Anti-Demidovich (Lyashko I.I., i dr.). Tom 1. Vvedenie v matematicheskij analiz, proizvodnaja, integral (2001)(ru)(T)(358s) (940506), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Правая часть неравенства следует из того, что (см. пример 42) 82. Доказать неравенства; ,а) < 1в ~1+ -) < —, где и — любое натуральное число; +! б) 1 + и < е~, где о — действительное число, отличное от нуля. 1 1 1 е>2+ — + — + ... + — =ум 2! 3! аа! справедливое при любом й. Так как в множестве (уа) иет нанболынего элемента, то лри й ав Ьь 1 1 1 д„=в+ — + — + ... +.— <е, 2! 3! л! т. е. знак равенства невозможен. Кроме того, 11" 1 1 1 х„=(1+ — ) <2+ — + — + ..
+ — =У . и 2! 3! и! Таким образом, х„< уч < е и 1пп х = е, Отсюда следует, что 1пп у» = е. ч- ааа Переходя к пределу в неравенстве 1 1 1 (и+1)! (в+2)! '' (и+ап)! 1 / 1 1 1 и+2 1 < 1+ — + + ° ° ) = < (и+1)! (ь и+2 (л+2)э ) (э+1)! и+1 аь и! при фиксированном и и и! - оо, получаем 1 б. Предел последовательности М а) Логарифмируя неравенство (см.
пример 77) (1+ -')" «. (1+-')»", получаем и 1п (1 + -') < 1п е = 1 < (и+ 1) 1п (1 + Ч, откуда саедует неравенство а): б) Покажем сначала, что / йгп и~а — 1 =1па, а>0, где 1и а есть логарифм числа а при основании е = 2,718 .... М Из неравенства (1+ -„) < е < (1+ —,) находим, что 1 < н 1 е» вЂ” 1~ < 1+ —, И >( 1, откуда / Бп! н е — 1 =1.
»»т / '': ю! я»! При а > 1 имеем у = п (а — 1) = п (е» вЂ” 1) = т» (е* — 1) 1п а, где я» ж уяа»т!»+оо ! 1 ' !»' при и оо. Обозначим о„= (з„) (целая часть), так что о» < я < о„+1 и — „+, < —, 4 „: Отсюда получаем неравенства ! ! 1па о (е»»+' — 1) < у < 1па(о + 1)(е" —,1), 1 1 — !па(е +' — 1) +1па(о +1)(е +' — 1) < у <1па о»(е~ -1) +~ил(а»ч — 1) т! — < 1п(1+ т) < т, ф где т — любое рациональное число, отличное от нуля и большее -1.
Пусть т ж ш > О. Тагил,; » в силу неравенства а), получаем ="("Ч '(" — ') -"(" ' ) 1 1 1 !н < — + — +..+ < — жт, и и+1 и+и! — 1 и 1 1 1 тл 1п(1+ т) > — + — + ... + > +1 и+2 и+ш + 1+ — „1+ откуда следует неравенство (1) для т > О. Если же — 1 < т! < О, то, полагая -т! — — т, 0 < т < 1, имеем ч !з! 1 т 1п(1+ т!) =1п(1 — т) = — 1и — = -1п (1+ — 1, —,) откуда — —, < 1п(1+ т! ) < -т, т. е. —;-!- < 1п(1+ т!) < т!. Пусть о — произвольное действительное число, большее -1, отличное от нуля. Тогда существует такое рациональное число т, что — + — <о< 2 2+т !»! !.
(например, любое рациональное число т, содержащееся между действительными числезян а и з/о! +4+ о — 2). Тогда 1п(1+о) < 1п(1+т) — 1и ( — — ) — 1п(1+ — ) +1и (1+ -) < -+ ь- <М. Следовательно, 1п(1 + о) < о (а > — 1, о 14 0) и 1+ а < е» (о > — 1, а ф 6)! Всизг!11< -1, то неравенство 1+ о < е» очевидно, поэтому неравенство 1+ о < е справедливо Ири ИЕЕИ о ф О. ° 83. Показать, что Гл.
1. Введение в анализ 1 Так как последовательность (о (е — 1) ) является подпоследовательностью сходящейся 1 последовательности (» (е — 1) ), то 1 г г 1пп о (с~ — 1) = йпь и(сп — 1) =1. г Применяя утверждение 1, п. 6.3, получаем 1 1 ь,. - ь (и..(, . — г) г„(, . — ь)) =г „ о а > 1. Если же О < а < 1, то 1 — 6 уп=п(ап-1) =гь ', -1 — — и 6 — 1 (-') = 6= 6= 1 1 где6=->1.
Атаккак6 1 и гь(6 — 1) -г1п6прип со,то 1 Рйп уп пп — 1и 6 = — !п — = 1п а, О ( а < 1. И а 84. Пользуясь теоремой о существовании предела монотонной и ограниченной последовательности, доказать сходимость последовательности (хп), где При и > -1офз е и всех натуральных р. соз 1! соз 2! соз и! 8й. х * — '+ — '+ ., + ', б(4. 1 2 2 3 п(а+1)' Ч Для произвольного з > О и при всех натуральных р имеем ьввгр х»( ~ соз(гь + 1)! соз(а + 2)! соз(п + р)! + + ° + ( (и+ 1)(»+ 2) (гь + 2)(и+3) ' (и+ у)(гь+р+ 1) / Ч Имеем — ~я- = 1 + -„-42 > 1, следовательно, последовательность возрастает. 1 Ограниченность следует из неравенств 2) ( 4) ( 2) 1 1 1 1 1 1 1 1 < — + — +...+ — < — + — + ..+ — +...= — — 1,хп<е. 2 4 2" 2 4 2» 2 1 — 1 2 Таким образом, последовательность, согласно утверждению 2, п. б.з, сходится.
° пользуясь критерием копьи, доказать сходимость следующих последовательностей (х ), где: зпь 1 зьп 2 сйп и 8$ хп = — + — + ... + —, гь Е 6(. 2 22 2" Ч Пусть У с > О. Тогда 181п(» + 1) з1п(» + 2) Б1в(11+ и) ~ 2»41 2п+2 ' ' ' 2 +р ( )ип(гь+1)! (зьп(гь+2)( )зьп(гь +р)) 2»+' 2"42 ''' 2»+р 1 22-2 ь ( — + — + ... + — + ... = — — <е 2 41 2 +2 ''' 2+Р ''' 1 1 2 ! б. Предел последовательности бй; 1 1 1 ( + + .. + (ьь+ 1ип+2) (а+2)(п -$-3) (и+ р)(и+у+ 1) 1 1 1 1 1 1 1 1 .1. „, — — — — + — — — + + — < ' '*'<ьй и+1 и+2 ьь+2 ьь+3 и+р и+у+1 и+1 п(р!1 и+1 1 'т' и > — — 1 = У(с).
8 ь, Последовательность (х ) имеет ограниченное изменение, если существует т33иьб чьи! сло с, что !хз хь(+ !хз хз)+ ... + )х — з — ь! ( с, и б 1Ч. Доказать, что последовательность с ограниченным изменением сходнтсьт. 4 Построить пример сходящейся последовательности, не имеющей ограниченного нвмвйеь ння.
Ч Из условия вытекает, что последовательность (у„), где у (яз хь ) + !хз — хз) + ... + ьх зр-ььь сходится (как ограниченная и монотонно возрастающая). Далее, так как (у„) — сходящаяся последовательность, то (х .ьр — х (=ьх .ьь х +хь-2 хь-ь+ ... +яр+р х .ьр — ь! (ч (ха+ь гр( + (хр-2 хр-ь ) + ° ° ° + (ха~р кр+р-ь ( !У в+р 1)зт ( ь' при и > ьт(е) Чр > О, т. е, последовательность (х„) сходится. Очевидно, последовательность ..1Р..
с пбй, 2а сходится; однако она не имеет ограниченного изменения, так как при любом А > О нерлвенство 2 2 2 1 !...ьг, !хз хь(+(хз хз|+ . +!хз — зз -ь(= 1+ — + — + .. + ) 1+ — + — + .. ° + ) 3 5 2п — 1 2 3 ' п > 1п(1+1)+!и (1+ -)+!и (1+ -)+... +1п (1+ — ) = 1п (- - —. — ...
— ) = 1п(п+1) > ьч справедливо при и > с" — 1. 88. Пользуясь критерием Коши, доказать расходимость последовательностей (х ), гдеь, 1+э+'''+»' ьь~Р( б) х" аз+~ з+'''+ь»' ! ч Пусть е — произвольное число из интервала ]О, -[. а) Поскольку э! 1 1 1 р ~з +р — х ! = — + — + ... + >— и+1 и+2 и+р п+р' а при р = ьь 1 )х„ер — хр) > — ) с 2 для всех и, то последовательность расходится. б) Расходимость последовательности следует из того,что 1 1 1 р р 1 (х ер — х )= + + + > > — = — при и =р.
!п(ьь+ 1) !в(и+ 2) !в(ьь+ р) !п(н+ р) и+ р 2 89. Доказать,что сходящаяся последовательность достигает либо своей точной верхнем грани, либо своей точной нижней грани, либо той и другой, Привести примеры послММевпл тельностей всех трех типов. ь Ч ПУсть !пп ха = а. ПРедположим, что зр ( а (х„> а) ььььь б (ь(. Тогда сУществУет иаир МЕНЬШИЙ (ИанбОЛЬШнй) ЭЛЕМЕНТ ПОСЛЕдОВатЕЛЬНОСтИ, КОтОрЫй будЕт тОЧНОй НнжНЕЙ (ВЕРХНЕЙ)ь гранью. Если последовательность содержит элементы как меньшие а, так и большие а иян Гл. 1, Введение в анализ некоторые элементы, равные а, то во всех этих случалк последовательность имеет как иаимеиыпий, так и наибольший элементы, т.
е. достигает своик точной нижней и точной верхней граней. Приведем примеры последовательностей всех трех типов: 1) (х») = ( — ), хг = 0 = ш1(х»); 2) (х ) = Я, хг = 1 = звр(х»); 3) (х»)= (~ ~-), хг= — 1=шт(х ), хг=-=гор(х ).1» Найти наибольший член последовательности (х ), если: в 90, х»»з —. 2» ' 4 Условимсл наибольший член последовательности (х ) обозначать символом шах х . Из неравенства справедливого при и > 2, вытекает, что последовательность (х») монотонно убывает.
Поэто- му наибольший член содержится среди элементов хг, хг, хз. Находим, что 9 шах х = хз = —, р 8 91. х 1000» » = », 1ООО «Ф Так как — г- = —, то при в > 999 последовательность монотонно убывает, а при » П»1' в < 999 — возрастает. (Зледовательно, 10001000 плахе» = хгооо = 10001 249 10 .М йшх»= Йп хг 1=2, Э х, »» звр(х») = 5, 7 хз --ло1(х ) = — —, 1пп х»»» йгп хг» = — 2, р 2' » оо «о и пя 93. х»'= 1+ — соз —.
и+1 2 лз Имеем хл г < хг -1 < хл, причем (хл»-г) убывает, а (хл ) возрастает. Поэтому 4я — 21 хл»-г = 1пп 1'1 — — ) = О, 4в — 1У 4в хл = йш 1+ =2. 4»+1/ ш1(х„) = 1пв х = Игп звр(х») = Йп х = йпл Оо 00 1по х», если; 2х» соз 3 < хз 1 < хз» и в последовательности (хз -г),(хз -1) и (хз ) сходятся, Найти Йп х и оо 94. * 1+»г м Так как хз -г тв — (3» — 2) йгп х» = 1пп хз»-г = 11ш — 2(1 + (З вЂ” 2)') (Зв) Ыол х йп1 хз Йп г 1 1 + (Зв)г 1 2' Длл последовательности (х») найти гв1(х„), зпр(х ), йш х и Йп х, если: Ю 99. х =(-1)» ' (2+ — ). ° Так как все элементы последовательности (х») содержатся в последовательностях з з хз»-1 оз 2+ —,, хг» = -2 — — и хг» < хг 1, причем последовательность (хг 1) мо- 4 погонно убывает, а последовательность (хг») возрастает, то 3 6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
