Anti-Demidovich (Lyashko I.I., i dr.). Tom 2. Ryady. Funkcii vektornogo argumenta (2001)(ru)(T)(223s) (940507), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Аналогично устанавливаем, что функция и имеет максимум в точках Мз и Мв. Во всех этих тачках ииы = 1. Для Лз = — и точки Мв из (1) н уравнения связи получаем Ы Ф(Мв, Лз) ти Из + Яу + Из~ — 2 йз ау - 2 Ия т(в — 2 3у аз, Ох + йу + Оз = О. Отсюда следует неравенство йзФ(Мв, Лз) = (3с — ау) + Нз~+ 2(аз + ау)з > О, из.которого заключаем, что в точке Мв функция и имеет минимум.
Легка убедиться, что з точках Мв, Мт и Мв функция и также имеет минимум, причем иим = -1. й 219. и = * у" в', если з + у+ з = а (* > О, у > О, з > О, ти > О, и > О, р > О, а > 0). а Очевидно, экстремальные точки функций и и э = 1аи совпадают.
Поэтому будем исследовать на условный экстремум функцию э та 1н и зв ти1а з+ и)и у + р!из при условии э+у+в=а. Составляя функцию Лагранжа Ф ш та1аз+ и1к у+ р1и з+ Л(я + у+ з — а) и систему Фв = — + Л = О, Ф'„= -+ Л = О, Ф,' = — + Л = О, э + у + з = а, находим координаты точки воэмоткного экстремума: и = итй у = ие, з = рт, где В = — „ эта игр Поскольку второй дифференциал функцик Ф з итал~ иауэ раз а~Ф = — — — —— зз уз зз и образовав систему Ф'„ = — + Л м О, х Ф,=-+ЗЛ=О, х+2у+Зх=а, =3 э Ф'„= — +2Л = О, у получим Л и координаты стационарной точки; Л = --' х = у м э = -'.
А так как второй а' дифференциал б Ф = — —, — У«- — —, в стационарной точке удовлетворяет условию У' г «а а а бэ 36 э г г «6 Ф... — — («(х +бу +бэ ) < О, 16' б' 6 а/ аг «в«вЛ то функциа о, а вместе с ней и функция а имеют в этой точке максимум (иа«„= (-) /. М (б) /' 222. а = хух, если хг + уг + х' = 1, х+ у+ х = О.
ц Приравнивая к нулю производные фунвции Лагранжа Ф = хух + Л(х~ + у + хг — 1) + И(х+ у+ х) по х, у и х, получаем систему Ф', = ух+ 2Лх+н = О, Фв - -хх+2Лу+ и = О, Ф', = ху+2Лх+и= О, решая которую совместно с уравнениями связи хг + уг + хг = 1, х+ у+ х = О, находим шесть точек возможного,экстремума: М, = р, —, -- /, Мг = (~, -у, чх/, Мэ = «( г г э э Л ,,--,б -~3) ° .Л= —,, 6 б.
Экстремум функции векторного аргумента 211 в точке (тй пц рг) удовлетворяет неравенству а Ф = — ( †,, + -„уу + †,г/ < О, то функция з«» «ВВ«1 """"' *'*'""( 'ь «)" " ( ..-«„-ааэ..-). х у э 220. и = хг+ уг+ гг, если — + — + — = 1 (а > 6 > с > О). аг 6« сг г г г е Дифференцируя функцию Лагранжа Ф = х +у + «+ Л ( «+ у«+ —, — 1) по всем переменным и присоединяя уравнение связи, получаем систему 2Лх, 2Лу, 2Лг хг уг эг Ф', м 2х+ — = О, ФР„м 23+ — м О, Ф', м 2«+ — = О, — + — + — = 1, аг э 6« сг аг 6« сэ из которой находим Л и точки возможного экстремума; Л«,г = -с, М«« — — (О, О, хс); Лэ, в = г -а, Мэ в = (жа, О, 0); Лэв = -6, Мэв = (О, ж6, 0). Для проверки достаточных условий находим второй дифференциал Н Ф = 2 (1+ — «) бх + 2 (1+ р) 30~ +2 (1+,«) «6«г.
Из неравенств «6 Ф(М«,г, Л«,г) =2 1- — «6х +2 1 — — «бу >О, аг! «Л «Л аФ(М«в Лэв)=2 1 — — /«у +2~1 — — /««6« <О « ") следует, что в точках М«,г функция о имеет минимум (и««,« = с ), а в точках Мэ,«в г максимум (ив««* = а ) г И точках Мэ при Нх = О, дэ М О в( Ф(Мцв Лэ.в) ( «) О, Ыэ = 0 а Ф(М«,в, Лэ,в) = 2 (1 — — «/ «6х > 0 .
Поэтому точки Мэ,в ие валяются зкстрег ь г «« / мальными, м 221. и = хугээ, если к+ 2у+ Зх = а (х > О, у > О, э > О, а > 0). е Составив функцию Лагранжа для вспомогательной функции з = 1и и Ф = 1п х+21п у+ 31пэ+Л(а+ 2у+ Зх — а) 212 Гл. 2. Двфферевцвальиое исчисление функций векторного аргумента Далее находим второй цифферецциал о~ Ф = 2А(с!я + с!у + с)з ) + 2* с)я оу + 2У Ыз йз + 2з Ыу Ыт, а нз уравнений связи получаем соотношения х с)х+ ус)у+ зйз = О, йя+ с(у 4 Нг = О. Проверим выполнение достаточных условий для точек Мс и Мю Для зтих тачек (2) (3) т Ф'„=-с13т+ Л = О, Ф, '=- сСОУ+Л ж О, Ф, = сгт з + Л = О, получаем точку воаможного зкстремума к = у = а = -.
Так как пс т у гл з/ т тс 1 то в точке (-, —, а ) функция имеет максимум, равный —. Ь з з г 225. аж — + — + —,ослик +у +т =1,ксоза+усозВ+ясоат=0(а>$>с>0, к у т ат 'оз сз ' саят о + соаз В + саят г ж 1) . Ч Составив фУнкЦию ЛагРанаса Ф = — *+ — "з+ — *-А(та+Уз+аз — 1)+Н(х соя а+УсозВ+ я сазу) и приравняв к нулю ее производные по з, у и з, получим систему 2з 2У 2т Ф, = — — 2Ак+ 1ссозо = О, Ф„= — — 2АУ.)-дсозВ = О, Ф, = — — 2Аз+ исоа т = О. (1) Умножая первое равенство системы (1) на к, второе на у, третье на з н складывая их, получаем равенство / з 3 тт 2 ~ — + — + — ) — 2Л(за+ уз + я ) + Н(комо+ усозВ+ ясазт) = 0 А ссз $2 сз) т=у=2А, тж-4А. Тогда нз (1), (2) н (3) получим равенства Н'Ф = 2Л((йт — лу)' + озт + ат' + Оу ).
Отсюда следует, чта при Л < О (т, е. в тачке Мс) йзФ < 0 н в зтай точке функция о имеет максимгм (им„= —,) . ПРн Л > 0 (т. е. д тачке Мс ) лаФ > О, лозтанУ в зтай тачке мс †,ееу! функция и имеет минимум ~о „ =— 3 об ) Аналогична устанавливаем, что в точках Мь и Мь функция и нме.т максимум . е / — ), а в тачках Мт и Мз — минимум ~ а,,„„= — - —,). и 2еЗ.
к = ту+ уя, если к~ + у~ ж 2, у+ т е 2 (г > 11, у > О» г > О). ч Образовав функцию Лагранжа Ф = *у+ ут т цт ' ут — 2) 4 к(у -г с — 2! н составив систему Ф'„=у+2Ат=О, Ф,',саге-т-~.2АУ+К=О, Ф',=.У~.У=О х +У =2 У "т=у найдем числа А, н и координаты стационарной точки: к = у =- т = 1, .Л = — -, н =- — 1 1 Запишем второй дифференциал с)~Ф = 2Л(Из~+с)У ) + 23кЫУ Ф 2с)у йг и лалалсим в нен Л = — —. Тогда получим о~Ф = -с)к' — с)у + 2с)гс(у Ь2 с)ус)т. Из уравнения связи следует, чта 2' НУ = -Нз = -Ыт.
позтаму о Ф = — с)кт — 3с(ут — 23с~ < О. Таким образом. ь точке (1, 1, 1'1 функция и имеет максимум, равный 2. В 224. о .= мл к ага ума з, если г + у+ з = -' (т > О, у > О, - > О). г Ч Составляя вспомогательную функцию Ф = 1а мл т + !л но У + !л зш т + А (г Ф у т т — -') н систему т б. Экстремум функции векторного аргумента 213 созга соаг !1 созг т +, +, =О, — ' — Л вЂ”,-Л вЂ” — Л аг 1 г )' ыпг о зшг;у ппг ттт созг а соз !у соз а" Ог ' сг ) с!11 агсг агЬ Нели Л! л Л! — корни этого уравнения, причем Л! < Лг то и „= Лг, и»о = Л: 228 с,г+ х! х„ х» — + — -с ... + — = 1 (а„> О, ! = 1, и). !! аг а ч Имеем Ф =,'т г, тс Л 1 ~ — *' — 1 1 Из счстены Ф', = 2х. » Л вЂ”. = О.
1 = 1, и, нахален "! Л х = — —, 1=1 тн (11 2а! 1 н! ° 1азиеьия связи а 1авснств (1) получаем Л = — — —. 1=! 1 — —, гж1,и. Л ! ! (2) Нескольку бгФ = 2 2 ' Мх~ > 0 '!о з стацнонарнся точке (2! функция и имеет мнннмгм !»! 227. и = х",+ хгт + .. + хг» (р > 1), если х! + хг Ф ... + х = а (а > О). / М Составлял функцию Лагранжа Ф = ~ тх" + Л ) а — ) х!), а затеи систему ! !»1 !»! Ф'„=рх„"' — Л=-О (й=1,и). ~ хг=а, ! 1 I тР ! получаем Л = у (-), хс = — „. Находим втоРой диффеРенциал т(~Ф = Р(Р— 1) 2 х" г Их~а и, вычислЯЯ его значение в 1»1 п стационарной точке, убеждаемся, что а~Ф = р(р — 1) 2 (-")" т(х~а > О.
Следовательно, в 1=1 „т стационарной точке функция и имеетминимум (иот, = †„,, ). Ь 228. а = х»'х ' ... х»" т если х; > О, х! + хг+ ... + х„= а (а > О, о; > 1, 1 = 1, в). и Заметив, что экстремальные точки функций и и и = 1в и совпздают, будем исследовать на локальный экстремум функцию и. Образовав функцию Лахранжа Ф = 2 о!1вх + 1 3 г тг из которого с учетом уравнений связи вытекает, что т + "т + —,, — Л = О, т. е.
что Л = и. Таким образом, иеии ж шах Л, иом = пцп Л. Решая уравнение (1) относительно х, у и х и умножая левые и правые части полученных равенств на созе, соз!у, созт соответственно, находим (с учетом уравнения связи хссео+ у соз !У + х соя г = 0); 214 Гл, 2. Дифференциальное всчвслеиие функций векторного аргумента / » Л ( Я х) — а н решив систему 1=1 Ф',„= — +А=О (4=1, и), ~ х, =а, хг р«1 получим значение А и координаты точки М возможного экстремума: » 1ч Л=--)г о,, а 2~ ха = — „(й ж1, в). о р«! )«1 » Найдем второй дифференциал: И~Ф = — ~ -'-4 Ых~г. Заметив, что к«! / Лг» )«1 Ь«1 заключаем, что в точке М функция в имеет максимум ра...е« а » «! аг в,„жо аг ...о„" 229.
Найти экстремум квадратичной формы и = ~~ аох,х, (ач — — а„— действитель- р«! » ные числа) при условии ~ х, ж 1. г р-! » / » а Образуем функцию Лагранжа Ф = ~, аох,хр+ Л (1 — ~ хг и составим систему р,)«1 =1 1 р -Ф, = (аы — Л)х! + амхг 2 1 -Ф»г = аг!х! + (агг — Л)хг + ... +ар„х =О, + ... +аг„х»жО 1 2 -Ф = я «хр+ а гхг+ ... +(а»» — Л)х„= О. Система (1) имеет нетривиальное решение тогда н только тогда, когда число Л является корнем уравнения аы — Л аю ... а! ам аю — Л ... аг» =0 (2) Ах=Лх, (3) где х — (х хг... х„), Предположим, что Л комплексное, т.
е. что Л = о+!д где ! = !/-П поскольку а,) — действительные числа, то х = и + )х. тогда из равенства (3) слелует Ав = пв — )Уэ, (4) я ! а»г ... а„„вЂ” Л Покажем сначала, что корни Л уравнения (2) действительные. Для этого обозначим через А симметричную матрицу (а!)) заданной квадратичной формы в. Тогда систему (2) можно записать в виде 3 б. Экстремум функции векторного аргумента 215 Аю = Ви+ аю. (б) Умножая скалярио обе части равенства (4) на ю, а равенства (5) на и и вычитая результаты, получаем (Аи, ю) — (Аю, и) ю -!У((и, и) + (ю, ю)).
(б) Так как (Аи, ю) = (и, А'ю) = (и, Аю), где А* — транспонированная матрица, то из (6) находим д((и, и) + (ю, ю)) = О. Поскольку (и, и) + (ю, ю) ~ О, то Я = О, т. е. Л вЂ” действительное число. Пусть Л!, Лз, ..., Л вЂ” корни уравнения (2). Тогда для каждого Л„! = 1, и, нз системы (1) прн условии, что 2 ' х, = 1, находим точки возможного экстремума =! х1 1 х1 1 х1 )) ! ж 1 и. ("' "' — *-' Далее, умножая равенства (1) на х!, хз, ..., х„соответственно н складывая их, имеем ю 2 аох;хг-Л 2, хз = О. Учитмваяуравнение связи, получаем равенство и(х!, хз, ..., х ) = ,г=! ! Л, которое в точках возможного экстремума запишется в виде и (х,, хз, ..., х„) = Л„! = 1, и, Отсюда следует, что и„„= шах Л„иа!, ж шш Л,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
