7 1 1 11 '"ж2 = — ~1+-+-+ ... +-). (и+1 — й))г и+11 2 3 пу 1«1 Так как Иш ГУОи «ж 1, то разложение справедливо прн (х! < 1. > и и 178. у ! х г е*соах.
и Разлагая функцию у г х г е*!'т'! в степенной ряд и(Д)» '" Дх) = ~~у = лз — !1соз — +гмв — ~ и! и! ! 4 «О и О и замечая, что )(х) = Ке у(х), получаем )(х) = ~ — соз —. е-и (хтг'2)" вгг и! 4 и»О Поскольку ~ , соз — ~ < „1,В и ряд ~ ! 1,о сходится при (х! < оо, то полученное и О разложение возможно также при (х( < со.
> 179, ( (игггии) при я~О, 1 при х= О. М Принимая во внимание результат примера 1О7, находим (2 -1)ИХ" ) ( - (2 -1)П! 2« ) х-г (2а)И(2в+ 1) ~ ~ х-и (2п)И(2в+ 1) / где ' яо-гг-гд ггг-гггг!гггг1-' (2п — 2й)И (2п — 22+1)(22+1)' По индукции доказмваем, что 2п — 21 — 1)И(21 — 1)И 22«~~(п! ~ ~~ (2в — 21)И(21)И(2п — 21+ 1)(21 + 1) (2п + 2)! и п 1(х) = (1 — 2х + хо) ~ — = ) (2п)! (2в)! г» хи =1+-+~— 2 (2и)! 41 'и и+2 -2~,'* +~; * ж (2п)! (2в)! о о «О! «42 — 2х — 2~ — + ~~ (2в)! (2в)! и! «О 2 ~ ),(2п)! (2в — 2)! (2в — 4)! / и«2 з б.
Степенные ряды Поэтому (1) ««о Легко установить«что этот ряд сходится нри )з) < 1. Для выяснения вопроса а сходимостн ряда (1) в концевых точки з = ж1 воспользуемся признаком Раабе: Видим, что рлд (1) сходится абсолютно также и в концевых точках интервала сходимости (з) < 1. Следовательно, разложение (1), в силу непрерывности функции 1 на отрезке [-1, 1] и теоремы Абеля, справедливо на указанном отрезке. 180.
Пусть о = (1 — А) ' и Ьп А" = О, где А — квадратная матрица, 1 — единичная ««« матрица. Разложить матрицу а в матричный ряд по степеням А. ч По условию имеем (1 — А)В = 1, откуда Я=1Ч.АЯ Я=1+А(1+АЗ) =1+А+АзЯ Я 1+А+Аз+ +А«Я Поскольку Вш А" = О, то Ьп А"о ж О. Следовательно, З=~ Я".> «о 181. Пусть о = (21-ЗА+А ) ' к 1по А" = О, где А — квадратная матрица. Разложить ««о матрицу Л в матричный ряд па степеням А.
и Представим матрицу а' в виде о = ((21 — А)(1 — А)) ' = (1 — А) '(21 — А) ' = а(1 — А) '+й(21 — А) где а, б — некоторые числовые коэффициенты. Для нх определения умножим о' слева на 1 —. А, а справа — на 21 — А. В результате получим тождество 1 = о(21 — А) + б(1 — А), из которого находим о = 1, б = -1. Таким образом, 1/ А11 Я=(1-Я)-'--~'1--) г~ 21 Используя разложения из предыдущего примера, окончательно получаем я ~;яп '~-" ~ (1 ')яп «о ««о ««о 182. Доказать, что если: 1) о„> О; 2) существует Вщ 7 я«з« = о", то ~ ~е«Л« = о.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
