Anti-Demidovich (Lyashko I.I., i dr.). Tom 2. Ryady. Funkcii vektornogo argumenta (2001)(ru)(T)(223s) (940507), страница 38
Текст из файла (страница 38)
20З., = —,/Р+ у, и Легко убедиться, что данная функция не имеет стационарных точек. Но в тачке (О, О) частные производные первого порядка не существуют, так как разностные отношения й,')- Г»ле ~>»»»»»х-»»е ь» »3х ЕМ ' Ьу Ьу не имеют пределов. Следовательно, точка (О, 0) является точкой возможного экстремума. Из того, что приращение х(х, у) — х(0, 0) = -»/»хз+ уэ отрицательно, заключаем, что в этой точке функция имеет максимум, причем х,„= 1. р 204. х = х + у + 4 зш * зш у. М Дяя определения стационарных точек получаем систему х = 1+ 4соз хашу ы О, хэ — — 1 + 4ав х сазу = О, преобразуя которую к виду 1 — 2йа(х — у)+2йп(х+у) =О, 1+2зш(х — у)+ 2пв(х+у) = О, находим 1 пв(х — у) = О, па(х+ у) = --; 2' отсюда х+ у = (-1) — + тх, »а б Х; х — у = ах, о б Ж, 6 нлн х = (-1) 4' — + (»а+ а) —, у = ( — 1) е' — + (ш — и)-, т б К, а б Е.
12 2' 12 2 Находим вторые произаодные х,", = -4сба хин у, х„"» = -4з!в хмп у, х,"„= 4соэхсазу и составляем выражение »3(х, у) = 1бзшзхывз у — 16соэзхссез у ш -1бсоз(х — у) соз(х+ у). Дпя вычисяення значений выражения»э(х, у) в стационарных точках используем формулы (1). В резуяьтате пояучаем »Ь = — 1бсазахсаэ ((-1)~ — +а»х~ = (-1) " 16саз —, а б Ж, ш б Е. б ) 6' Отсюда следует, что при ш+ н+ 1 четном Ь > 0 и экстремум существует, а при т+ а+ 1 нечетном экстремума нет. 7аким образом, функция имеет экстремум при т+ а нечетном. В этом случае числа т и п разяичной четности. Дяя выяснения характера экстремума преобразуем вторую производную х,", к виду х»» = 2 сох(х + у) — 2 саз(х — у) и вычисяим ее качения в экстремальных точках (тогда ш + ив нечетное): хзэ = 2» соз ((-1)»»+' — + тт) — сохах) = (-1)~т/3 — (-1)" 2.
Если ш = 23 — четкое, в = 2г-1 — нечетное, та х„з» вЂ” — ~/3+ 2 > О и функция имеет минимум; если же»п ж 23 — 1 — нечетное, а в = 2г — четкое, то х,", = -»/3 — 2 < 0 и функция имеет максимум. Вычислив экстремальные значения функции, получим хваэ --2йх — 2 — т/3 — —, й 6Ж; хз»»» =(2Й вЂ” 1)я+2+»/3+ —, 3 б и р 203 3 6. Экстремум функции векторного аргумента и' =2х+2=0, и'„=2у+4=0, и =2г — 6=0 определяем единственную стационарную точку х = -1, у = -2, г = 3.
Находим вторые производные: и", = 2, и'„'у = 2, и,"» —— 2, и,"у = и", = и'„', = О. Таким образом, И И И и, и,у а„ ! 11 О »» »у =4>0, И О иу, иу» а'» =2 >О И О О »» у ау» ау =8>О, И И О а',и и*у и,г т. е, второй дифференциал а~а, согласно критерию Сильвестра, представляет собой положительно-определенную квадратичную форму. Следовательно, в точке (-1, -2, 3) функция имеет минимум (и м = -14). В 207, а = хз+ у + гг+12ху+2г. е Имеем и,=3х +12у=О, и'„=2у+12х=О, и',=2г+2=0.
ОтСЮда НаХОдИМ Стацнаиарима ТОЧКИ: ХГ = О, у» = О, г» = -1; Хг = 24, Ю ы -144, гг = -1. Далее, находим вторые производные а", = бх, а"у ж 12, и,", = О, и'„', = О, и", = 2, и,"» — — 2 и вычисляем в стационарных точках значения определителей О И и,» а,у И а»» О И и»у А» = ио», Аз = 1, Аз»О И И у иу» О И иу» ау» иу» И И И и»О и,у и',г В тачке (О, О, — 1) первый иа этих определителей обращаетсл в нуль, поэтому вопрос о существовании экстремума в этой точке требует дальнейших исследований.
из равенства гьи(0, О, -1) = О»х +»39 + О»гл+ 12 ь хну следует, что при»ух = гу, »Зу = »3г = О, »гх»и -г, г3у 1м г3г ы О, где Г ~ О, приращение принимает значения разных знаков. Следовательно, точка (О, О, -1) не есть зкстремальна. В точке (24, -144, — 1) Ад — 144 > О, Аз = 144 > О, Аз ж 283 > О, иозтому функциЯ в этой точке имеет минимум (г дз»и -6913). В 205 г (ха 1 уз)е 1' +у»1.
е Решив систему 'ж(2х-2х(хз+ут))е-'*"У'жО 'ж(23-2У(х'+У)) ""'=' г получим множество стационарных точек, состоящее из точки (О, 0) и точек окружности х + = 1. Находим вторые производные г"з ж(4х (хз+у ) — 12х +2)е гоз ж (4уз(хг + уз) — 12уг + 2)е гиу ж (4хУ(хг + У ) — 8хв)е Ы ег ~. Поскольку в точке (О, 0) ги» = 2, г„", = 2, г,"у = О, »ь(О, 0) = 4 > О, та в этой точке функция имеет минимум (г ы = 0). Длл проверки достаточных условий в тачках, принадлежащих окхоужнасти х + у = 1, т фукКцИЮ г будЕМ раССМатрнзатЬ КаК фуНКцНЮадиай ПЕРЕМЕННай Г ж Х +уг, т. Е.
г = 1Е ', дпя которой 1 = 1 является стационарной тачкой. поскольку вторая производная ги = (1 — 2)е"' отрицательна при Г = 1, то функция г имеет максимум. Таким образом, данная $уикцил (х, у) 1 г(х, у) имеет нестрогий максимум (га,„ж е ') в тачках окружности х +у = 1. В 206. и =хг+уз+гг+2х 1 4у — бх, й Из системы 204 Гд. 2. Диффервщкальиое исчпслеиие фуикции векториого аргумеита 208. и = х+ — + — + —, х > О, у > О, г > О.
у г 2 4х у х' и Иэ системы их=1 — — =О, и,= — — — =О, и',= — —— 4хг ' г 2х уг ' * у гг находим единственную стационарную точку: х = -, у = 1, г = 1. Затем находим вторые ! а г о г о а ! 2! а тг о 2 ! производные и * — —,, и„„= —.=., и,г = О, и, = — + г, и.„= --т, и,г = — + т и н о а ! о вычисляем их значения в стационарной точке; и г —— 4, и,„ж —, и,, = О, .и, = 3, а„', = Вычисляя определители (см, пример 202! А! = 4, 4г = 8, Аг = 32, заключаем, что в точке (г, 1, !г функция и имеет мкиимум (а„„,, = 4) и г1 209. и=ху г (а — х — 2у — Зг),а>0 И Решив систему и', = у г (а-2х-2у-Зг) = О, а„ж 2гуг (а — г-Зу — Зг) = О, и, = Зху " (а-г — 'г-4г' = О, летучим точку (-', -', -') и точки (О, у, г), принадлежащие прямой х = О, 2у 4 3; = а; точки (х, О, г), принадлежащие плоскости у = 0; точки 1х, у, 01, принадлежащие плоскости г = О.
Проверим, выполняются аи достаточные усаовия аокааькото экстремгма. С этой целью наидем производные второго порядка и", = — 2уг гг, и" = Зугэ(а — 2х — Зу — Зг), и,", = Зуггг1а — 2 " — 2у - 4г), и'„'г = 2хг (а — х — бу — Зг), и', = 6хуг (а — х — Зу — 4г), и"., = !',ху г(а — г — Зу — Зг!. (1) ( В точке ('-, '-, -! имеем и,", = — —,, и",„= — —, и',г = — —,, и', = — — „,, и,', = -=;. !7' 7' 7 ° а э!а! и',, = — —,, А! < О, Аг > О, Аг < О, где А!, Аг и Аг — определители квгдратичнои формы.
гг Отсюда заключаем, что в этой точке функция имев~ максимум (иигг ж —,, ) . Пользуясь равенствами (1), записываем второй дифференциал функции и з точках (О,у, г); аги Зуггг(а„!+2(хйу+2аха. По виду дифференциала легко убедиться, что оп может иметь противоположные знаки, т. е. ие является зиакоопредепеиной формой от переменных !(х, !(у и аг, а поэтому в точках (О, у, г) экстремума иет. Записывая второй дифференциал в точках (х, О, г): а' и = 2хг (а — х — Зг] йу . г г г убеждаемся, что при а — х — Зг уа О, х = О, г ф 0 ои представляет собой зиакоопределениую форму. Следовательно, в точках (х, О, г) при условии, что а — х — Зг ~ О, х ф О, г И' О, фуикция и имеет нестрогий экстремум, равный нулю. В точках (х, у, О) второй дифференциал тождественно равен нулю, однако !(~и ж бхуг(а— х — 2у) аг~ ж О, поэтому ати точки не ввяяютск экстремальными. й 210.
и = шп х+ ып у + мп г — мп(х + у+ г), 0 ( х ( х, 0 ( у ( х, 0 ( г ( х. и Имеем и = сохх — соа(х+у+г) = О, иа ж соху-соз(в+у+я) = О, и, = соля 1 соа(х+у+г) = О, Решив зту систему, получим три стационарные точки ($,2,$), (0,0,0), (,, ). 2 б. Экстремум функции векторного аргумента 205 Проверим, существуег ли экстремум в каждой из этих точек. Вычисляя значения вторых производных и,„ = яв(х + у + «), и«, = яп(х+ у+ «), и и„= яп(х+ у+ «) и,« =-япх+яп(«+у+«), и„« — — -яву+ив(«+ у+ «), и,« = — яп «+ял(х + у+ «), Г и в точке (-, —,, -',, потучаем и', = -2, и ' = — 1, 2/ 2 *1 Отсюда следует, что Э 1 Л и„« и,'э и„~ о ~и,, и«~ и„и'2 ( э' Таким образом, в точке (-", -', -) функция имеет вокальны« макснмуч (аэ„„= 4). 2' 2' 2 В точках (О, О, О) н (к, х, х) функция лмеет краевой мннкмум, равный нулю.
Зто следует нэ того. что прн лк2бых приращениях Лх. Ьу, 21 неэаюсенМЫХ ПЕреМЕННЫХ ИЭ сбластн 0 < . т, 0 . ~у < т. 0 < б«< х, но таких, что 0 < Ь« + 2ьу+ «11 < г, сгравегкивы неравенства 12и(0, О, 0) = и(1лт, Ьу, Ь«) — и(0, О, 0) = и(Ь«. Ьу, «2«) =- = яд Ь« -1-ял йу+«Ы 21 — эв(б« т."лу.1- 2«1> О, Ьи(х, т т) = и(г — Ьх, т — Ьу, т — «2«) — и(т, г, т) = и( 1«, 11у, .21) > О.
э. 211. и =- «1«2 .. «~(1 — «1 — 2«2 — ... — и«„1, «1 > О, хэ > О, .... х„> О. ч Приравнивая к нушо частные прок«водные первого порядка, получаем систему для определения стационарных точек. и' = 2«1х 1«, ... -,",(,". — «2) = 0 2-; Э 2 3-1 и„= Зх1х,х, ... «,,(н - «1) = о, 1ДЕ 22 = 1- «1 — 2«2 — ... — ит . Так как х, > О. 1 = 1, э, то стацнонарныс точки должны удовлетворять системе я — х1=0. 1=1, (1) В системе (1) из первого уравнения вычтем второе, нз второго — третье и г. д В результате получим систему -х +«41=0, «=1,и — П нз которой следует, что «1 = хэ = ... = х, Пользуясь этим, нз первого уравнения системы (1), которое в этом случае запишется в виде 1-х1(1+2+...+и)-хг = О, находим стационарную 2 точку х, = хэ = .,. = х = -2 — л-.
и +о22' Найдем производные второго порядка 2 З и,э = -2«эхз ... *, и 2 ю Й(Й вЂ” 1)«1«2 ° ° хь .. «и(Р— хь) — Й(Й+1)«1«2 ... «ь ... х, Й = 2, и, и,„.„=йшхгхэ" ха "х» " хэ(Р-хь)-Йш«1«2" х» " *. Й я=1 и ЙФш. 2 2-1 Обозначив через х общее значение координат стационарной точки х = «1 = Хэ = ...
= Х„= 2 л =22„42 а Чврез а1 — ЗиаЧЕиня производных иэ,э, В СтацНОНаРной точке, и заметив, что в стационарной точке 22 — хь = О, Й = !,и, получим ээеи-2 эаи-2 и 2 аю =иээ = 2х 2, аьь =и 2 я -Й(Й+1)х 2, аа», — — иэ « =-Йнах 2 . (2) 1 ь 21, « 20б Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций векторного аргумента Для исследования зиакоопределеннооги квадратичной формы з %» » Н во» хз ам с(х,йхм ай с»о,с,, ,з»с (3) вычислим определитель аы аю асз ... асм азз озз ° ° оз» азз азз ... аз, ам А = азс (4) а»о аво ... а» + -с 2 Согласно формулам (2), из й-й строки определителя (4) выносится сомножитель (-1) хе позтому 2 2 3 4 1 3 3 4 1 2 4 4 ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
