Anti-Demidovich (Lyashko I.I., i dr.). Tom 1. Vvedenie v matematicheskij analiz, proizvodnaja, integral (2001)(ru)(T)(358s) (940506), страница 15

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 15)

Предел последовательности $2 м пУсть Условие а) выполнено, (У„) — любаЯ последовательность и Уи = —,Яв 'тЪР1ка мв условия а) следует 1пп з„+ 1ш1 (-г„) = йш к„— йп1 л = лш',(л» вЂ” вй);шб,'.. „., »стй и шг зп рдгэ. откуда 1ш1 з = йш х„, т. е йш з существует. При выполнении усшеия б) поддвагИФ рр и у„= — 1.

Тогда иэ б) вытекает, что йш (-г ) = — Игл л, или йш яи из йш л и с1говв ОО и с» и" ч» убеждаемся в существовании предела последовательности (х»). 109. Доказать, что если х > О и , ° и оиэОЧ от что 1пп х» = лиг и ии ишвя ,.„",ьшэол — — 1 1ппл . Вш — =1, то последовательность (х„) — сходящаяся. — 1 1 м Из условия примера и того, что 1пп — = —,, вытекает т, е, (х,.) сходящаяся последовательность.

Ш 110. Доказать, что если последовательность (л ) ограничена и 1пп (хиаг — л„) = О, следовательно, последовательность ( — ") ограничена и существует конечнаяэтг!чйак.ййййниниь грань о = ш1( — "). пусть е > Π— произвольное, тогда существуетгтакпйъ~бйар"чг!МФ р .«гаяолиаэол В«якое целое число гь может быть представлено в виде и = от + г,' где р рйвнь ь))[у()эа1у ггз чисел: О, 1, 2, ..., иь — 1. Полагая для большего единообразия хэ = О, имеп~Ф; „то, ° г.топ от ьи шхэ„а, < х,и+лш+ ... +х,„+ли шях,„+к„, то частичные пределы этой последовательности расположены всюду плотно мелсу(у яе,!Овэ(гиим н верхним пределами: ! = )пл з„и Ь = й[п *, »:: гэ ' зла~!эи т.

е. любое число из отрезка [1, ь] является частичным пределом данной последователь1йэьйа, м Покажем, что любая точка а, принадлежащая интервалу ]1, Ь[ являетск частичииик пределом последовательности (х»), т. е. покажем, что любая е-окрестность точки я содлрилэк бесконечное число элементов последовательности (х»). Пусть г > Π— такое произвольное фиксированное число, что а-окрестности точек 1; в н Х не имеют общих точек, ('*огласно условию, существует такое число !т(е)> что [ь»иьгзииЙ[1~2)й при и > Ф(г). П Поскольку ! — частичный предел, то в е-окрестности точки ! найдется элемент крг, с, индексом р1 ббльшим, чем У(е). по той же причине в е-окрестности точки ь существрбт ЭЛЕМЕНТ Хш С ИНДЕКСОМ д~ ббЛЬШИМ, ЧЕМ Р1. А таК КаК РаССтОЯНИЕ МлжДУ СОСЕДНИМИЭЛЕЭИПЬ- тами пРи» > Ф(е) меньше 2е, то сРеди натУРальных чисел и, длл котоРых Рг < и < Оьь существует хотя бы одно такое число гг, что элемент л, принадлежит е-окрестнббтй'Т!ФЙЫ а.

Далее, существует элемент лр, с индексом рэ ббльшим, чем йш и такой, 'что Йрй ирий([йгр лежит е-окрестности точки !. 1'ледовательно, среди номеров и, для которых яг < и < лз, найдется такой номер гэ, что элемент з, принадлежит г-окрестности точКИ Ф Нрпщииищ этот процесс до бесконечности, убеждаемся в существовании бесконечного числа блазу последовательности (л,„),принадлежащих е-окрестности точки а.

Следовательтгб(',й!Шп ) дельная точка, а так как а — произвольная точка интервала ]1, ![ то требуемое утверлгдения доказано. Ш 1 1 1. Пусть числовая последовательность (т ) удовлетворяет усиовивэ О'ш я»1+И'4 МЪ; (" Х„ х„, т, и Е г!. Доказать, что 1пп — существует. з» МИмеем О<я„<г1+х1+...+х1=пгш О« — лы »=2,3,..., Гл. 1. Введение в анализ выполняется для всех и > Аь(в); далее, иэ этого же условия вытекает существование такого числа М > О, что „) < М, )хн- а~ < 2М длл всех и.

Наконец, из условия 3) следует существование такого числа пв = пв(г) ) Аь, что Рь< —, А'=1,Аь, 4ЛьМ ' длл всех п > ььо. -Пользуясь этими неравенствами и условиями 1) — 2) теоремы, получаем в в Р уху — ~ Р,,уа = ~~ь Р„у(хв — а) ь 1 В=1 й=! Рььэ(хэ — а(+ ... + Р„н(хн — а(+ Рннв. в < ~ ~Р в)хв — а) = в=! хнвь — а(+ ... + Р ~х — а! ( = Ро)хь — а(+ <ьд 2М+-(Р не!+ ... +Рн ) < — + — =в 2 2 2 дла всех и ) пв, т.

е. Нп! 4 = 1пп 2 Рььхь = а. ~ь ь 113. а) Доказать что если последовательность (х„) сходится, то последовательность средних арифметических (д„), где 1 с = — (х1+х2+ ... +х ), также сходится и Глп 6, = 11и! х и б) Доказать, что если последовательность (ув) сходится и у„ > О у'и Е 12, то последовательность средних гармонических и 1 1 1 — + — +. +— Уь Уь ''' У также сходится и 1пп тн = 1нп у„. ' в) Докаэатьч что если !пп у„= +ос, то 1пп т„=+со и 1нп д =+со, ГДЕ тн — СРЕДНЕЕ ГаРМОНИЧЕСКОЕ, а С вЂ” СРЕДНЕЕ аРИфМЕтнЧЕСКОЕ Иэ ЧИСЕЛ Уь, Уь, ..., Ув. ХВ ь+ ден+Хс Х дььЬ вЂ” = — < + —, а дт+г дт+г т дьп+г ьь ' х у г'ь дпь х, в х а( — < ~о+-) + — < о+ — + —.

и 1 2) дт+г и 2 и Поскольку О ( г < т+1, то х, ограничено и существует такое число Аь(в), что при н ) Л'(е) Х Е О « — " —. А тогда и ( "—" < о+ — '+ — ' = о+ в при и > Аь(е), так что йп —" = о. й 2 2 н-с 1Х2. Доказать теорему Теплица: !ьуспьв 1) Р ь )~ О; 2) ~~ь Р„ь = 1; 3) 1пп Р. у = О и ьс в=1 при камдом фиксированном ьч 4) 1нп х„= а. Тогда последовательность с членами С„= и ЕРввху сходится и Тип г„= а. л ь ° Иэ условия 4) вытекает существование тахого числа Аь = Л(в), что неравенство (х — а! <— 2 ! б. Предел последовательности (й = 1, й; й б !т!), то для Р а и х» будут выполнены все Р аха = 4~.

Следовательно, Бп! би ш й1ш х». 1=1 -о » оо М а) Если положить Р 1 = — „ 1 условия примера 112, причем т» = б) Пусть 1 ,Г Рт'о ! 1 ! (й 1 й) х — ф» ш — + — +...+— ш оо ю Тогда все условия примера П2 будут выполнены, причем Г» = «». Следовательно, Ьв «» оз !пп у в) Покажем, что если Ьп — = О, то !пп — = О. А это эквивалентно тому, что ))ш «» ш 1 ! о з оо и о» +со. Используя пример 112 и полагая 1 — 1 Р а= — (1=1, 11), Х»о» вЂ”, й у М Имеем (см.

пример 42) тт х1+ хз+ .. ° +хо — + — +. +— и 1 От А поскольку Ьп д = Бш б = !цп х (см. пример 113), то т о,г,...т; 1 1 ох, Доказать, что если т!тт! б т"( х > О, то йш 1/х = йш— » оо:о Х вЂ” 1 предполагая, что предел, стоящий в правой части последнего равенства, существует. М Доказательство следует из того, что х = йп! 1 !пп т/х» оо Ьп (см, пример 114).

м й 116. Доказать, что йш — „ж е, КЛ < ,'Заметим,что й й» .;;;1 где х» тх — ", . !!оскольку йш —" = Ьп (1+ — „) -1 -1 получаем требуемое утверждение. В 117. Доказать теорему Штольца; если с, то на основании примера 115 Х Х»-1 шп , тло » оо и» у»-1 а) !ттй б !т! у»+! > у»; б) йш у =+со; в) суше»»тере»1 п оо хт! 1, х х — \ у у»-! получаем, что Г» оо '1 Р»»хо = — и !пп — = 1пп — = О. ! . 1 .

1 1 оо З" Утверждение, что Ьп 4» = +ос, следует из неравенства (см. пример 42) «» м с» и ив того, что Ьп т = 4-оо, 114. Доказать, что если последовательность (х ) сходится и х» > О; то т охк...т;= т Гл. 1. Введение в анализ М Пусть йьп ' " ' = а (а — конечное). Тогда если считать, что уо = О, хо = О и У У -1 Уь — УЬ-1 — ..

Хи — Хь,-1 Риу =, !ь = 1, п, Хи ои то получим выполнение условий теоремы Теплица (пример 112) для Р у и Хи, причем ьи ои и„ у СЛЕДОВатЕЛЬНО, 1ПП *— " = Иьв !и ои йю Хи ои ПШ "" " ' = а. оэ оо и ооУ Если йпь " " ' = +ос, тО ПОВтОРяем пРиведенные выше рассУждения Для последова- ,У-У-1 тельности ( — "" ), предварительно убедившись, что х +1 > х, начиная с некоторого по б м, и Ыш хи УР+оо. и оо 118. Доказать, что если р — натуральное число, то: 1Р+2Р+ ...

+пя 1, ! 1Р+2Р+ ... пэ и ! 1 а) 1пп — б) йпь ььРО' р+1 оо ~ пэ ,+ ) — 2 1Р + ЗР + ... + (2п + 1)Р 2Р 113И-1 р+1 М Для доказательства применим теорему Штольца (пример 117). Докажем пункт б) (пункты а) и в) доказываются аналогично). б) Если положить х = (у+1)(1Р+ 2'+ ... +пэ) — ььэ+', уи = (р+1)п", то 1пп " "=йш х +1 — хи, (р+1)(п+1)Р— (ьь+1)Р+ +по+ и ооу.Ь1 — у (р+ 1)((п + 1)Р— пР) !пп ~ ~ и ~ ~ ~ Р ~ ~ | ~ | Р 2 ~ | ~ ~ а (р+ ц (пэ+,р-1+ у(р —,11,р-г+ + 1) + (р+ 1) (ььР +рпР 1 + мс 111Р г + + 1 пР) 2 (р+ Цььэ ~~'2 „- 1+ „Р+ + г (р+1) (пэ+рп' '+ ., + г!Р— 1пР-'+ +1 — пэь) Соберем коэффициенты при одинаковых степенях л. Затем разделим числитель и знаменар-1 /11 тель на аэ и обозначим через о (-) сумму всех членов со степенями не выше -1; получим и йю ° +1 и ! г у.+, — уи .

р(р+1)+о(Ч 2' 1 19. Доказать, что последовательность (х ), где 1 1 1 хи = 1+ — + — + ... + — — !пьь, 2 3 ьь сходится. Таким образом, имеет место формула 1 1 1 1+ — + — + ... + — = С+1пп+ои, 2 3 '' п где С = 0,577216 ... — так называемая постоянная Эйлера и хи -ь О при и со. < Так как хиоь — хи ои — — 1л(п + 1) +1пп ии — ', — !и (1+ -) < О (см.

пРимеР 32, а)), то последовательность (хи) монотонно убывающая. Кроме того, она ограничена снизу: 1 1 1 ь' 11 = 1+ — + — + ... + — — !и п > !в(1+ 1) + !и (1 + -) +1п (1 + -) + ... + !в (! + — ) — !и ьь = 2 3 и 3 4 и+1 11 п+1 1 = 1п (2 — — . — — ) = 1и — » — О. 2 3 и и) +1 Поэтому существует конечный предел С, а тогда справедливо представление 1 1 1 1+ — + -+ ... + — — !пп = С+хи, 2 3 ьь ! О.

Предел последовательности где г 0 при и †» са. и 120. Найти !!ш (— 1 и+1 М Пусть «„= 1+;+ . 1 1 — + — + . + и+1 а+2 (см. пример 119) и 1 + — +. и+2 1 + —. Тогда 2н) »1 = 1в 2и+ гз» вЂ” 1ви — гз = 1в 2+ (ззз — хз) =«2» 2и ( 1 1 11 1»п» ( — + — + ... + — ) = !в 2.

Характеристики

Список файлов книги