Anti-Demidovich (Lyashko I.I., i dr.). Tom 2. Ryady. Funkcii vektornogo argumenta (2001)(ru)(T)(223s) (940507), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Экстремум неявно заданной функции. Если неявная функция х г и(х), х б П, П б 11", определяется уравнением Г(х, и) = О, то Г(х, и(х)) м О, х б П. Пусть функция и дважды непрерывно дифференцнруема в Р. Тогда в стационарной точке хэ б П справедянвы равенства йи = — р Р*, йхг + Г.', йхт + " + Е.'„,Ь„) = О, ~» Е(ха, иэ) ж О, где ив = и(хв). Поскольку справеданво и обратное утверждение, то стационарные точки могут быть найдены из системы Ег', жО, г=1, и, ГжО. 108 Гл. 2.
Дифферевцвальвое исчисление функций векторного аргумевта Еще раз дифференцируя первое из равенств (1) и учмтывая, что в стационарной точке аи = О, получаем йиуйх1йхг 2 1 ч» дГ (2) Гй 2 д.1дх, $1 1 Если а~и > О в точке хо, то функция и имеет ммкимум, если же в этой точке а и ( О, то 2 максимум. 6.6. Условный экстремум.
пусть функция у(х, у) = у(х1, ..., х, у1, ..., у,„) определена на некоторой области Р С Й"~ . Пусть, кроме того, па переменные х, у наложено т дополнительных условий Г(х,у)=О, Гз(х, у) = О, Г,(х, у) = О, Ф(х, у) = ((х, у) + ~) 11 Г,(х, у), 1»1 (2) называемой функцией Лагранжа, где 1„1 ы 1, ш, — постоянные множители. При этом знак второго дифференциала Н~Ф(хо, уо) в стационарной точке (хо, уо) определяет характер экстремума при условии, что дифференциалы йх1, яхз, ..., ахю яу1, яуз, ..., яу,» связаны соотношениями — ' йх + ~~2 — йу, = О, у = 1, т. дГ, дГ, д*з ду, ! 6.7.
Абсолютный экстремум. ЕСЛИ фуНКцмя Г'(Х) ж Г"(З1, Хз, ..., Х») днффсрЕНцнруЕМа В ОбЛаСтИ Р С Й" И НЕПрсрывна на замыкании Р, то ока достигает своего наибольшего и наименьшего значений на множестве Р или в стационарной точке, или в точке, принадлежащей границе области Р. Для определения абсолютного экстремума функции г' на множестве Р сравниваем наибольшее и наименьшее значения функции у в стационарных точках области Р с наибольшим и наименьшим значениями фумкции г' на границе области Р, Исследовать на локальный экстремум следующие функции: 196. 2 =*'+ у' — *' — Оху — у'.
4 Вычислим частные произзодные1 З,' ж 4хз — 2х -2у, з„' = 4уз -2х — 2у. Стационарные то'ши найдем из системы 4х -2*-2у= 0, 2 4у — 2з — 2у = О. 3 Она имеет три решения: х1 = О, уг = 0; хз — — -1, уз = -1; хз = 1 уз = 1. Для проверки достаточных условий локального экстремума вычмслим вторые производные ап = з,"2 —— 12х — 2, аш ж з 'з - --2, аш = *'„', = 12у — 2 и составим выражение Ь(х, у) = апазз — а122 = (12зз — 2)(12уз — 2) — 4.
которые называются уроенсниями саязи. Говорят, что функция у имеет в точке (хо, уо) услозкый максимум (условный минимум), если неравенство у(х, у) ( )(хо, уо) (у(х, у) ~ ))(то, уо)) выколнястся в некоторой окрест- насти точки (хо, уо) при условии, что точки (х, у) и (хо, уо) удовлетворяют уравнениям связи (1). Исследование функции на условный экстремум при наличии уравнений связи Г, = О, у = 1, гл, СВОДИтоя К ИССЛЕдОВаНИЮ На обычный экстремум функции 3 6. Экстремум фукюоги векторного аргумента 199 Поскольку сз(0, 0) = О, то для выяснения вопроса о существовании экстремума рассмотрим приращение функции г в точке (О, 0): Ьх(0, 0) = г(Л, Л) — х(О, 0). Если Л = Л, где 0 < Л < Л г, то гзг(0, 0) = 2Лг (Лз — -) < О.
Если же Л = — Л, где Л > О, то зьг(0, 0) = 2Л~ > О. Следовательно, приращение Ьг(0> О) принимает значения разных знаков, а поэтому при хг = О, уг — 0 экстремума нет. В точках ( — 1, -1) и (1, 1) за = 96 > О, атак как ап = 10 > О, то в этих точках функция имеет минимум, причем г м = -2. В 197. = 2х'+ у' — х' — 29'.
М Из системы г,=8х — 2х=о, гэж4у — 4у=о находим стационарные точки: (О, 0), (О, 1), (О, — Ц, (-, 0), (-, 1), (-, -1), (- †, О), ~- †, 1), (- †, — 1) . Вычисляя вторые производнме г", = 24хг — 2, г,"„= О, г", ж 12уг — 4 и составляя выра- жение Ь(х, у) = аыаж — а,з = 8(12х — 1)(зу — 1), находим, что Ь(0, О) = 8 > О, Ь(0, 1) = — 16 < О, Гз(О -1) = -16 < О, гь (-, 0) = -16 < о, л(-, 1) = зз > о, гл(-, -1) = зз > о, л(--, о) = -и < о, гл(--, 1) = зз > о, ь(-, -1) =зз>а.
Следовательно, точки (О, 1), (О, -1), (-, О) и ( — —, 0) не являются экстремальными. Точ- 1 ! ки (О, 0), (-, 1), (г, -1), (-г, 1) и (--, -1) — экстремальные, причем в точке (О, 0)— максимум (поскольку г,",(О, 0) = -2 < 0) и га„, = 0; в точках (-, 1), (-, — 1), (--, 1) и (--, -1) — минимум (поскольку г", (~1, х1) = 4 > 0) и г ь = --. Ь 198. = *'у'(6 — * — у). н Составляя систему гг = хУ (12 — Зх — 2У) =О, г„= х Уг(18 — Зх — 4У) = О, а затем решая ее, находки стационарные точки (2, 3), (О, у), где -оо < у < +со; (х, 0), где -со < х < +со, Для проверки достаточных условий локального экстремума находим производные г,", = 12у — бхуз — 2у, г,"„= Збху — 9х у — 8ху, гэг = Збх у — бх у — 12х у .
(1) Поскольку г"г(2, 3) = — 162, г,"„(2, 3) ж -108, г„",(2, 3) = -144, а й(2, 3) = 144 162-108г > О, то в точке (2, 3) функция г имеет максимум, причем га,„ж 108. В точках (О, у) и (х, 0) выражение гз = аы агг — агг обращается в нуль, а это ничего ие говорит о наличии экстремума в этих точках. Для дальнейших исследованмй вычислим приращение функции в точке (О, у), -оз < у < +ос: гзг(0, у) ж гЗхг(у+ 219)г ((б — гзх)(у+ лу) — (9+ 119)г) Легко убеднтьса, что при достаточно малых гзх н гзу ззг(0, у) < О, если -со < у < 0 или 6 < у < +со; Гзг(0, у) В О, если 0 < у < 6. Причем в обоих сяучаях достигается знак равенства при )сзх) > О и (гзу) > 0 (например, если у+ азу = 0).
Следовательно, в точках (О, у), где -оо < у < О илн 6 < у < +со функция х имеет нестрогкй максимум, а в точках (О, у), где 0 < у < б, — нестрогий минимум. В точках (О, 0) и (О, Б) функция г экстремума не имеет, так как прн х = 0 приращекке 2зг(0, у) меняет знак при переходе переменной у через точки у = 0 и 9 = 6.
Далее, из равемств (1) следует, что второй дифференциал равен нуае в точках (х, 0), -оо « * +со. Длл дальнейших мсследоваинй вычислим приращение функции в точках (х, 0), -оо < х < +оо: Гьг(х, 0) =(к+Хьх) гЛУ ГЛУ(Б-х — гзх — 219). 200 Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций векторного аргумента м Из системы 20 2'=х — — =О Э 2 = 5, у = 2, принадлежащую области опредеюа а а га -,т, 2»г — — 1 «г = -т и составив выраженке э э 50 2» = у — — = 0 22 находим единственную стационарную тачку х пения функции. Вычислив производные га« = с«(х, у) = -т.т — 1, найдем, что «2(5, 2) = 3 > О, а аы(5, 2) = ; > О.
Следовательно, в точке гага г (5> 2) функциэ имеет минимум (2»«„= ЗО). о хг 2 201. 2 =ху а« 62' и Из системы у(1 '— *,' л;,) .(1 „*' "') 2 »вЂ” э = О, г~ = — =0 г ( —:-'-6)' ( --::--",')' находим стационарные точки: (О, 0), (~, гэ), (- ~у, - д), ( д, - »л), (- д, », ) . В г точках (х, у), принадлежащих эллипсу 1 — — *, + тт, который являетсл границей области определения функции, частные производные йе существуют, а поэтому являютсл точками возможного краевого экстремума. Для проверки достаточных условий запишем вторые производные э' з (1»г уг) 2 ( 2*' «эг) з ('--г--")' 2,„ ( г «)2 а затем вычислим значение «2 в стацмонарных точках. Имеем гэ(0, 0) ж -1 < О, поэты му зта точка не является экстремальной. Поскольку Ь (~ф, ~~ 1 = 4 > О, то точки ( ° )- а Ь « ~д, ~д) — экстремальные.
А так как Пусть Ьх н Ьу — произвольно малые н такие, что х+гзх у.О, б-х-«2«х-гзу ~ О. Поскольку 222(х, 0) как функция переменных Ьх, Ьу в точках (Ьх, 25у) и (2«х, -с«у) принимает значения разных знаков, то точка (х, 0), -со < х < +ао, не является экстремальной. М 100. х=х'+у' — зху. и Вычислив частные производные и приравняв их к нулю, получим систему „=Зх — ЗУ=О, «„=ЗУ вЂ” З*=О. Решив эту систему, найдем стационарные тачки (О, 0) и (1, 1). Затем запишем частные производные второго порядка х", = Бх, хаэ -- -3, з'„', = бу и составим выражение 2«(х, у) = ам аж — а«22 - -Збху — 9. В точке (О, 0) имеем Ь = -9 < О, так что эта точка не лвлветсл экстремальной.
В тачке (1, 1) имеем «3 = 27 > О. агг > О, следовательно, в этой точке функция имеет минимум,причем яим = -1. в 50 20 200. 2 = ху+ — + —, х >О, у> О. х 201 6 О. Экстремум функции векторного аргумента ( т!З' ЬГЗ) ' (, чгЗ ьуЗ) У I а Ь1 то в точках (, -э) и (-, --~) фУикцмк з имеет максимУм, а в точках 21-э, --~) и (- ° .)— а ь г -э., ~.) — минимум. 2 2 Остается исследовать точки (х, у), где 1 = * — + Да . Запишем прирашеиие фуикцим в этих точках: ьЬз(з, у) = (х + Ь)(у + Ь) Очевидно, !Ьз(г, у) > О, если 0 < з + Ь < з < а, О < у + Ь < у < 6, или -а < з < г+ Ь < О, -Ь < у < у+ Ь < 0; 262(з, у) < О, если 0 < з+ Ь < а < а, -Ь < у < у+ Ь < 0 или -а < з < х+Ь < О, О < у+6 < у < Ь. Следовательно, в точках (г, у), принадлежащих эллипсу м расположенных в первой и третьей четвертях, функция имеет краевой мииимум, равный нулю, а в точках (к, у), принадлежащих эллипсу и расположенных во второй и четвертой четвертях, — краевой максимум, равный нулю.
В точке (О, 6) приращение 262(0, Ь) = Ь(Ь + Ь) 1 — — ,— Ьз (Ь+ Ь)2 положительно при достаточио малом Ь > 0 и 0 < Ь+ Ь < Ь и отрицательно при достаточно малом Ь < 0 и 0 < 6+6 < 6. Следовательио, ватой точке экстремум отсутствует. Аналогично показывается, что точки (О, -6), (жа, О) ие являются экстремальиыми. М зоз..= '*аэ"' ..*+а+э аа ° н,,, а,„,„„ систему а(г' + уз + Ц вЂ” з(аг -1- Ьу »- с) , 6(зз + уз + Ц вЂ” у(ах + Ьу + с) з — О, з ~' (ц (З2 + У2 + Ц 2 (зз + У2 + Ц 2 з з умиожая первое равенство этой системы иа -6(х + уз + цз, второе иа а(зз». Уз + цз и складывая их, получаем уравнение (Ьг — ау)(ах + Ьу + с) = О, из которого следует, что 6х = ау, аз + 6У + с = О.
Отсюда и из (ц находим стациоиармую точку: з = -", у = -,, с ~ О (если с = О, то при а + Ь + с ф 0 функция 2 ие имеет сгациоиариых точек). Для частных производных второго порядка имеем выражения о 6У+ с Зз(а(зз + у + ц — з(аз+ Ьу + с)) з Ь (.г+„2» Цз (.2».уз» Цз аа.*+с ° )- э* аь з Э еа~цюр (Х2+ уз+ Цз '*з з+ а ах+ 6у Ззу(аз+ Ьу+ с) (*2 + уз+ Цз (аз+ уз + Цз Вычисляя значения в стациоиариой точке вторых производных (а 6) Ь +с о (а Ь аз»-сз с('р+р+ )' ' ',(,2+ь +,)2 (Эы'+ к+1) 202 Гя. 2. Диффереицивдьиое исчисление функций векторного аргумента находим, что т. е. экстремум существует. Поскольку вторая производная х", в стационарной точке отрицательна при с > 0 и попо- жительна при с < О, то в первом случае функция х имеет максимум (х,,» = »/ау + Р + су), » — ( и=-»3»»'»э).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
