Anti-Demidovich (Lyashko I.I., i dr.). Tom 1. Vvedenie v matematicheskij analiz, proizvodnaja, integral (2001)(ru)(T)(358s) (940506), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Тогда —. Следовательно, ьл1 ()(х)) = О. о< «ю 1, 0 < х < оо. С другой стороны, Лля указанного ранее х в области 0 ( х < оо имеет ч Очевидно, 0 4 г (х) = + < х при 0 ( х < Далее, очевидно, — < ь+ х 1 — е 1"(х) = — > 1 — о при х ) —, 1+х х )(а) « '(х ) « (а) + а (например,х'ж а), г. е, ш1 (1(х)) = 1(а), (о<о Аналогично, если )'(6)-с < г(6), то существует ха Е [а, 6] такое, что у(6)-х < г(ха) < у(6) (например, х<' = Ь). Следовательно, хор () (х) ) = ) (Ь). ° . <ь 140.
Определить колебание функции у(х) = хг, х Е И, на интервалах! а) ]1; 3[; б) ]1,9; 2,1(; в) ]1,99; 2,01[; г) ]1,999; 2,001[. щ На каждом нз указанных интервалов сужения заданной функции монотонно возрастают и имеют на концах этих интервалов конечные предельные значения, в силу чего являются ограниченными, Следовательно, а) Мо — оьо = Х(3 — О) — Х(1+ 0) = 9 — 1 = 8; б) Мо — пьо = У(2,1 О) Г"(1 9+0) = 441 3,61 = О 8' в) Мо — то = ! (2,01 — 0) — <'(1,99+ 0) = 4,0401 — 3,9601 = 0,08; г) Мо — то = У(2,001 — О) — Х(1,999+ О) = 4.004001 — 3,996001 = 0,008. 141 ° Пусть ььь[г] и М[<] — соответственно нижняя и верхняя грани функции ь" на промежутке ]а, Ь(.
Доказать, что если у ! и уг — фунхции, определенные на ]а, Ь(, то а) ььь[ьь+ гг] > т[(ь] 4 ььь[зг]) б) М[Л + гг] ( [<ьь]+ М[гг]. ч Докажем неравенство а) (неравенство б) доказывается аналогично). Обозначим т! = ьв! (Уь(х))) тг = ш1 (<г(х)). Тогда 1)(х) > ьа! и Ях) ) тг, х Е ]и, 6(. Складывая «ь «*ь последние неравенства, получаем Д(х) + уг(х) )~ оь! + тг, х Е ]а, 6[, откуда ььь(Г! + Гг] ~) ь т! + тг т[< ь] + ьл[Хг]. 1 142. Показать, что функция [(х) = гйв —, х Е К<)(0), не имеет предела при х О. х г Л Требуемое утверждение следует из того, что последовательность х„= <, о Е К, при и оо стремится к нулю, а у(х„) = ( — 1)" вовсе не имеет предела.
В 143. С помощью "о — Ь"-рассуждений доказать, что Бш х = 4. Заполнить следующую г г таблицу: < Пусть с > 0 — произвольно. Тогда ]хг — 4] = ](х — 2)г + 4(х — 2)] < ]х — 2]г + 4]х — 2] < как только 0 < ]х — 2] «,с4+х — 2 = ' . Последнее неравенство тем более будет /4+ +г выполняться, если » = ь б(с) >]х — 2]. о+*< ьггь ~Л< *ь < ) т. е. авр (у(х)) ж 1. О<о<о 139.
Функция ь' определена н монотонно возрастает на сегменте [а, 6]. Чему равны ее точная нижняя и точная верхняя грани на этом сегменте? < Так как у' монотонно возрастает на (а, Ь], то !"(а) < г(х) < )(6) ьь<х Е (а, Ь]. Пусть е > 0 — произвольное и такое, что <'(а) + е < У(6). Тогда существует х' Е [а, 6] такое,что 17. Предел функции Пусть е = —. Тогда 6 ( — ) = — и ь / 1 ь ь ьо (ьо") ь ьо"ег 6(1О-') = 1; 6 (10 ') = 1; 6(10-') = — '; 6(1О-') =— 42' = 402' = 4оог' 40002 144. На языке «Е вЂ” 6" доказать, что 1 ь (х — 1)з Заполнить следующую таблицу; ч Пусть Е > 0 — произвольно. Тогда 1 (, — 1) ' как только (х — 1) < -' илн 0 < )х — Ц < —,у = 6(Е). Отсюда находим, что 6(10) = —; 6(100) = —; 6(1000) = —; 6(10000) = ' —. ~ 1 1 1 1 ь/10 10 ' 10,/1О 100 145.
Пусть Р(х) = аох" +аьх" ' + ... +а„, где а, (ь = О, и) — действительные числа. Доказать, что 1пп !Р(х)( =+ос. М Не ограничивая общности, будем считать, что ао оа О. При достаточно больших !х( имеем (Р(х)1 = !х"~ ~ао+ — "+ ... + — '"! > !х~" — ". х х ! 2 Так как !пц )х!" 1-о! =+оо, то йш )Р(х)! =+со. м 146. Пусть аох«+аьх" '+ ...
+а„ Я(х) = хбИ, Ьох™+ Ььхю ь+ ... + Ь, ' где ао ф 0 и Ьо ф О. Доказать, что !пп И(х) = «ь со, если п > пь, ао — если и = ьа, Ь О, если ьь < пь. ч Пусть в > пь. Тогда ~~(.)! = !.!«-- "',=' ',*. ~.)п-™ ~ф (Н( )! < откуда следует, что !цп Я(х) ьх О. пРи достаточно больших !х(. В силУ того что Бш !х!" ю «л = со, имеем йт 2Ь(х) ««оон Если и = пь, го ао+ — „'+ ° ° + — „" ао Щх) = — *, " — ь — при х «оо. Наконец, если ьь < т, то при достаточно больших (х) имеем Гл.
1. Введение в анализ 147, Пусть х О. Доказать следующие равенства; з / з'а а) Х ЗШ ч/Х = Х 2 + О ~ Х 2 ); б) 1и х = о (х '), е ) 0; г) агсгя — = О(1). 1 в) (1+ х)" = 1+ чьх+ о(х); м Написанные равенства следуют из того, что Хяаа/Х . ь — !пг 1 а) ВШ вЂ” З вЂ” — 1; б) 1ПП Х '1ВХ»» !ПΠ—,=О, Г»» —; » +0 — » +О х хг в) (1 1- х)' = ! + их .!- Сахг ")- ...
+ х = ! + их + (Сг х -!- ... + хи 1)х = 1 ! их + о(х)х, гдеа(х)=Сгх+...+х" ' Опрнх О; г) )агс10-~ < -'. в 148. Пусть х О. Выделить главный член вида Сх" (С вЂ” постоянная) и определить порядки малости относительно переменной х следующих функций; а) х)-ь(2х — Зх +х ); б) х 1-ь (а/Г+ х — ь/1 — х); в) х ) (~/1 — 2х — Л вЂ” Зх); г) х»» (айх — ыпх). < а) Из того что 2х — Зх + х = 2х+ ( — Зх+ ха)х = 2х+ п(х)х, где о(х) О при х О, следует, что 2х — Зхг + хз = 2х+ о (х), т.
е, Сх" = 2х, и»» 1. б) Из равенства йш — ~-=л — ' = 1 следует, что Сх = х, и = 1, т, е../1 + х — т/! — х х. *-о в) Поскольку з/1 — 2х — 1/1 — Зх /а/à — 2х — (1 — х) 1 — х — з/1 - Зх ! 1 1 йш =1шь ~ + — — -+1= —, о х2 с х2 г 2 2' то Сх = -х, и = 2. п 1 2 2 г) Имеем Бш ~З вЂ” ььь»-- = —, позтому Схз = -хз, и = 3.
ь 149. Пусть х +со. Выделить главный член вида Сх" и определить порядок роста относительно бесконечно большой х следующих функций: ) -ььгч=*а»1 )*-4ь )ьа ч < а) Поскольку '/*'- +Л й / =-т -й 2 Гип ьч1 — х-'+х 6 =1, + . +„» хз = 1ип С„па — С,„,и + = С„т — Сыча / и 2 л г о(х) а,г 2 о 2 ши(и — па) О~, и ™ х' 2 б) Полагая х = 1+ малых,. находим Гнп » 1 Х Г (! 0 при х 1) н пользуясь принципом отбрасывания бесконечно — 1 . (1+ Г) — 1, чи!+ о(г) . па! пь = йш = йш = Гни — = —.
в 1 а о (1+ !)и — 1 ь-а чаг+ о(Г) а о чаг ча 2 то Сх =хз, 2 з' 1 1 1 Ь)и +,)Г+Ло,1/;: Ч,С=ЧЬ-.-., С..=.Ь !.=Ц., Решить примеры (при решении некоторых из них заменить бесконечно малые функции эквивалентными им): 150. а) йпа (1+ чик" — (1+)ах) . х™ — 1 . у чи и г ! б)!пп —; в)йш~ » хг 1 х" — 1 -1 1 — х 1 — х"/ (т, чь — натуральные числа). < а) Разлагая по формуле бинома Ньютона, получаем (1+ пах)" — (1-!-их)™ (Сгчьа' — Со ~р)*'+ (х') = йш -о хг а хг ! 7. Предел функции в) Пусть х = 1+2, Тогда 2 О при х 1.
Имеем ь вь в '), ( и ьв Йп — — = Ыш („, ьь ьп = Йпь о ьчььз+ С222 + о (12) ьпГ -!- Сз 12 -!- о (12) (ИС2„— ПЬСо) 22 + О (М~) ВС2„— ЬВС2 ГИ вЂ” И = !!ьв ™ о пьььзз + о (гз) вьи 2 2 / 151. И. -'((.+-)'+(х+ — ') + ...+~к+~" Цо) ). и Используя результаты примера 37, а), получаем Б — ( + †(1 + 2 + ... + ( — 1)) + †, (1 + 2 + ...
+ ( — 1) )) = 1/ 2 2ах о 2 оь и я гьз 1 / 2 2ах ьь(ьь — 1) а (и — 1)и(2и — 1) Ъ я !шь — ! ььх +— + 2 ) =х +ах+ —. ~ и ьь и 2 ььз 6 3 1ИИ. !нв ' +" +" +('н-')' г +42+ ... +(2ьь)2 ч Имеем 1 2 ( и)2 (2 2+ Ия2+ ) 3 (см. пример 37, а)), Вычитая из второго равенства первое, получаем Ьь -;- ЬЗ»,- Ь ъЬ ь ЬО ь Ь 2Ьь '-ьь 1 + 3 + ...
-!- (2ьь — 1) 3 3 ь 3 Тогда 1 ьпь ..ььь — ) ь~ -ь 1ьпь 2 = 1. 2'+42+ ... +(2 )' - 2п(и+1)(2и+1) 1 +4 +7 + ... +(Зьь — 2) ьь (1+ 4+ 7+ ... + (Зв — 2))2 М Имеем (см. пример 37, б)) 1 +4 +7 + ... +(Зв — 2)' =(3 1 — 2) +(3.2 — 2) +(3.3 — 2) + ... +(Зи — 2) ьх = 27 (12 + 22 + 32 + ... + ьь ) — 34 (1 + 2 + ... + ьь ) + 36 (1 + 2 + ... + и) — Зи = ьь(и+1) ьЬ ьь(ьь+1)(2и+1) и(и+1) (1 + 4+ 7 + ...
+ (Зьь — 2)) 4 Посколъку в числителе и знаменателе высшая степень и равна 4, то предел дроби равен отношению коэффициентов прн иь, т. е. 3. ьв 154. 1пп Фхж эо и Предполагая, что хо > О, положим х = ха + г. Ясно, что г 0 при х ~ хо. Считая !1! < хо, имеем анхо 11 — — ) < ч/хо+! = 7/хо о~/1+ — < ~/хо о~1+ — ), / )1) 'ь „„„г „ /' (!) '! хо /' хо хо) откуда йш ь/х = !пп ь/хо+ Г = 7/хо. ь-о Гл. 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
