Anti-Demidovich (Lyashko I.I., i dr.). Tom 2. Ryady. Funkcii vektornogo argumenta (2001)(ru)(T)(223s) (940507), страница 39
Текст из файла (страница 39)
™ 1 2 3 5 -(-1)" '* ' '+ — ) — м са +с» 2 А»»(-1)-т(х 1 2 3 4 ... ос+1 хз 1 — — =О, .з 1 1 хаас — — — =О, з хз с х„ 1 2 — — — ы О. з х с х ос 1 »=2, о — 1, к» с и,„= с Отсюда находим стационарную точку хз = хз„хз ы хз„..., х» м х",, хс — — 2»зс . С целью проверки кастаточиык условий экстремума находим вторые производные. Обозначая ао = о,"...получаем 2 1 ам»» —, аы=- — з, ам=О, асс с = — — „, „еы =- — „... осс.~с 4=1, й — 2, ) =1+2, о, й= 1 = — —, асс — -О, ы 1 2,» — 1; 1 4 2 а» с авв, е з — 0,,~' 1,» — 2. ззв-з з» зв-з х, хз Для исследования знакоопределенности квадратичной формы Ык= ~ аййхзйхы с,у с (2) Отсюда непосредственно вытекает, что Ас < О, Аз > О, Аз < О, Ас > О, ..., т.
е. что форма (3) отрицательно-определенная. Таким образом, в стационарной точке функция имеет максимум. Вычисляя зкстремальное значение функции, имеем "-=(.,'.„) ' ' хг хз х» 2 212. и = хс + — + — + ... + — + —, х, > О, з = 1, ». х1 хз х -с х» М Приравняв к нулю частные производные первого порядка, получим систему для определения стационарных точек: 3 О. Экстремум функции векторного аргумента 207 где коэффициенты опредеааютсл формулами (1), рассмотрим определитель, образованный из коэффициентов формы (2): з з! ! О ! з ! ! ! О 0 ...
О 0 ! з р( О 0 0 0 ! --т з, (3) Ап! = 0 0 0 ! з тд-"т та='т з! и! Преобразуя определитель (3) к виду — --г х! зп! 0 0 0 0 ... 0 ! зт зпт ! 0 ... 0 о ! Апз = 0 — тл-т *! 0 0 замечаем, что А, > 0 при га ю 1, о. Таким образом, квадратичная форма (2) положительно-определенная и, следовательно, функция з имеет минимум а„,„= (п+ 1)2»е! ) . м 213. (Задача Гюйгенса.) Между двумя положительными числами а и 6 вставить с! аз х о чисел хз, хз, ..., х так, чтобы величина дроби и = ' была (а+ х,)(х! + хз) ... (ха + 6) наибольшей. М Логарифмируя функцию и и обозначая х = 1а о, имеем х 1а х! + 1в хз + ... + )в х» )п(а + х!) 1в(х! + хз) .. 1л(х -! + х ) 1в(хп + ~). Очевидно, экстремальные точки функций а и и совпадают и, следовательно, определяются из системы — =О, ! »!таз — =О, ! зппп! з! Фз! ! ! »!таз ! ! ! п„»» Из первого уравнения этой системы находим хз = -„хз, из второго хз = —,хз = ";гх! и ! 3 з з"Ф' ° » ! т.
д. Из последнего уравнения находим 1 ю -за- = ~-„—. Отсюда вычисляем х! = а (-) и+' . Таким образом, координаты стационарной точки М можно записать в виде геометрической ! пРогРессии х! = ад, хз = ад, ..., хп зп аеп, знаменатель котоРой 0 = 1-,1 "Е! . 3 и зы— Находим вторые производные ! 1 пз з+ з+ *! Хз (а+я!)з (Х + )з' зз*г (х + )з' ззпг 1 и 1 1 1 Зп»п» хаю- — + + (х» !+х»)з' *» хз (х» !+э»)з (х„+х )з' и 1 и»»+! ° 'г "*» .=О, 1=1,0 — 1, 1=0+2,и, 1=2,п — з; 1х»+ х»+!) ' 1 а 1 1 1 и 3 ° з' "'= у+ ° хп-!+к )з' * хп (х„з+х,)з (хп+О)з' 206 Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций векторного аргумента и вычисляем ик значения в стационарной точке (а1 ю з"„2): -2 1 х2421 2(1 .!.
4)2 ' х2422 1Я 4 у 2 ' ~ х2422(1.(- д)2 ' 1 (1) 1=1, й — 1, )=в+2,о, ха22,в — 1; ! -2 ,2 зэ-з(1,~ )2' "" зз 2»-1(1,1,)2 Как и в предыдущих прнмерак, вычисляем определители Ам, образованные из коэффициентов квадратичной формы и И з(М) = ~ з,э Йх, 4х). 1 (2) 1 Поскольку числа ац в равенствах (1) имеют общий множитель —..., то, вынося его эа знак определителя, получаем о 2 1 2 1 1 2 0 2' 21 0 ... 0 0 ... 0 — 0 1 2' 1 ( (1 ! ))2м (3) 0 0 0 0 ... эх — "т — т Преобразуя определитель (3) к треугольной форме 2 ! -т 2 9 1 0 221 0 0 1 22 1 221 0 ...
0 0 1 (а(1+ 4))2 а затем вычисляя его, имеем А,з = -1 м )-1 , . Отсюда следует, что А1 < О, Аэ > О, Аз < (Ж1+2))2 2 '' О, ..., т. е, что квадратичная форма (2) отрицательно-овределенная. Поэтому функция з, а вместе с ией и функции х в точке М имеют максимум. и Найти экстремальные значения заданной неявно функпии 2 от переменных х н у: 214. хэ 4уэ+ «2 Ох.~!у 42 10 = 0 и Функция Г(х, у, 2) щ хэ+у +22-2х+2у-42 — 10, (х, у, х) е %~, является многочленом, а поэтому непрерывна н днфференцнруема сколь угодно раз. Следовательно, в окрестности юобой точки (хо, уэ, хо), в которой Г = О, Р,' ф О, выполнены все условия теоремы 1, п.3.3, согласно которой уравнение Г(х, у, х) = 0 определяет неявную функцию (х, у) 1 2(х, у), принимающую в точке (ха, уэ) значение х,.
Эта функция сколь угодно раз днфференвнруема. Для определения стационарнык точек и значения функции в нит составляем систему Р, и 2х — 2 = О, Р„' щ 2у+ 2 ю О, Р щ х + у + х' — 2х+ 2у — 42 — 10 = О, из которой находим М'1=(1 -1), 21=-2; Мз=(1,-1), 22=6. Поскольку цроизводнал Р,' % 2 — 4 в точках (1, -1, -2) н (1, -1, 6) отлична от 'гуля то уравнение Г = 0 в окрестности кюкной иэ этик точек определяет великую функцию (х, у) ~ х(х, у), принимающую в точке М, значение хо ! м 1, 2.
3 6. Экстремум функции векторного аргумента 209 Для проверки достаточных условий экстремума находим частные производные Е"2 2, Р", »х 2, Р,'„', и 0 и, пользуясь формулой (2), д.б.б, вычислдем второй дифференциал в э стационарных точках. Поскольку в точке М1 при х = — 2 62~ — (4)хэ+ Зуэ) > 0 4 а в точке Мэ при х ж б Л = - ~ (Зх + 4(у ) ( 0 4 та Х»»» =-2, вх„ыб ПРИ я=1, 3=-1. М 215. хэ 4 у + 22 — хх — ух+ 2х+ 2у+ 22 — 2 = О. < Иэ системы Г»Ш2х2+ 2 0Р»ш23 э+2 0ГШх+У+вххУ24-2х+2У+22 — 2=0 находим стационарные точки и эначения функции М, =(-3+4/б,-3+Я).
21 ы-4+2 6; М, »х(-3-ь/б,-3-4/6), 22=-4-губ. Находим производные Г,' = 22 — х — у+ 2, ~Р» — — 2, Р„, = 2, Р,'„= 0 и, убедившись, что Г, ~ 0 в точках М1 и М2, вычисляем второй дифференциала этих точках; 1 (62+» 2) 42(М) 1 (6 2+» 2) Следовательно, 24»1» = -4 — 24/б в точке Мв и в„„„= -4+ 24/б в точке М1 . и 216. х' + ув + х' — 2аэ(хт + уэ + х') = О, а > О. < Для определения точек возможного экстремума решаем систему Г,ш4х — 4а х=0, Г =4у — 4а у=О, Гшх +у +х — 2а(х +у +2)=0, З 2 2 2 4 4 4 2 2 2 2 и* которой находим шесть стационарных точек и шесп, значений функции: М1 = (О, 0), 21 = ат/2; Мэ = (О, 0), 22 = -а4/2; Мз,в = (жа, жа), 24,4 = а»/1+т/3; Мв,в = (ша, жа), 2,, = -а4/1+ 4/3.
Далее, находим производные Г, = 4х — 4а х, Р 2 = 12х — 4а, Р„» = 12у — 4а, Р = О. Поскольку Г,'(М,) ув О, 1 = 1, б, то в окрестности каждой иэ найденных точек уравнение Г = 0 определяет неявную функцию (х, у) »» 2(х, у), принимающую в точке М, значение х„ 1 = 1, б. В точках Мб 1 ш 1, 6, вычисляем второй дифференциал а~ 2. 6' (М') — бх +46 3' (М ) — -"* + Зу 6'х(М1,4) =, 3'х(Мв,в) = -2(4(хэ+ 632) 2(бхэ+Зуэ) а1/3+ Зъ/3 ах/3+ Зь/3 Следовательно, в точке М1 функция имеет локальный минимум (х»»» = а4/2), а в точхе Мэ — максимум (х»4„= -а»/2), в точках Мв,в — максимум (э~ш ы а1/1+ 1/3), в точках Мв,в миним1м (хо1» атв 1+ \43).
и Исследовать ка условный экстремум следующие функции: 217. х = х~+ хэы+. +а~, еслн х1+ хэ+-"+х = аа, а > О, т > 1. < Составляем функцшо Лагранжа (си. формулы (2), п.б.б) 210 Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций векторного аргумента и записываем систему Ф', =та*';" '+ЛтиО (т'ыТ,и),~ з,=ив, =1 из которой находим Л = -тиа ' и координаты х, = а точки М возможного экстремума и (а, а, ..., а). далее, находим второй диффереициал ИзФ = ти(ти-1) 2', э, залу и вычисляем =т его значение в точке (М, Л): й Ф(М, Л) = ти(ти — 1)а ~~т йз,, 1 Так как РФ(М, Л) > О, то в точке М функция з имеет минимум (з„„= иа"), й 218.
и = зув, если зт + уз + вз = 3. а Аналогично предыдущему примеру составляем фуикциюЛагранжа Ф = куя+А(х +у + зз — 3) и записываем систему для определении Л и координат точки воачожного экстремума: Ф'. ти уз+ 2Лз ти О, Фр ти зз+ 2Лу ти О, Ф', = ху+ 2Лв = О, хз+ уз+ *э = 3. Из этой системы находим восемь стационарных точек: Мт = (1, 1, 1), Мз = (1, -1, — 1), Мз = (-1, 1, -1), Мв = (-1 -1, 1) для Лт - ---' и Мв = ( — 1, -1, -1), Мв = (-1, 1, 1), Мт = (1, — 1, 1), Мв = (1 1, -Ц для Лз = .;.
Находим второй дифференциал функции Лагранжа ОзФ = 2Л(йхз Ф Оуз+ Ы)+2зйяйу+ 233эйз+ 2з3у3з (1) 1 Для Лт тэ -- и точки Мт имеем р а~Ф(Мт, Ат ) = — т(з~ — ау — Из~+ 2 ах ау+ 2 аз аз+ 2 ау 3з = -(ас — Ыу) — дзз+ 2(Ыс + Оу) Ыз, Заменяя в последнем слагаемом дифференциал Из его значением, найденным из уравнения связи в точке Мт, ав = — (т(з + Зу), получаем неравенство я~Ф(Мт, Лт) = -(йз — Ыу) — Ыв~— 2(Оз+ т(у) ( О, из которого следует, что в точке Мт функция з имеет максимум. Для Лт = --' и точки Мз из (1) и уравнения связи получаем йзФ(Мз, Лт) = -эс~ — Иу~— йз — 2асау-2 ах аз+2 ау аз, ас = ау+аз и следовательно, и Ф(Мз, Лт) = -(ав-ау) -аз 2(йу+ аз) < О, поэтому функция и в точке Мэ имеет максимум.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
