Anti-Demidovich (Lyashko I.I., i dr.). Tom 1. Vvedenie v matematicheskij analiz, proizvodnaja, integral (2001)(ru)(T)(358s) (940506), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Еш атос!де = атсстбхо. зг М Пользуясь тождеством атс!дх + атос!8 х = получаем йш атос!8 х = !пп [ —, — а«с!8 х) = г *-*г т2 †, справедливым при всех значениях х, г' г — — атстбхо = атос!8 хо ° 2 219. йп атсшп х = атсзтп хг, а ш Заметим, что если 0 < х < 1 — 1~~х. <1, то атсшп х = атстб — р==., а если 0 < х < 1, то атсшп х г Хт-зг атс«$8-т —. Поэтому для хо б ]О 1[ имеем х хо атстб = а«с!8 = атсзтп хо, /! - хг о 1пп атсшп х = Гпп В точке ха = 1 имеем (см.
пример 218) ~/Г хг !пп атсшл х = 1пп атос!8 = атос!80 = — = атсшп 1. ~-г .-т-о х 2 216, )Ьп о 1п(«ЬЗх) М Используя результаты решения примера 215, имеем !пп = 1пп зйгх (к+о(х))г . х+о х))г хг = 1пп = !пп à — = —. о !в(сЛЗх) о !и (1 ! хг ! о(хг)) з о - хг .! о(хг) з г - хг 9 Доказать следующие равенства; 21Т. Впт атстдх = агстбхо з г ~ Пусть хо > 0 и х > О. Положим алстб х — аж!8 хо = 1, Тогда для произвольного е > 0 имеем ]а«с!8 х — атстбхо[ =]1] ~< ]181] = ! ~ < ]х — хо] < е 1+ ххо как только [х — хо[ < о (е) = ю Таким образом, соотношение доказано для хо > О. Если хо < О, то доказательство сводится к уже рассмотренному случаю, поскольку атст8 (-х) = — атстб х.
Справедливость требуемого соотношения при хо = 0 вытекает из очевидного неравенства 0 < ]атст8 х — а«с!8 0[ = [атстб х] < [х[. ш 17. Предел функции Случай — 1 < хо < О сводится к уже рассмотренному, так как атсшп(-х) = — атсшв х. А поскольку для точки хо = О левое и правое предельные значения равны нулю, то доказательство завершено. Ь 220. 1пп атссоз х = атссоз хо, — 1 < хо < 1. о м Поступая аналогично предыдущему примеру и используя тождество л ассе!их+ ахссозх = —, 2 получаем требуемое соотношение. Оо 221.
а) йш агсобх = —; б) !пп агсабх = — —; о о 2 о--о 2' в) Ипе агсссбх = 0; г) Бш атос!Ох = т. Оо о 7 М а) Пусть с > Π— произвольное. Тогда из неравенства х > об (- — с) = Е(с) вытекает, что атсоб х > — — е, т. е. т О < — — агстб х < с ох > Е(с). 2 б) Имеем 1пп ассой х оо — !пп ассой х = — е. +о 3' в) Используя то, что агсссб х = — — атстбх, получаем /т х Иш агссФбх = 1пп ~- -атссдх) = — — — =О. О оо оа (,2 ) 2 2 г) Аналогично !ПП атеей Х = ЙП (- — атотб Х1 = — — (- -1 ж т, Ш о — оо о -оо ~2 / 2 з 2/ Найти пределы: 222 й атее!и ах а ~ О.
о о Х М Поскольку Иш атсшпх = О и !пп '— """ ж 1пп .'"и".о =1, то о о Вхс81п ах, ассе!и ах 1пп = !пп а ма, о х о ах 2ИЗ. Иш ""б'" а Оа О, о х ~ Из того, что йш асс!0 х = О, следует, что о агсо0 ах „атссб ах !пп а=а. Ш о х о о об(агсобах) 224. Бп, — '~'. ~'О=..'.-.'е'. М Поскольку !пп(агсоб(х+ Ь) — агссбх) = О, то а о атсоб(с+Л) — аостах . Фб(атсоб(х+Ь) — атсобх), х+Ь вЂ” х 1 1пп =!пп =Иш — ш а о Л л о Ь а о Ь(1.ьха 1-Лх) 1-1-хз 225. а) йш —,; б) 1пп 1 .
1 --о +о 1+ е* 1+ ей 1 М о) Если х — ~ -О, то - — со, а е* з О, поэтому 1пп — з- = 1. *--о ооон 1 1 б) Если же х +О, то „- — +со и — — О, т. е. искомыи предел равен О. Ь 1+о 226. Ипз е!п(т~/оез -!-1). 88 Гл. 1. Введение в анализ М ЗаПИСаВ ПОСЛЕдсзатЕЛЬНОСтЬ у„= В!П(я~/И~ + 1) В ВИДЕ у» = В!П(т(|Запад+ 1 — П+ П)), получим !пп ап(я,/дг + 1) = !пп в1п ((я~/н~ + 1 — зги) + згп) = »»з О = 1|щ ( — 1)" в|л ! зг(~/эа + 1 — и)] = Йп ( — 1)»ап = О. Ь / »»з ьззаь+!+и 227.
Ищ в!и'(та?гааз+ зь). О М Аналогично примеру 226 имеем Ьп айп (х~/тР + в) = И|л в!п~ ((я1ззгзьз + и — юг) + тазг) = » ь » = 1пп в!и ! т(ьь'из + зь — и)) = !пп в!п = 1. ф+-+ 228. Если Глп зз(х) = А и 1!щ ззз(х) = В, то следует ли отсюда, что 1пп зьз(р(х)) = В? в в а Рассмотреть пример: х(х) = — при х = —, где р и д — взаимно простые числа и Зь(х) = О Ч Ч при х иррациональном; азз(х) = 1 при х ф О и зб(х) = О при х = О, причем х О.
м из условия примера следует, что для произвольного в > О существует такое а = л(в) > О, что ]за|(и) — В] < в, как только О<]в — А]<ьг, (2) т. е. неравенство (1) выполняется для всех значений и из л — окрестности точки А, исключая саму точку А. Далее, согласно условию задачи, для произвольного зг > О, в том числе и для о из неравенства (2), существует такое бз(а(в)) = б (в) > О, что для всех х, удовлетворяющих условию О < ]х — а( < б'(в), (3) функция в = Ф(х) удовлетворяет неравенству ]Чз(х) — А] < щ (4) причем,не исключается случай, когда р(х) = А.
Но при и = !в(х) = А функция з?з(и) = з?з(вз(х)) может быть вовсе не определена или же определена,но ее значение згз(А) ЧВ йш з?з(в), В обоих случаях неравенство (3) не обеспечи- А вает выполнение неравенства (1). Для того чтобы из условий Ищ Зз(х) = А, Ит зб(х) = В в в а вытекало равенство йзп з/з(дз(х)) = В, достаточноз чтобы ьв(х) ф А при х ф а. В предложен» ном примере зто условие не выполняется. м 229.
Пусть для всех х б ]хз, хв + 1], где хв — фиксировано, выполнены условия: 1) Р в(х) 3 О, й = 1, и; 3) ~~ Р к(х) щ 1; ь=з 3) И|п Р |1,х) = О при каждом фиксированном х; 4) Вьп в»(х) = !. Доказат|» что 1пп ! = 1, где !» = ~~з Р;ь(х) иь(х). С в=| м Пусть в > Π— произвольное. Из условия 4) следует существование такого числа Лг = Л!(вз х) > О, что ]и„(х) — !] < †' для всех и > Л'. Из этого же условия следует существование такого числа М > О,что ]з»(х)] < М, ]н„(х) — !] < 3М Уга б ?4, Из условия 3) вытекает существование такого числа нв = зав(в, х) > Лз, что Р»ь(х) < —, й = 1, Л1, зУза > вв.
4МЛ' ' 69 $ "ь. Предел функции Из этих неравенств н условий 1), 2) следует неравенство !г„— Ц = ~~ь Рсь(х)иг(х) — 1 ) Р„ь(х) < ~ Р л(х)(иа(х) — Ц = л=з ь=ь л=ь = Р„ь(х)!иь(х) — Ц+ Роз(х)/иэ(х) — Ц+ ... + Р зч(х)~ин(х) — Ц+ + Р нгДин+,(х) — Ц+ ... + Р (х))и (х) - Ц < — Л2М+ 4зь" М + -(Р„нег(х) +... + Р „(х)) < — + — = е ьььн ) нв. 2 2 2 Следовательно, 1йп г = 1. 230. Доказать теоремы Коши: если функция 1':]а, +со[-» й ограничена в каасдсл конечном инньервале )а, Ь(, оьо а) 1по — = Йп (у(х+ 1) — 1(х)); б) 1пп (у(х))2 = Впь г"(х),, ', у(х+ 1) у(х) ) с > О, Оо Х о +со г-е х о +оо Зг(х) предполагая, чпьо пределы в правых часнтх равенств существуют.
в) Доказать, что ясли Йв (у(х+ 1) — у(х)) = +оо и у" ограничена снизу на каглдом + конечном иноьервсле )а, Ь(, сьо 11ш — ' = +со. У(х) г +о Х М а) Для доказательства воспользуемся примером 229, полагая при этом, что х+1 1 Р„,(х) = †, Р„ь(х) = †, Й = 2, и, О < хс < х < <хс + 1, хс > а, х+и' х+н' иь(х) =, и (х) = У(х+ ьь) — ~(х+н — 1), и = 2, 3, .... йх+1) х+1 Тогда 1„= 2 Р„г(х) иь(х) = -~-д-1. Все условия теоремы выполнены, поэтому ь=ь Ьйпг =йш у(х+ и) = 1пп (у(к+ и] — ~(х+н — 1)) = 1.
Х+Н о Поскольку 1 не зависит от х, то иэ последнего равенства следует, что Ыш — = !пп (у(х+1) — 1(х)) =1. .ь (х) + Х +о б) Поскольку г"(х) ) с > О, то определенафункция Г(х) = 1в г(х). Пусть Бш "хгг оо Дг) Тогда, пользуясь теоремой пункта а) н возможностью предельного перехода в показателе степени, получаем требуемое 1ьпь (ь"(х))Р = йш ехр — ~ = ехр 1пп (!пах)) 1, 1в 1(х)1 о + +оо 1 Х +о Х У(х + 1) = ехр ~ )ььп (1ву'(х+1) — 1ву'(х)) = йьп = 1. Ео г +со У (Х) в) Для пронзвсльногс Е > О существует такое число хо > О, что при х > хс У(х + 1) — У(х) > 2Е.
Отсюда следует,что 1(х + и) — 1(х) > 2иЕ и Дх + ьь) Дх) + 2иЕ > х+ ьь х+н поскольку г"(х) ) с > О при хс < х < хо+ 1, то существует такое число нс, что 1(х+ и) >Е х+и 90 Гл. 1. Введение в анализ при тть > во, т. е. если ! тх х+ в, хо < х < ха + 1, в > яо, та И) — >Е, С что эквивалентно требуемому утверждению. м 231. Найти пределы: 1 ! а) Впь (1в х)7; б) йш (-) М а) Воспользуемся результатом примера 230, б), находим 1 1в(х+ц 1вх+1в (1 + ) ( 1п(1 + ) )пп (1вх)* = 1пп — )пп — )1ш 1+ * = 1.
о +то оо 1вх !ах !ах у б) Аналогично а) получаем 1 1 /11 Т о +оо Х о -~-оа 232. Доказать, что если: Ц функция у определена в области х > а; 2) ограничена в каждой области а ( х ( 6; 3) существует предел 1пв у(х + ц — у(х) хм конечный или бесконечный, то 1() ! )пп -+ х '"' то+1 м Пусть ! — конечное. Тогда из условия следует,что у(х+ о) — у(х+ я — ц ! Ынь „, (х+ я) '+1 — (х.).я — Ц'о+1 тп.!.1' Воспользуемся примером 229, полагая ( ! цт+1 ( ! «)то+1 ( 1 «цто+1 Р„ь(х) =,, Р„ь(х)— (Х + 1)о +1 « = 2, ть, О ( хо < х < хо+ 1, хо > а, П*+ц й*+ ) — Пх+ — ц (х+ ц ть' ( (х+ ть) +1 — (х+ в — Ц"+' ПОЛУЧИМ го = --О(-7-+) —,.
ВСЕ уСЛОВИя ПрИМЕра 229 ВЫПОЛНяЮтоя, ПОЭтОМу йш ! = 1по, = йпь и (х) = у(х+ ть) . ! о (х+ я)™+' — т+ 1 а поскольку предел — не зависит от х, то последнее равенство эквивалентно тому, что т+1 Д!) ! 1пв ь-+ ! +1 то+1 Пусть ! =+оо. Тогда иэ условия 3) следует, что !пв — О, (Х+ в)мт — (х+ и — цм+ оо )'(х+ п) — у(х+ я — ц а поскольку последовательность ((х+ )-+' — (. + — ц-")",, монотонно возрастая, стремится к +со, то таким свойством обладает н последовательность (дх+ть) — у(х+ и — ц)„,, 1 Т.
Предел функции Положив зш г»в г в '2ту =2х.м » 2ту» ! . , 2ту» 1пп и з1п(2!ге»!) = Ьп из!и !г2тп! у»+ — "г! = !пп»з!и —" »г Ып! 0» о г! со Построить графики функций: 234. у = Бп! т/Г+х", х > О. М Если 0 < х < 1, то 0 < ",/Г+ х" < т/2, и так как йш т/2 = 1, Если же 1<х<+гю,то г/Г+х»=х~/ — '„+1 и ~/ — '„+1 1 при» Ейп /Г+ х» = х. » оо 1, если0<х< 1, Следовательно у = х, если 1 < х < +со. Построить график предлагаем читателю. !» то Иш тт1+х" = 1.
оз, поэтому ' /„.г'!" 235. у = !ш! " 1+к»+ 1 — ), х > О. м Имеем /хг'3 1< " 1+х"+( — ) <т/3, если 0<х<1; [ 2) х< ~»1+х" +~ — ) =х" Н +Н +1<хъ/3, если 1<в<2; х — < ' 1+х" +1 — ) = —" ( — ) +~-) +1< — Л, если 2<к<+ос, 2 ~.) 2 А так как )!и! т/3 = 1, то окончательно имеем 2 1, еслиО<к<1, — х, если1<х<2, — если 2 < х < +!ю. /(х + Ц /(х + й) — /(х + й — 1) Р„,(х) — , Р ь(х)— й = 2,», О < хо < х < хо + 1, хо > а, и воспользовавшись примером 229, получим (х+ г!)»!+' Г» = Г Р»Ь(Х)»Ь(Х) = — г 0 Прн Г! — ! ОЗ, /(х+ и) откуда и следует требуемое утверягдение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
