Anti-Demidovich (Lyashko I.I., i dr.). Tom 2. Ryady. Funkcii vektornogo argumenta (2001)(ru)(T)(223s) (940507), страница 34
Текст из файла (страница 34)
)-=(-:. - --.'-': ) +(й- +.-"-"') =(=.) +М.-")» д'а д'и зд'тс д'и ад'а,д'тс д'и 160. а) се = — + —; б) у=ха — +2ху — +уз —; в) у =уз — — 2ху + дхз дух ' ахз дх ду ду" а ' ахд„ а Дифференцируя равенства (3) и использув равенства (2) нз зтримера 159, находим дза з ди в(пзу да совуяпу дзи вшзу аза совуз~ву = — сова у + — — + 2— + — — — 2— дтз дт т ду т'з дуз тз ду дт т дзу, ди совувшу ди нвзу — совзу д и совумву дзи соз'у-цвзу дзу .
з ди сова у ди сову вшу дзи свезу дзи онувшу = — вш у+ — — -'2 — — + — — + 2— дтз дт т ду тз дуз тз ду дт т На основании этих равенств получаем: В', З дс З дсс, Здсс, д' а) '" = д„з + д„+,з дтс б) М = т д,г ' В) У = ди дзи 161. Решить уравнение — тв а —, ввела новые независимые переменные 4 зз х — аз, азз ахз ' е = х+аз.
ц Имеем 3 4. Замена переменмьзх 179 Отсюда последовательным интегрированием находмм — = Я), =д~Я)й+Ф(ю) =юЫ)+ф(ю), гле зг(с) = ( у(с) !гс и зу(ю) — произвольные днфференцмруемые функции. Возвращаясь к прежнкм переменным, окончательно получаем и(з, х) = зз(х — аз) + зг(х + аг). Ь Приняв а и е за новые незавнснмые переменные, преобразовать следующие уравнения: д г дзг дзг дг дх 162.
2 — + — — — + — + — = О, если и = х+ 2у+ 2, е ю х — у — 1. дхз дх ду ду' дх ду ° Ф По правилу дифференцирования сложной функцмн, находим дг дг ди дг де дг дг дзх д /дг1 да д Удг1 де д г д г дзг — = — — 4 — — = — + — — = — — — + — — — = — +2 — + —. дх да дх дю дх ди де' дхз да 1здх! дх дю 1здхг! дх Эи' дадю де!' Аналогично находим остальные производные: дзг дзг з дзг дзг 1 — = — у*+ 2 — + — —; дхз да дад д ° у ' дзг г дгг хг дзг хг дг 2х ю — х — 2 — — + — — + —— дат дадю уз дез уз де уз дг д. д. 1 — = — у+ —— да ди дю у' дх дг дг х д г — = — х — — —, ду ди де уг ' дуз ТаКИМ ОбраЗОМ, ураВНЕНИЕ ПрЕОбрааустея К ВИду —, м — „д„. В дгг ! дг 165.
С помощью лннейном замены б = х+ Азу, л = х+ уззу преобразовать уравнение А — +2 — +С вЂ” =О, дзи дги дги (1) дхз дх ду дуз дгг дзг дгг дгг дх дг дг д'г д'г д'г д'г — =2 — + — — —, — =2 — — —, — =4 — — 4 — + —. дхду да' дадю дег ду да дю дуг = ди' дадю дез Подставляя вычисленные производные в данное уравненме, после сведенмз подобных членов д'* д* получаем 3 †+ — * = О.
> дед дг г г д г дг дг 163. (1 + х ) — + (1 + у ) — + х — + у в = О, еслм и = (в ~х + з(1 + хз), е = д. дуз дх ду 1. (у+,(1+ у ). м Аналогично предыдущему дрнмеру находим дг дг Й~ дх 1 дх = д,! Тх ди,/1+,.з' дзг д (дг)На дг !1 ( 1 ~ дзг 1 дг х дхг ди здхl Гх да дх ( Д+ха/ диз 1+ха да /(1+ха)з' дг дг дю дг 1 ду де Оу дю /1+„з' дзг д ( дг') де д. 4 ~ 1 1 д', 1 дг у дуг д ! дуу' Ну д ду ( ф+уз/ дез 1+уз де /(1+уз)з' дг даг Следовательно, уравненне преобразуется к виду д, + д, ю О.
Ь даг з даг х 164. х — — у — = О, если ингу, е = —. д*' дуз ' ' у' а Поступая так же, как н раньше, находнм 16О Гп 2. Дифференциальное исчиспеине функций векторного аргумента где А, В и С вЂ” постоянные и АС вЂ” Вг < О, к виду да — = О. дд дн Найти общий вид функции, удовпетворшощей уравнению (1). ц Вычисляя частные производные (г) ч Дифференцируя х как сложную функцию н испопьзуя условие (1), получаем дх дг др дг др — = — — + —— де дх дю ду ди' дя дг др дя др ди дх ди ду дю' Аиапогичиа вычиспяем дх д"р ду дадю' дг др + — —.
ду диде' Скпадывая два поспедних равенства, получаем '» —,'о((я)»( — ))(»;» —,') ( —,» ) — '. Н Далее, дифференцируя первое из равенств (1) по а, а второе по ю дг диг деда' дю' да дю ' убеждаемся, что — + — = О. др дгр дат дюг (3) ди ди да дги дги дга дги — = — + —, — = — +2 — + —; дх д4 дд' дхг ддг дуде дуг' да ди ди дги дги г дга дги — = — л,+ — л„— = — л',+г — л,л,+ — л',; ду дб ди ' дуг дбг д4 дя дуг дги дги дга да — = — л + — (л +л)+ — л д*ду дбг д(ду дч и подставляя их в уравнение (1), получаем да а да г да а (сл', + гвл, +А) — + 2(сл,л, +в(л, +л,)+А) — +(сл, '+ гвл, +А) — = О. (3) д»гг дб дч дог г, »»..
„,» „»,,»г»~в»»-»*.. 1,,=о~с "',с» зг» зг» г О, то в уравнении (3) козффициенты при — и — обращаются в нуль. Поскояьку АС- В < згг з»' О, то Лг .ф Лг н Слг Лг + В(Л1 + Лг ) + А .ф О. Спедоватепьно, уравнение (1) преобразуется к виду (2). Решением его будет функция и = р(б) + ю(О) (см, решение уравнения примера 161). Возвращаясь а старым переменным, получаем а = р(х + Л~ у) + й(х + Лгу) . > дгг дгг 166. доказать, что уравнение Лапяаса гЛя = — + — = О ие меняется прн любой = д. ду = невырожденной замене переменных х = р(а, ю), у = й(и, ю), удовлетворяющей усяовиям др др др дй (1) ди дю' дю ди 14.
Замена переменных да да дт За х дза о~а х Ыа тз — х — + дх дт дх Зг г' дхз дтз гз дт тз Ези зз зз з» Аналогична находим з, = з, —, + з„" —.зл-. Следовательно, зьа = -„-т+ -„' з,. зтз зтз .з б) Поступая, как и раньше, получаем д(2за) дза х дза х да х дх Дгз т дтз гз бт тз' + д (сза) дза х И~а 1 И~а тз — Зхз За тз — + + дх' зт' т' бтз г Ьтз гз зт „з Зз 1 дз„з З„з дуз дг' гз дтз г дгз гз Зг а' з зз г е' 1 з Таким образом, ьз(зза) = — з+ з з з + тз З гз — Зхз гз т — 3 уз тз 168. Выражения преобразовать к сферическим координатам, полагая х = гмп дсазр, у = тапумп Зт, з гсозб. < Представим данное преобразование в аиде композиции двух преобразований: (1) (2) х = 22 соз Зт, у = Я зш р, 3 = з, Н= та)вд, а та и, з =тсозд. При замене (1) имеем (см.
пример 159, в)): да да 1 да Следовательно, 2ьза = йз (д ) + (зн) + (е ) . Применяя преобразование (2)(см, пример 1ЗО, в)), получаем — + — = — — + Окончательно находим дд з'з д Аналогично, осуществляя замену (1), получаем (см. пример 1ОО, а)): д'а 1 да 1 д'а д'а Аза = — + — — + — — + —. д)1з Я д)2 22з дрз дзз ' Наконец, нз того, что замена невырождеиа, из равенств (1) следует ег зг зд зд ез 3 ет зз Оз зз Таким образом, из равенства (2) находим з ', + з,' = О. М дга дза 167. Преобразовать уравнения: а) зЗа ев — + — = О; б) зЗ(,Ьа) = О, полагал а = 1(т), -дз дуз где т = 'х + уз. < а) Имеем 182 Гл.
2. Дифференциальное исчисление функций векторного аргумента Согласно преобразованию (2) (см. пример 100, а)) дга дггг дги 1 ди — + — = — +-— д1(г дг' дг' г дг Полагая в равенстве (3) из примера 159 у = Я, р ш В, 1 ди 1 г'ди . да савд1 — — — ~ — зшд+ — — ~ В дя "шэ (,дг дд 1 дги + — —. ' дд' где И = гмл В,получаем 1 да сох д ди — — + ° д.
° зглВ дВ е'» г е'« Из двух последних равенств н из того, по яу е, — — —,,„, е,, находим дга 1 да 1 дга 1 ди созд да 1 дга гага= + + + + . + . г д. ° д.; дВг ° дг гг ОВ дВ "шгддр — ) = 1 — ~ + ( — / ввести новую функцию ш, полагая дуг,1 = '(,дх ) (,ду/ г дгг 169. В уравнении г ( — + 1,дх' ш=г г и Имеем дш дх — ш2х —, дх дх' д д. — = 2» —, ду ду' Отсюда находим дх 1 дш дгг 1 дзш 1 г'Эш'1 дгг 1 дгш 1 1'дш'г )' )' ду Оз д„' дхг 2 д, вш ),Эх,/ Эуг 2 ду 4ш ),ду/ ' дх 2х дх Используя найденные формулы, запишем данное уравнение в виде г+ з + дг е 1Р/+ 1дш 1 + ду — х узда х Вычисляя вторую производную дгх 1 дгш ди 2 дш ду' у' дат ду у' да х дзш 2 дш у' диг уз ди' убегйдаемся, что данное уравнение принимает вид дгх дгз дгх 171. — — 2 — + — =О, если имя+у, даг дх ду дуг а Применяя формулы (Т), п.4.2, находим дя В+В(-3)+~,дш у д.
дх да х де ег» душО > у з е= —, ш= —. х' х з дх — + — —, дш дгх еа 3» 1 х' ду да да г Приняв а и е за новые независимые переменные и ш = ш(а, з) за новую функцию, преобразовать следуюшие уравнения: дз дх 2 х 170. у — +2 — =-,еслиаш-,зшх,шшзх — у. ' Эу ду а Применяя вторую нз формул (7), п.4.2, получаем 184 Гл. 2.
Дифференциальное ис желание функций векторного аргумента находим вторые промзводные: д з др дв др дх и — — + — и дхду дз ду дз ду 1 )дзюдм 4з) д„з дзз дд да дг дз 1 — = — — + — — =-— ду' дз ду д ду Аз (2) е -"и-% ез Зз нз которои находим з Зз 1 з* Находим вторые производные; 1 д 1 дз аз а~ ззезе* д,з — д, ~ з ) д, —,з.1з Ез (е / — — — + ( Ез ) 3 Следовательно, — — — — — — — =О, Аналогично поступаем„считал у функцией, а х и з независимыми переменными. й 1 Тб. Преобразовать уравнение фщ Из равенств (1), (2) и данного уравненнв следует, что е„з — — О. И д" д" )' д" '1' 17ок.
Показать, что вид уравнения — — — ( — ~ = О не иензетсл при любом д, ду (,деду/ распределении ролен между переменнымн х,у и з. е Пусть, например, х — функция, а у н з — независимые переменные. Используя инвариантность формы первого дифференциала, получаем дх дх (дз дз Ых = — ду+ — — де+ — Му ду дз ( дх ду Сравнивал коэффициенты прн лх и ду, получаем систему дх дз дх дх дз 1= — —, О= — + — —, дз дх' ду дх ду' $4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
