Anti-Demidovich (Lyashko I.I., i dr.). Tom 2. Ryady. Funkcii vektornogo argumenta (2001)(ru)(T)(223s) (940507), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Замена иеремеииык применяя преобразование Лежандра дх дх дх дз Х= —, У= —, г=х — +у — — з, а*' ау' ах ау где г = г(Х, У). и Предполагаем, что функция з = «(х, у) удовлетворяет условию (2) дХ д' дХ д' Дифференцируя третье из РаВенств (1) па х н по у и учитыВая, что д„— — д г, т = д,д дт д~ з'* †, — = †, получаем дг дгз аг а' а*.
а'. аг д" аг д" д" а" — — + — — =х — +у —, — — + — — ых — +у —. дХ дх' дУ дудх дх' дудх' дХ дхду дУ дуг дхду дуг Отсюда, в силу условия (2), находим дг дг х= —, у= —. дХ' дУ' Далее, дифференцируя равемства (3) по х и по у, имеем две системы; дгдх дг дз дг дг дг дз 1= — — + — —, 0= — — + — —, дХг дхг дХдУ дхду' дХдУ дхг дУг дхду дгг дгх дгг дгз дгг дгз агг дгз О= — — + — —, 1= — — + —— дХг дх ду дХ дУ дуг ' дУ дХ дх ду дУг дуг с определителем отличным от нуля: '~ = — ф. О.
Поэтому указанные системы однозначно а(х т( т определяют вторые производные: дгя д'Я д'З дг» дгз дгг д3 г дх ет дХг (4) дх' 1-' ' дхду 1-' ' дуг 1-' ' Используя равенства (1) и (4), записываем преобразованное уравнение в виде дгг дг а'г А(Х, У) — — 2В(Х, У) — + С(Х, У) — = О.
> дУг ' дХ дУ ' дХг Упражнения для самостоятельной работы 128. Принять у за новое независимое переменное и преобразовать уравмение у — ху + а ,г е"у = О. 129. Преобразовать уравнемие у'уд' — Зу' = О, приняв независимое переменное х за функцию от у. 130. Принять у за новое независимое переменное и преобразовать уравнение у у'" — 100'„дум+ Убудз = О.
131. В уравмемии х уи + Зху' + у = 0 положмть х ы е'. 132. Преобразовать уравнение х у'д+ 2хгуо — ху'+ у = О, положив ( ы 1в х. 133. В уравнении (х + я) уд' + 3(х + о) уе + (х + е) у + 1у '= О положить 1 ю 1В(х + я), 134. В уравнении (1+ я ) уд+2х(1+ ха)у'+ у ю 0 положить х ы Збн 136. Показать, что уравнение дг с~ г ж зтг ЗФ+ ~. и+.-ы д. + (,ы — „,, "я)х = 0 18б Гл. 2, Диффереициальиое исчислеыщч фуикций векториого аргумеита при помощи подстановки х = -(в О321 преобразуется к виду у + 4гл у = О.
ы ы а 136. Преобразовать уравнение (1 — хз)зуд - 2х(1 — хз)у'+ -~. = О, ы~ положив х =— омд1' Преобразовать к полярным координатам, положив х ж г соз х, у = г зш ус 1Е ны' 139, Преобразовать уравнение ы приняв за иовый аргумент Г ж —. 140. Преобразовать уравнение ху~ — х Я) +323 = 0, взяв за аргумент у и за повую фуикцию з = 1а у. 141. В уравнении х — * + у в — г = 0 положить з = х, о ж " и припять и и з за новые д* д* д ды ы независимые перемеипые. 142.
Преобразовать уравнение (х+ выы) — *+ (у+ вы) — ' = О, приняв и и з за новые независимые переменные, если и ж х, з = Л вЂ” -. Приняв и и о за новые независимые перемепные, преобразовать следующие уравнения: 143. т,т + у-г + оо з = О, 2х = и — о, у = из. дыы доы З 3 2 144, — $ + 2хуз ф + 2(у — уз) д— '+ х у ы = О, х = из, у = -„. з'ы да о СЛ Преобразова опер р лалла Ьи= д ы+ —,„ы+ д» пол аж 143. х = с од, у = -'(д~ — а ), з = з. 146. х ж а сЬ 6 соз х, у = а з(ы 6 мл р, ы = з. ~ 5. Формула Тейлора 3.1.
Формула Тейлора. Если функция х ~-~ ~(х), х Е Я(те, 6), х = (хм хз, ..., х ), хо = (хй, хзо, ..., хо ), является и+ 1 раз дифференцируемой в окрестности Ю(хо, 6), то для всех точек втой окрестяости справедлива формула У(х) = У(хо) + ~ ' — ~(хг — х,) — + ... + (х — * ) †) У(хо) + 6(о(х), (1) "16,д . д р(, дуы д* о 1 где В (х) = —, ~(хо — х,) — + ...
+(хж — х,"о) — ) у(хо+В(х — хо)), 0 < 9<1. (в+1).1 дх, "' " "дх У' 181 5 5. Формула Тейлора 5.2. Рид Теилора. Если функция г ь 3(г), г б Я(гз, б), бесконечно дифференцируема м йш Л„(г) = О, то зта функция допускает представление в виде степенного ряда д з д Лг)жп*)+~:-'((. -*',) — +" +(х--*') — ) ~( ), Ы1 дхд дх ь=г который называется рядом Тейлора дяя функции 7 в окрестности Я(гз, б), Частные случаи формул (1), п,бд, и (1), п.5.2, при гз — — О, О ж (О, О,..., О), соответственно наызваются формулами Маклорена н рядом Маклорена. 177. Функцию У(х,. у) = 2хз — ху — уз — бх — Зу+ 5 разложить по формуле Тейлора в окрестности точки (1, — 2). ч Данная функция имеет непрерывные частные производные любого порядка.
Поскольку зсе частные производные порядка выше второго равны нулю, то остаточный член Я„Уп > 2 обращается в нуль, и формула Тейлора принимает следующий вид: йх' у) У(1' 2) + а ( 1) + (у + 2) + +- ' (х-1) +2 ' (х — 1)(у+2)+ ' (у+2) . (Ц ду~ Находим частные производные: дф(х, у) дф(х, у) =4х — у — 6, = -х — 2у — 3, дх ду д~у(х, у) Озу(з, у) дзу(х, у) дх~ ' дх ду ' дуз Вычисляя в точке (1, -2) значения функции и ее производных у(1 2) 5 ОУ(! -2) О ОУ(1 -') дх ' ду 3~у(1, — 2) бзу(1, -2) Озг(1, — 2) Охз = 4' дх Оу 1' дуз и пользуясь разложением (1), получаем Дх, у) = 5 + 2(х — 1)' — (х — 1)(у + 2) — (у + 2)'.
и 178. Функцию 1(х, у, з) = хз + уз + зз — Зхуз разложить по формуле Тейлора в окрестности точки (1, 1, 1). ч Поскольку все частные проиаводные порядка выше третьего равны нулю, то остаточный чяеи Я формулы Тейлора равен нуяю дяя всех я > 3. Следовательно, в данном случае формула Тейлора принимает вид ( ) У ( 1 1 1 ) + ИУ ( 1 1 1 ) + 2 Ы У( 1 1 1 ) + ФУ ( 1 1 1 ) где Ых = х — 1, бу = у — 1, Ыз = з — 1.
Вычисляя в точке (1, 1, 1) значения функции и ее дифференциалов У(1, 1, 1) ж О, Ф(1, 1, 1) = О, " У(1 1 1) = 6 ((х — 1)' + (у — 1) + (з — 1)' — (х — 1)(у — 1) — (х — 1)(з — 1) — (у — 1)(* — 1)), о У(1, 1, 1) = 6 ((х — 1) + (у — 1) + (з — 1) — 3(х — 1)(у — 1)(з — 1)) Гл.
2. Дифференциальное исчислеике функций векторного аргумента 188 и пользуясь разложением (1), получаем Г(х, у, х) = 3((х — Ц +(у — Ц +(э — Ц вЂ” (х — Ц(у — Ц вЂ” (х — ц(х — ц — (у — Ц(х — Ц)+ + (х — ц + (у — Ц + (з — Ц вЂ” 3(х — Ц(у — Ц(х — Ц. и 179. Найти приращение, получаемое функцией 1(х, у) = хэу+ хуэ — 2ху при переходе от значений х = 1 у = -1 к значениям хэ = 1+ Ь, уэ — — -1 + Ь. и В данном случае разложение функции па формуле Теилора в окрестности точки (1, - Ц можно записать в виде Ьу(1, -Ц = ((х, у) - Г(1, -ц = ' (х - ц + †' (у + ц + д((1, -Ц д2(1, -Ц дх ду +' "~('-Ц(х цэ+г"2(1,-Ц(х 1„+ц д Х(1, Ц, +ц, + 1 (д'У(1, -Ц,, д'У(1, -Ц 3! 1 дхэ дхэ ду +3 ', (х — ц(у+ц + ', (у+ц дУ(1 Ц 2 дэ(1 Ц э Полагая здесь х = 1+Л, у = -1+Ь и вычисляя указанные производные, получаем ээг(1, -Ц = Ь вЂ” 3Ь вЂ” Ьэ — 2ЛЬ+Ьэ+Лэй+ЬэЛ. и 180.
В разложении функции 1(х, у) = х" по формуле Тейлора в окрестности точки (1, Ц выписать члены до второго порядка включительно. М Находим сначала частные производные да третьего порядка включительно: У,'(х, у) = ух", Гэ(х, у) = х" 1а х; гэзэ(х, У) = У(У вЂ” Цх", тоз(х, У) = (1+У)вх)хз ', тэлэ(х, У) = Х")в" х; ую(х, у) = „( -Ц(у-2) э э, у~и„(, у) хз (2у-1+у(у-Ц1 ) т э, уэотэ(х, У) =(У!вэх+21пх)х" ', 1эоэ(х, У) = х"1вэх.
Затем вычисляем значения функции и ее производных первого и второго порядков в точке (1, Ц; э(1, Ц = 1, ээ(1, Ц вЂ” 1~ эз(1, Ц вЂ” О, эээ(1~ Ц = О, ээз(1, Ц 1, этэ(1, Ц = О и записываем дифференциалы первого и второго порядков в этой точке: бГ(1, Ц = Ь, б'У(1, Ц = г дх ду. Искомое разложение запишется в виде У(х, у) ж У(1, Ц+ гД1, ц+ -3'У(1, ц+Яз(1+бдя,1+Оду) = =1+ дх+ дхду+ Вэ(1+бдя, 1+Оду), где бхжх — 1, Мужу — 1, О(В<1; тсэ(х, у) = — я э(х, у) = 1 б — — ~)х +3 ~у(у Ц(у — 2) ) з 2у 1+у(у — Ц)пх о зо у1в я+21ах э э е з б~ хэ хз дх ду+ 3 х деду + 1а яду 181. Разлоисить по формуле Маклорена до членов четвертого порядка включительно э л, )= д-тс-~е .
2 б. Формула Тейлора 189 < Наладим дифференциалы функции у до четвертого порядка вкюочнтельна: 1 1 у(х, у) = (1 — хз — уз) 2, г(у(х, у) = -(1 — х — Уз) 2 ( — 2х Ых — 2У г(у), 2 з 1 4~Дх, у) = --(1 — хз — у ) 2(-2хйх — 2уйу) + -(1 — хз — у ) й(-242 — 24У ). 4 2 3 з г(~Ях, у) = -(1 — хз — уз) р(-2хйх — 2уйу) — -(1 — хз-у ) й( — 2хйх-2уяу)(-2ях — 2ЛУ ), 8 4 15 г 4 у(х, у) = — — (1 — х — у ) 2(-2хах — 2уйу) + 1 16 з з +-(1 — * — у') 2(-2хйх — 2улу)'(-24х' — 2ху') — -(1 — х — У ) 2(-21(х — 2ЛУ ) . 4 4 Полагая здесь х = у = О, Ях = х, Йу = у, получаем у(0, О) = 1, зг(0, 0) = О, озу(0, О) ж -(х +у ), езу(0, О) = О, язу(0, О) = -8(х +у ) .
Теперь легко записать требуемое разлолсение; у(О, О)+ йда, О)+ — йу(О, О)+ — йу(О, О)+- й((О, О) = 1 — -(х'+ у') — -( '+ У')'- .... М 182. Вывести приближенные формулы с точностью до членов второго порядка для соз х 1+я+у выражений: а) —; б) агс10 —. сову' 1 — х+у а) Пользуясь формулами сает =1 — — +о(2 ), — =1+0+4 то(У ) 22 2 2 2 1 — у справедливыми соответственно прн 2 0 и у О, получаем 2 1 2 1 2 2 2 2 2 Х вЂ” у ж1--х +-у +х 2(у )+у о(х ) 1 —— 2 2 2 б) Обозначая 1(х, у) = агсгб —,, вычисляем у(0, 0), ву(О, 0), езг"(О, 0): У(0, О) = агсзб 1 = —; г(У(х, у) = зг 2(1+ у) Ых — 2х еу 4 ' ' (1 — х + у)2 + (1+ х + у)2 ' 4(0, О) = з(х; й .г(х, у)— -(2(1 + у) лх — 2х яу) (2(1 — х + у)( — ах + Ну) + 2(1 + х + у)(Ых + Ыу)) ((1 — х 4 у)2 + (1 + х + у)2) а~у"(О, О) = -24хлу.
Далее, пользуясь формулой Маклорена г'(х, у) — У(0, 0)+ яУ'(О, 0)+ — а У(0, О) + ..., где ях = х, йу ж у, получаем искомую приблизкенную формулу 1+в+у зг агсгб ж — + х — ху. > 1 — х+у 4 183. упростить вырикение ое(х+ у+ х) — сов к сов у сов 2, считая х, у, з малыми по абсолютной величине. М Используя формулу Маклорена для сает, имеем 1 созхж1 — —, созуж1- —, сазхж1 — —, сол(к+у+2)ж1 — -(к+у+в) . 2' 2' 2 2 190 Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций вектораого аргумента Заменяя в дамном выраженим косинусы полученными приближениями и отбрасывая величины выше второго порядка малости, находим 1 соз(х+ у+ з) — созх соя усов з ш 1 — -(я+у+ з) — ( 1 — — ) ( 1 — — ) ( 1 — — ) = 2 ж1 — -(х +у +з ) — (ху+хз+уз) — 1+-(х +у +х )--(х у +х з +у з )+-х у з 1 з з з 1 з 2 2 1 2 з з 3 2 2 1 2 3 3 2 2 4 В -(ху+ хз+ ух), !ь 184.
Функцию Р(х, у) = -(У(х+ Ь, у) + У(х, у+ Ь) + У(х — Ь, у) + У(х у Ь)) - У(х, у) 1 4 разлоясить по степеням Ь с точностью до Ь». < По формуле Маклорена, имеем з з Х(х, у) = — У+ЬУ, + — у»з+ — У,'~+ — У,» +о(Ь )+ 1 с Ь» Ь» Ь»ч» 4~ ' 2 * б 24* з з » з з » Ь сс Ь» Ь ш +У+ЬУ„+ У„,+ У„,+ У„, +о(Ь)+У-ЬУ.+ — У.,— — У..+ — У. +о(Ь)+ Ь» Ь „, Ь»сс 2 з » Ь» Ь ч» + У вЂ” ЬУ + — У» — — У'»+ — У с + о(Ь ) 2" б" 24" где значения функции У м ее производнык У!"1, в ю 1, 4, вычислены в точке (х, у).
После приведения подобных получим Р(х, у) (Уз» + Уз») + (У» + Уз»)+ 0(Ь ). в 185. Разложить по степеням Ь и Ь функцию 1.„У(х, у) = У(х + Ь, у + Ь) — У(х + Ь, у) — У(х, у + Ь) + У(х, У). и Сначала запишем разложение функции (Ь, Ь) м У(х+Ь, у+ Ь) по формуле Маклорена: ( ) ( ) дУ(х, у~ д~Ях, у) Ьз дзУ(х, у) дх ду +2 дз + +ЬЬ ' + — ' +»' — (Ь вЂ” +Ь вЂ” ) У(х,у). (1) дзУ(х,у) Ьз дзУ(х,у) " 1 У д д!" дхду 2 ду ' в! (1 дх дуУ' »з Представляя символическую запись в-го дифференциала в следующей форме: м ж д д т-с в. „„д" У(х, у) дх ду) ' л-~ »в!(в — »в)! дхс» ду» '» »з в! „„.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
