Anti-Demidovich (Lyashko I.I., i dr.). Tom 2. Ryady. Funkcii vektornogo argumenta (2001)(ru)(T)(223s) (940507), страница 33
Текст из файла (страница 33)
а, а, а = а а »З а,»а, а, / а Отсюда »в» е Ре -*в Таким образом, данное уравнение представимо в виде у 1 в» е» »е« - в е» 1 — — „' .-* в ха+у +ел дг дг 1 — =е, или — = —.и е — х де ' до 2 149. х — + у — = —, если и аи 2х — х и е ж —. з у дх ду г ч По правилу дифференцирования сзожиой функции, имеем д дг / дх 1 дг / у д 1 дг дг / дг '1 дх / 1 у дг '1 дх ди '1 дх/ дз '1 гз дх/ ' ду ди ~ ду/ де ~л гл ду/ и Имеем д. дг дО д.
до д. дг д. д. дб д. дл д. д. — = — — + — — = — + —, — = — — + — — = — — —. дх д( дх дл дх дб дл' ду дб ду дл ду д~ дл' Отсюда †' — — ьд 2 в = О. Тахим образом, решая ураннение — = О,находим г = р(О), илн е е е» в» е вг — ез Еа= г = р(х+ у), где За — пронзвотьная дифференцируемая функция. > дг дг 1 45. у в — х — ю О, если О ж х н О ж хз + ул.
дх ду е» е» е» е» е < Вычислял производные — »х — + — 2х, — = — ' . 2У, находим у — — х — щ у — = О. В =Ел ВЕ' Егхиее е* вл — е< Отсюда г = ае(О), или х = р(х + у ), где р — произвольная дифференцируемая функция. за дг с — — дг 146, х — + 1/1+ ул — = ху, если аж 1вх н е = 1н (у+ 1/1+ уз). д 1/ ду и По правилу дифференцирования сложной функции, имеем дг дг ди дг дз дг 1 дг дг ди дг де дг 1 — = — — + — — = — — — = — — + — — =— х ~ О. дх ди дх де дх ди х' ду ди ду де ду де /1 + ул' Используя зги равенства и то, что х = е, у = з)ае,нз условия получаем †„ + — * = е зд е.
и В* В* дг 147. (х + у) — — (х — у) — ю О, если и = 1в;/ххз з+ ул н е = агсзб —. дх ду х М Аналогично предыдущему примеру имеем дг х дх у дл дг у дг х дг — = — — + дх х'+уз ди ха+уз де' ду ха+уз ди хл+уз дз' В* Е* Подставляя зти выражения в данное уравнение, получаем — „— е — — О. > дг дг У 148. х — + у — = я+ хз+ уз+ гз, если и = — н з = г+ хз+уз+гл, дх ду х < Имеем 1тб 14. Замена переменных Отсюда д» 1 д» д. дх д, =,+2,д.+л а* ду ж1+2,о**+ухе. Тогда данное уравнение запншетса в виде 2» — +" — х д«д« д» «д 1+2,д«+.Уг д« Полагал здесь 2х = а+ з, к = з, - = —, после упрощений получаем— з»,д«' * »ь«' »з фа.
и / 1'д»'1 /д '1 з з 150. Преобразовать выражение А = — + —, полагая х ж из, у = -(з — о ). ),дх) ),ду) ' 2 и Дифференцируя х как сложную функцию, получаем систему дх дз дх дз ду дг дз д» дз дх дз ду дх дз — = — — + — — = — е+ — а — = — — + — — = — з — — з ди дяди дуда дх ду ' де д*дз дуде дх ду ' из которой находим д» д« д, з — +»в д» д» дх аз+в» д«д« +за фО ду „з+„з Следовательно, из которой находим д« дз д» ду образом: дз 1 дх д« Данное уравнение преобрзэуетса следующим д» х — х Уе дх х — з д» д» д« д« у 14 О.
> д» дх 152. Преобразовать уравнение (у - з) — + (у+ з) — = О, приняв х за функцию, а д. ду а = у — з, е = у + з за независимые переменные. м Полагая в равенстве (б), п.4.2, ю = х, а ж у — з, е ж у+ х, имеем дх «дз дх 1 дя «' — 1 ду — — дя — — бу 1+ — ( ду+ — дя+ — ду дв ~ дх ду ) де ~ дх ду (аз + зз)з аг «. „з дх дх 151, Преобразовать уравнение (х — з) — + у — = О, дриизв я за функцию, а у и з за дх ду независимые переменные.
< Запишем равенства (б), п.4.2, полагал в нем а = х, з = у, ю = х. Получим дя )дх дз 1 дх Их»» Гбх+ бу~+ йу. дх(дх ду ) ду Сравнивая коэффициенты при оя н Ну, иалучаем систему дя дх дх дз дх 1ж — —, Ою — — + —, д. д*' д, ду д„' 1ТО Гл. 2.
Дифференциальное исчисление функций векторного аргумента Сравнивая козффициенты прн Ня и Ну, получаем дя да дя дз дх дя дз дя дя д» 1=- — — + — —, 0= — — — — + — + — —. де дя дэ дх' ди ди ду дэ дэ ду' Отсюда д» и д» в* э а в в» в + д» д» вЂ” О в» д» д. —,»+ — „ д» д» дз дз » В (у ) + (у + ) ду д д д де а» д» д д» После упрощений окончательно находим дя дя и 4' дх де 1 — + — = — ~этаО, — ф — !.Ь ди дэ э '» ' ди де! 2 » ~2 /д21 1дз'4 153, Преобразовать выражение А = ( — + —, приняв х за функцию и и ( дх) (ьду) ' хг, е = ух за независимые переменные. ° Аналогично предыдущему црнмеру имеем дх 2' дх дз 4» дя 1 да дз Й: = — ( 2 Ыя + я — Ыя+ я — Ну ) + — ( яду+ у — Й:+ у — ду ди ( дх ду ) де (ь дя ду Для определения — н — получаем систему д» 8» д В» дх дх дз дз дз 1=2 — +я — — +у — —, ди ди дх де дх' дк 02 дх де дз 0 = Я вЂ” — +2 — +У вЂ” —.
ди ду дэ де ду Отсюда в* за* д. -в — „ д -и— д д» дх 1 — з— в« 2 д» 2 (ид* + эа») ду я *+у» х2(и .1.э *)' д* д~ 2 в»+ в» в» в Следовательно, х и — 2хи +и'((д') +( — ) ) А- , Г дх дх12 з ~и — +э — ~ фО.Ь '( ди деУ' я» (и в* + е ~ ) ди ди ди 154. Преобразовать уравнение — + — + — = О,полагая б = т, 0 ж у — т, Г = 2 — х. дя ду дх М Дифференцируя и как сложную функцию, находим ди ди ди ди ди ди ди ди дя д~ дз д(' ду до' дз д(' Следовательно, — + — + — ш — = О. и д«д«д» в» ' в вэ в»-дг Перейти к новым переменным и, э, и4, где »д = м(и, э), в следующих уравнениях: 155.
у — — я — ж (у — я)з, если и = ет + у, э ж — + —, ю ю 1п з — (в + у). дх ду я у < Пользуясь формулами (7), пА.2, получаем В» В» 4 В» де 4 » — „»*- —;,. В, — »-иэ» Следовательно, данное уравнение запишется в виде дм уз дю д *.дм 2яуз — — — — + уз — 2яув — + — — — яз ж (у — я)з, ди * дэ ди уз де ЛЛМ, Ш2СЛЕ УПРошенмй, — = О. > д» 14. Замема перемемиых здз здз з 1 1 1 1 156. х — +у — =з,еслиижх,етв — — —,юж- — —. дх ду ' ' у х' з м Примеияз формулу (7), п.4.2, находим частные производные вв ! д з в,зз ев Ф ! ! дх ду Х подставляя которые з дамиое уравнение, получаем в = О. > вн в, дх , д.
157. (ху+ з) — +(1- у ) — = я+ ух, если и = ух — х, е = хх — у, м = ху — з. дх ду < Используя ту же формулу, что и в предыдущем примере, находим вв Вв ь в дх — + — з — У дз в«в« в щ д в +в + ду э +в в в в«в« Отсюда и из данного уравнеимя получаем (ху+х)(е з+у)+(1 у )( х+ в,х+1) — у+ — х+1 или, после сведения подобных членов, — = О. !« в 2 ~з дз'! !т дз1 здх дх 158. х — + у — юхз — —,еслих=зев,у=ее",з=юе дх) ( ду) дх ду' ц Для определепиа в и — как функций от в„и — „запишем смстему (9), п.4.2: в* в« вв Вв дх У дюЪ дз дю дм дх дю дх т ди!1 дм — ( 1 + и — у! + — е — = (1 + ю) —, — и — + — !!1 + з — т! ю (1 + те) —.
дх (, д. Г ду да ди' дх де ду ~ д У' = д Отсюда дх (1+ ю) в,, дх (1+ '") в вв в в в в — в вв вв в дх 1+и — +е — +ие — — У 1+и — +е — +зе —— в«в в в в в !вв, Таким образом, в новых переменных и, е и и данное уравиеиие имеет следующий вид: млм, после упрощений, (ив ) + (е — ") =ю~в —. > Преобразовать к поляриым координатам т и зт, полагая х = т сов з!, у = тба зт, следующие выражения: ди да да ди 1ди«!' (диз!' 159.
а) ю = х — — у —; б) ю = х — +у —; в) ю = ~ — ) + ( — / = ду дх' д* ду' (,дх,т (,ду/ ' и Имеем да ди дт да дв ди да дт ди д!е — = — — + — — — = — — + —— (1) д. д дх др дх' ду д. ду др ду' !ы вт ев е Проиаводиые —,, —, — „и — находим из сметем, полученмых в результате дифферемциро. заика равенств х = гсов р, у = т зш !«по х и у: дт . де дт .
др 1=совр — -тмеу —, О««созе« вЂ” — тзшр —, дх дх' ду ду' дт дз! . дт ду! О = зш р — + т сее р —, 1 зш е — + т сае !Л вЂ”. дх дх' ду ду' 178 Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций векториото артумента Отсктла ду сову ду т дт ду вшу — = сову ах ' а (2) Равенства (1) запишем а вале да да . ди сову — = — иву (- — —. ау а. ау да ди ди вшу Озв у дх а. ау (3) ди да да и д — + —, де де' дхз, дб ди да дс да — = — — +— аз дб аз д, дл да да — ж -в — + а —, де' де здзтт з ди зди — са а — — 2и — +в —. ас абз даду ау ' ди ди дб да ду — = — — -'т — — са дх д~ дх до дх Таким образом, данное урввненнелринимаст вил ди — =О адан Таким образом, /дс ° д ссст) ° /В дс ссс ~~1 ' дс, а) м = т сов у ~ — цв у + — — ) — т цп у ~ — сов у - — — „'С) = —; ~в вт ° ) ~а /в д а!с 1 ° /дс д ссс т дс, б) св = т соз у ~ — „сов у — — -л) + т ца у ~ — цв у + — — х) са т —; (,е в, (,д Вт / д.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
