Anti-Demidovich (Lyashko I.I., i dr.). Tom 1. Vvedenie v matematicheskij analiz, proizvodnaja, integral (2001)(ru)(T)(358s) (940506), страница 22
Текст из файла (страница 22)
М 233. Доказать, что !пп пзш(2г'егг!) = 2г'. м Имеем (см. пример ВО) е = 1+ 1+ 3г + ... + — „, + — „",, О < д» < 1, причем — у. 1 1 1 в.+, В„= = » ° »!(е — у») =» ° »'. 1+1+ —,+ ... + — + + ! — у» 2! и! (и+ 1)! (гг+ 1)(п+ 1)! ,/ у»в! ! и пу»+! =и»! + ) = — + — г1 при и-»оо„ ( (»-!-1)! (и-!-1)(».1-1)!) гг-1-1 (»+1)г Пользуясь этим, получаем Гл. 1.
Введение в анализ Построить график предлагаем читателю, м 236. Построить кривую ГЬЕь + Ь1" = ° и ь -„-ось»с» ь, ~ ~оь П!оь! 1-'.-1Поь,с )х!" + ьу)" пьахДх/", (у(") (см. пример 72), и, следовательно, х х х 1 238. Бпь ~соз-соз- ... со — „~, я ~О. «о«1 2 4 2»)' Ч Умножив и разделив на 2" з1в — *„выражение, предел которого ищем, найдем о и-Ь соз з„ь 2 зьв з„ь о соз — соз— — 1ььп Бш ь сов — соз — ...
соз — 1 и ьпь. 2 4 2/ 2» зш 2" зьв х ь— з1в х Бш —.,ь = —. °, -и х зш ь х Бш зьа х -и 2" з1в — * 2 239. Пусть 1ьп. — = ((*) о ф(х) при гп Е (ь( и ьь > Ф(е) . Доказать, что 1, ГдЕ Ь)ь(Х) > О И О „и =Г О, т б 1О, Прн П ОО, т. Е. ЬО,«„) < З Бш (ььо(пьп) + Ьз(пз ) + ° ° + оо(опп)) = Бьп (ьььь(пьп) + ьььь(пгп) + ° ° + Ф(опп)) (1) предполагая, что предел в правой части равенства (1) существует. Ч Поскольку Бьп Я1 = 1 н и и =1 О, то ос > О Льь' = ьь"(е) такое, что оьь > 11ь о — о Ьо(о пп) 1 — е< <1+с, т=1,п, О( -) откуда, в силу условия Уь(х) > О, имеем 1 — < ( и) " ' <1+ й(оь ) + Ф(аз ) + " + Ф(п ) Исходя из зтого неравенства, а также из условия существования предела в правой части равенства (1), заключаем, что предел числителя существует и равен пределу знаменателя.
ьь Используя равенство (1) предыдущего примера, найти следующие пределы: и 240. Бпь ') ь„)ь1+ —, — 1 Зп! ь ь4 г + ьь' - ь (1 ь ьп " " +„'"' „ - * з ь ь1ь. и оо оо ' Ьпах ()х), ьЬу) ) т, е. шах((х(, )у~) = 1 и графиком служит контур квадрата с вершинами в точках (ж1, ж1). Это следует из того, что точки А(ж1, (у(), )у! < 1, ВЩ, ж1), )х) < 1, принадлежат графику. м Найти следующие пределы: 237. Бш ((1+ х)(1+ х )(1+ х ) ... (1+ хзп)), если (х( < 1.
ч Умножив и разделив выражение, находящееся под знаком предела, на 1 — х, получим Бш ((1+ х)(1+ х')(1+ х') ... (1+ х и)) = (1 .2)(1+ ь)(1+ ь) (1 1,зп) 1 зп+ь 1 — х оо 1 — х 1 — з 17. Предел фунхции ь й ф+ — -1 г м Поскольку !ии и зпг г - й«Ь в(в+1) йп и- пг 6 241. Иш ~ь 'вьи — '. 9а и пг ! — -! йд вй — „г < Здесь 1пи —" = 1 и — =$ О при в — » со, поэтому имеем О у т . Оа И!и ~ в!и = Йп г и» В и «г йи! »1а . аьь(п + 1) а — = й вг = и „ 2вг = 2. 1, а)1.
243. йи П (1+ —,) . й=! < Имеем ь П (ь» ь) =,и( ьь ~ь (ь ь «) ~. й=! 1. й ( +Ь) = 1 и — „, =г О при п -» со, то 1п Поскольку Бш и ! г аа! Вг (и ги 2вг йи! 244. Би Псов — ' Аа и» вь/пь йи! М Легко убедиться, что 1и йи Поэтому и ( и Аа ььа йи П сов — = ехр ~ 1ии ~~» 1п сов п ю в!/ьвь и ь пфь ~ йи! й=! хи» й а 1 ( , в(в + 1)(2в + 1)а 1 = ехр — Лш вй — = ехр — Йп и пг 2вз 1 и и 2 6 вз й=! — е в 1п ь 242. Ыш д~» ' ~ьа О й«Ь а т — 1 и Имеем йи — 1иа «г и / 1ии ~Д» 1 а й«Ь 1 (см. пример 153), а —, ь О при п -» оо, то й = 1 (см. пример 197, а)) и т =7 О при п — » оо. Таким образом, т- ° ь11иа . ьь(п+11 1 — 1 = Йи ~ — =1иа йи — '-= — 1иа.
Ьь 2~ вг и-ш 2пг 2 йи! (сььв ~ ) дг г =1 и — =70 при в — »оо. 2вз Гл. 1. Введение в анализ 94 В примерах 24$ и 246 перейти к пределу в показателе степени иа основании утверждения А). 245. Последовательность (х») задана равенствами х!»0 т/а, хо = х/а+ з/а, хо / а+ /а+ з/а, ..., где а > О. Найти йга х„.
» 00 < Заметим, что х„= т/а+ х г, в = 2, 3, .... Применяя метод математической индукции, убеждаемся, что последовательность х» =,/а+ х ! монотонно возрастает и ограничена Г! сверху, например, числом А > -+ 0/ — + а. Следовательно, по известной теореме, имеем йп! х»=!>ВО, 00 причем ! = т/а + 1, откуда находим, что »/4а+1+ 1 2 2400. Если иа[/] есть колебание функции У на сегменте [х — 4] 4 Ь, !г > О, то число ио[/] = йпг иь[Д называется колебанием функции / е о!очке 4.
Определить колебание функции У в точке х ж О, если: 1 1,1 / . 11 1 1 а) /(х) = ми —; б) У(х) ж — соз —; в) У(х) = х ~2+зги -г)г; г) /(х) = — агсгб — ° х хз х' х~' гг х М Согласно определеииго колебания функции в точке, имеем: а) ив[у] ж звр (ив -') — гв! (мп-') = 1 — (-1) ж 2, !0!ц» 10!»ь г иоЯ = йга ив[Я = !пп 2 = 2; ь-о л-о б) из[Я = зар (;ясов — ) — 1в! ( — ', созз — ) ~ зар ~-тсозз —,1 = хат~, где х— !0!сь 10!»ь ! щ-ц!44» целые числа такие, что [!0[я р г,.
Поэтому и»[у] = +со, из[а = +со; в) О 4 из[Я = зпр (х (2+ в!а -') ) — гв! (х (2+ згя -') ) 4 3!г — ( — 3!0) = 6!г, ! ась !мял »[Я = О, из[а = О; г) иь[/] = зпр ( — агс!6-') — 1в! ( — ' а!с!6 — ) = - — ( — 1) = 1; !нць ио[/] = Гнп иа[/] = йга 1 = 1, л-о а-о 247. Определить ! = !Оп /(х) н й = йгп/(х), если 0 О о .о1 2 1 /(х) = яв — + — агсФЗ вЂ”. х ог х М Поскольку гв! (зга — ! = О при х = х„= — —, и б !4, а 2! ! ! — »вЂ” 2 1 .
!2 11 йт — асс!6 — = гп! ~ — агс!6 -/Г = -1, » 00т ~т то г ! = Вп! [згп — + — агс!6 — ) = Йп (яп пт+ — агс16( — пх)) о ~ Х 00 гг 2 7. Предел функции — У. г 1 2 11 . ь . г т(1+2п) 2 т(1+2п) Ь = !пп (вьп — + — агсгу-)Ь = Ыьп ~яп + — агсьд = 1. О(, Х 2 х! 2 2 248. Пусть функция 2 ! е*, где 2 = х+ ьу, определена посредством равенства е' = йьп (1+ -) Показать, что е*+'" ла е*(сову+ !яп у).
Вывести отсюда формулу Эйлера! (2) еь" + е сову = 2 еьв - е '" япу = 21 м Представим последовательность и ь (1+ хь-'эь) в тригонометрической форме 1 л 2 *'+ у''1 ° и ~ 1+ — + — ) (сову!+!выл!я) ьь пг где ьг = агськ ф-, а затем применим формулу Муавра. В результате приходим к последова- тельности и хг «. уг 'ь г и ~ 1+ — + — (совььр+ьвьпььуг).
иг ! + О (1)) гл~о+лР?л) Е, й (гл .У О (1)) Х Прн И СО, тО Поскольку (1+ — * п (гл (л ! ) ') 1 ( 22 х~+у~тг / 2х х +у~ Ьг~? .ь 111 1 1+ — + ='~1+ + е в ог ~( и ег прн ьь со. Далее, согтасно примеру 223, ььх = и агстк — = и ( — + о ( — ) ) = у + о (1) !ь+ х ~!ь+ х и При ьЬ вЂ” ! СО. ПОЭтОМу (СМ, ПрИМЕр 175, а), б)) СОВ!!22 СОВУ, явор -л ял у Прн и СО. Таким образом, ( П)о Х + ЬУ'ьл 1+ ) -! е (сову+ ьяпу) при и ью, что доказывает равенство (2). Полагая в равенстве (2) х = О, получаем еьв = сову+ ьял у. Заменив в последнем равенстве у на -у, имеем е '" = сову — !яп у. (4) Из равенств (3) и (4) находим еьв+е сову = 2 е ." — е яв у = 21 Аналогично, поскольку впр (яп — ) = 1 при х = х„= —,, и Е ь«, а 1пп -агсту — = 2 11 г г 1 л(1+2 ) ' 'впр ( — агс1л — ) = 1, то Гл.
1. Введение в анализ Упражнении дли самостоительной работы Найти точную верхнюю и точную нижнюю грани Функции )": Е Е. Указать точки х, у б Е (если они существуют) такие., что у(х) = зар(у(х)), у(у) = !пГ(г(х)). Е Е 91. У(х) = —, ]х] (ю 1. 92. У(х) = —, х б ] — 1, 1[ЦО). 93. У(х)=*', ! «*2. 94. У( ) =х', -! «*2. ! хз, О<х<1, 96.
У(х) = ' ю г ' 96. 1(х) = агсзщ(з)ах), х б И. 9Т. 1(х) = агссоз(сох х), х б И. 98. 1(х) = агс!8 —, х )Ь О, у(О) = О. 99. Определить колебание функции г(х) = -', х б И)1(О), на интервалах: а) ]10 2, 10 е[; б) ]10 " ', 10 "[; в) ]10 ", 10" [; г) ]!Ое, !О" [; д) ]10", 10"+'[. 100.
Определить колебание функции у(х) 32 яп — на интервалах: 1 Показать, что; 101. (1+ х) — 1+ ох+ -! — !х + о(х ) при х » О. 102. к+ сох х = 0(1) при х О. 103. е '(1+х ')*=! — — х '+0(х 2), х>2. 104. (1+ х+ 0(х '))* = ехз+ 0(х ') при х оо. 106. (хег* ")" = 0(е* +*), е > О. 106. а) е'1*) = 1+о(х), х О; б) о(у(х) д(х)) = оЩх)) 0(д(х)), х хе. 107. ~/х = (Улез+ —,' )/хо "(х — хе) + о(х — хз), х — хе Найти пределы; 33134з +(лез -г,- 32гез +О2ге»-Оте»-23»!е» 3 -Е 32~7ВЕ-1 3 /ГЛ + — 32) Ее 3 2 3 2 2 110 (ип ' ' * 111 Н "" "* 112 1' * е а+» — »в 3»м13 2+ 2 ' е 3! 2 1 31 ) ю1 » / ) — — Л 116.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
