Anti-Demidovich (Lyashko I.I., i dr.). Tom 1. Vvedenie v matematicheskij analiz, proizvodnaja, integral (2001)(ru)(T)(358s) (940506), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Число то б И назыеаетсЯ пРедельной пьочкой множестеа Х С И, если из этого множесззоеа можно выделить послгдоеапоельность (хо) различных пзочек, сходящуюся к хо. Определения 1 и 4 эквивалентны. Пусть |; Х И и то — предельная точка множества Х. Определение б (Гейне). Функция ( имеегл ззредельное значение при к -о ко (или о точке то), если существует поакое число А Е И, что для произвольной последовательности (ко) значений х б ()а, Ь('1(хо)), сходящейся к поочке хо, соопоестстеуюизая нослсдооательноспоь значений функции (((х„)) сходится к точке А.
Определение б (Коши). Функция ( имгепь предел при к ко, если ЗА ~ К Л уг > 0 3 б > 0: 0 < (к — хо~ < б ~ Г((х) — А( < г. При этом число А называем пределом (или предельным значением) функции ( в точке ко и записываем 1пв,((з) = А или У(к) А при т ко. оо Определения Гейне н Коши эквивалентны. Введем понятие одностороннего предела. Определение 7 (Гейне). Функция ( имеет е точке то предел слеза (спраеа), если сущеспзеуепз поеное чи~ло А Е И, чпт для произеольнсй последоеапоельноспои (ко) значений к, а < ко < хо (хо < к < Ь), сходящейся к точке хо при и -о со, сооптепостеующая последоеательноспоь (1(хо)) значений функции ( сходипося к тачке А.
Определение 0 (Коши). Функция ( имеепз е значке хо предел слеза (спраеа), если ЗА Е К Л ог > О Л б > 0: 0 < хо — х < б (О < х — то < б) е )((к) — А1 < е. З 7. Предел функции Число А называем пределом слева (сарова) функции у в точке хв и обозначаем 1'(хс — О) Щхс + О)) или йпз б(х) ~ Йп з (х) »»»-с 'э»»» Ео Функция у имеет предел в точке хо тогда и только тогда, когда в етой точке существувзт н равные между собой пределы слева и справа.
Теорема (критерий Коши). Функция у имеет конечный предел в точке хо тоеда и только тогда, когда уг > О 3 б > О:(О < )х — хс! < б Л О < )у — хс) < б) т Щх) — у(у)) < в. Особую роль играют два замечательных предела: 1 2) йп(1+ к) * т е. о 1) йпз — ж 1; З1П Х «-а Если 1пп У(х) = А, йпэ д(х) = В, то » «с « .«с йпз (Г(х)+ д(х)) = А+ В; йт у(х)д(х) = АВ; )ип -~»- = — (д(х) За О, В ЗЗ О). у(х) А «-»в «-»« -, д(х) В 7.2. Ограниченность функции.
Функция у: Х И, Х С И, называется ограниченной на множестве Х, если существуют числа т н М такие, что т < у(х) < М, х Е Х. Число тв = Ы (у(х)) называется точной нижней гранью функции ~, а числр Мз т «ех впр(у(х)) — п1очной верхней гранью функции у на множестве м. Равность мв — то иваы- «ЕХ вается колебанием функции у на множестве Х. Если функция У; Х -' И имеет конечный предел в точке хо Е Х, то она ограничена в некоторой окрестности етой точки. 1д(х)) < А)Х(х)), д = о(у) то записываем при х хс.
При этом функции г" и д называем функциями одного порядка при х -» хо. Если тг > О ЗЯ С Х О У Е В такое, что т'х Е Е кроме, быть может, самой точки хе, выполняется неравенство Ы )1< йх)! д = о(у) то записываем 7.3, Символы Ландау. Эквивалентные функции. Пусть хо Е Й, а В = (Х, У, Е, ...) — семейство всех интервалов пространства И, которме либо все содержат точку хо как внутреннюю, либо все они имеют точку хо своим концом только левым или только правым длл всех интервалов множества В. Тогда»Х Е В 11 «У Е В~Хс1УЕВ, ХЕВлЕСХ~УЕВ.
Пусть х = (у, д, й, ...) — семейство числовых функций, обладающих одним из следующих свойств: 1) для произвольной функции у Е с в множестве В существует содержащий точку хо интервал Х, на котором функция У определена, кроме, быть может, самом точки хе; 2) для произвольной функции у Е дз в множестве В существует интервал, имеющий своим концом точку хо, на котором Г' определена. Определение 1.
Если 1пп г(х) = О, 1по функция у называется бесконечно малой при »а х » ха, если Рап 1(х) = оо, пт функиия 1" называется бесконечно большой при х уе хв. *» Определение 2. Если дяя функций у, д Е с, г"; Х вЂ” И, д: У И, существует инптрвол Е С Х О У Е В, Х Е В, У Е В, и такое конечное число А > О, что чх Е Я, кроме, быпзь мамша, самой точки хс, выполнясп1ся неравенство Гл. 1, Введение в анализ при х -» ха. При этом в случае у(х) О, 1'(х) » 0 при х » хв считаем, что фунхция д есть бесконечно малая более высокого порядка, чем у; если же д(х) со, 1(х) со при х хв, то считаем, что бесконечно большая функция у имеет порядок роста ниже, чем 1".
Если существует интервал У Е В такой, что тх Е Я)(хо) у(х) ф О, то запись у = О(1) означает что отношение д(-1 ограничено црн х Е У1(хв), а запись у = о(1), что -1-). -» О Л*) Л») прн х — хо. Символы О и о называются символами 7аидаи. Определение 3. Фрикции у и г' называются зквивалеипгиыми, если г" — у = о(у), т.
е. воли тв > 0 эУ Е В таков, что тх Е Х),(хо) выполняется неравенство !Х(х) — у(»Н < )д(х)! При этом записываем у у, а равенство У = у + о(д) называем асимптоп>и»вским равенством. Пусть Л уЕУ' и д(х) >ОУ»ЕУ ЕВ,тогда уса йп — =1. У( ) »о у(х) Справедливы асимптотические равенства э1вх = »+о(х), 10х = х+о(х) при х О. 7.4. Частичные пределы. Если для некоторой последовательности (х ) значений аргумента функции г, сходящейся к хв, справедливо равенство )пп,г"(х») ж А, то число А называется частичным пределом СО функции г в точке хв. Наибольший и наименьший частичные пределы обозначаем через йш г(х) н )1ш у(х) и называем соответственно вврхмим и нижним пределами фрикции г" в в»в »о точке хо. Очевидно, Н йш Х(х) сэ йлг у(х) = ))ш У(х) 7.3.
Предел функции комплексной переменной. Определение 1. Нослвдоваглвльиосоюь О( С; и»»» называется сходящейся, если В» Е С Л Чв > О эт Е Й: Уи >»п ~ )»» — »~ < в. Аналогично последовательность комплексных чисел (»„) сходится к оо, если у)у Вт Е р(: уя >»и ~ ~»»~ > )у Последовательность (»„), где»„= х„+ 1у„, сходится к точке» = а+ сй тогда и только тогда, когда ))ш х =а, йш О„=Ь. Пусть»в — предельная точка множества Р С С. Определение 2 (Гейне).
Функция»»» )'(»), » Е Р, Р С С, имеет предел при» -»»в, если ВА Е С Л'»(» ) С Р~(»о): )пп» = »в ~ 1цп ) (»») = А. » Определение 3 (Коши). Функция»»» у(») имеет предел ири»»в, если ЗА Е С Л 'тв > О В Ь > О: 0 < )» — »э( < 6 ~ ))'(») — А) <».
133.. Показать, что функция ж и, если х = —, где т и и — взаимно простые целые числа, »' О, если х — иррационально, конечна, но не ограничена в каждой точке (т. е. не ограничена в любой окрестности этой точки). м Пусть х = — — произвольное рациональное число, Тогда та = — — при Ь оо, — д й~+ 1 Я ьв 9 т. е. попадает в любую окрестность точки х = "-. А так как г(г») = Ьу -» оо при Ь со, то в функция у не ограничена в любой окрестности точки х. 17. Предел функции Пусть, далее, х = о, где о — иррациональное. Тогда существует последовательность рациональных чисел г, = г», ь б 111, такая, что !пп г— ' = и. При этом йп йл = +со. По- 9 г ээ СКОЛЬКУ У 1 С» = ЬД +Ос ПРИ 1 ОО, а тоЧки поСЛедОВатеЛЬноСтн К'- поПаДаЮт в Любую ~"*/ »чь у окрестность точки и, то функция не ограничена.
Ь» 134. Если функция ь' определена и локально ограничена в каждой точке; а) интервала, б) сегмента, то является ли эта функция ограниченной на данном интервале или соответственно сегменте? Привести соответствующие примеры. м а) Вообще говоря, нет. например, функция у(х) = 1 ограничена в окрестности любой точки интервала ]О, 1[, но не является ограниченной на этом интервале, так как у(х») "» +оо прих = — О,а 0<х»<1приь»=2,3,.... 1 б) Функция ограничена. Для доказательства предположим противное: пусть функция неограниченная. Тогда для любого натурального числа и существует х» б [а, Ь], где [а, Ь]— сегмент, указанный в условии задачи, такое, что у(х») > и.
А так как а ( х» ( Ь (т. е. (х„) — ограничена), то существует подпоследовательность (х» ), (хьь„) С (х»), такая, что !ьпь ха„ = с б [а, Ь], По условию, г" локально ограничена в окрестности любой точки, т. е. существуют такие 6 > 0 н Е > О,что ]у(х)] < Е, х б]с — 6, с+ 6[. Кроме того, существует такое число 11', что й» > Е при п > Аь и ха„б ]с — 6, с+ 6[, а тогда Д(ха„) > й„> Е.
Полученное противоречие доказывает утверждение. м 135. Показать, что фунхция у(х) =— 1+ 1+ хь ограничена в интервале ] — оо, +со[. м Ясно, жо у(х) > О, т. е. функция ограничена снизу. Далее, из неравенства (1 — х ) г 1 ь . 1+ 1 эг з 0 следует, что — < †, а поскольку 1 + х > 1, то — = — + — < 1 + - = -, 1+.ь г 1+ Ь 1+»Ь 1+»э г г" Следовательно, О < у(х) < '-, — оо < х < оо. 136. Показать, что ьрункция 1 1 1(х) = — соэ— х х не ограничена в любой окрестности точки х = О, однако не является бесконечно большой при х О. 1 ~ Пусть х» = —.
Очевидно, прн и оо значения х„попадают в любую окрестность точки х = О. Требуемое утверждение вытекает из того факта, что Мт Щхз»)[ = оо, а » ю у(хг»-1) = О, я б Й. 137. Исследовать иа ограниченность функцию ,ь'(х) = 1пх зьп х в интервале ]О, е[. 4 так как 0 ( сйв» ( 1, а функция х 1 1лх монотонно возрастающая, то 1(х) ( шах(0,!и е), т.
е. ? ограничена сверху. Далее, положим х» = г . Тогда, начиная с некоторого номера ва, все х» попадают г»+1 ' в интервал ]О, с[. При этом у(х») = 1в —, = — 1п (1+ (и+ -)) > — (и+ -) -оо при в оо, г. е. г' не ограничена снизу, М 138. Показать, что функция у', где Х( )=— 1+х Гл. 1. Введение в анализ <О нижнюю грань т = 0 и верхнюю грань М = 1. 0 < х < со. Пусть о — произвольное и 0 < о < 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
