Anti-Demidovich (Lyashko I.I., i dr.). Tom 1. Vvedenie v matematicheskij analiz, proizvodnaja, integral (2001)(ru)(T)(358s) (940506), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Тогда, ва основании утверждении В), получаем ! !" — ')" Игп и' = Иш (1+ (и — 1))" ! = *хр 1пп (и — 1)е а е ха 1 яо х +1 г+! е г М В нашем случае и = †, ; е = х; (и — 1)е = †, , гуледовательно, 188. Иш(1+х')"Я *. о ° Аналогично предыдущему ,,г) йш(1-1- хг)'гя ' = ехр ! !пп х сгд х г = ехр йш ~ — ) = е. о С -е 3 (* е гь!8х 189, йгп (1 + зш хх) '" ~*. ! ° Очевидно, 1пп (1 + еш тх) "з ее = ехр ! 1пп зп! ггх сгд тх ! = ехр ~ Йп сое ггх '( = е е 1 !.г ! ! гя ! ! 190. й (,1+', *)""*. 1 Т. Предел функции и Имеем 1 2 з 1+!Ох йз . 1дх — зпзх 1 2мп !нп ( .
) = ехр ( !пп, —,1 = ехр !пп юе =1. Р *-о11+япх) 1 о 1+япх япх 2 !* о созх(1+зшх) ! 1 191 ! ( 1+збх ) впрах з-О '11+ ял Х) збх — зшх 1 (з — 1)е = 1+з!пх яп х з з з Поскольку прн х 0 збх — япх = здх(1 — созх) —, 1+япх 1, яп х х, то 3 — 1 ! ( 1) ! 2 *-о з х 2 з Таким образом, 1 г1+збхт —,;„., -о 1+них (. 1 1х* 192. 1!ш (яп — + соз -) *- ', х х ч Поскольку яп -+сов — ' = -'+ 1+ а (-') прн х — оо, Вш (з!п -+ сов!) = 1, то Бш (зш — +сох — ) =ехр(пп1 ~ — +он)х(=е. ° 19З. !й "'('"). .-о х в На основании утверждения В), имеем !пп (л(1+ х) = Ъзп!и) (1-!-х)з/ =!не=1.
о х о Таким образом, !п(1 + х) = х + о (х) при х — ~ О. 194. 1йп -+ 1п(х'о + х+ 1) ° Вынося за скобки в числителе и знаменателе старшие степени х нием Б),находим и пользуясь утверлзде- !п(хг х+1) 2!пх+!и(! — -'+ т) 1пп 1О !!1п 1п(х'з + х + 1) Е 10 !и х .!. !и (1+ — ', !- -тз) б 195. !нп , х>О. ь-о ° у На основании свойств логарифмов и утверждения Б), получим !б(х+ б)+!б(х — й) — 2!бх .
1 ( >~ ьг — — — — ° — )пп 1п 1— !бе хг л о 196. Иш ' . -о !псов бх ' и На основании примечания о раскрытии неопределенности вида 1 , при вычислении предела показательно-степенного выражения в" имеем Гл. 1. Введение в анализ М Пользуясь асимптотическими равенствами (см. примеры 178 и 193), получаем 82 г г г г г' а О Ь -!-О(Хг) О О Х г О* — ! , (1 -,- х)» — 1 197. а) йсп, О > О; б) !пп (д — действительное), -О Х О х М а) Пусть Оа — 1 = и Тогда ! О при х О, поэтому Оа — 1, г!Па . 1ПО !пп = !пп = !пп ,, = 1па. -О х с О !п(1+ !) с О 1п(1+ г)с!с Таким образом, и = 1+ х1п и+ О(х) при х О (е' = 1+ х+ О(х)). б) Очевидно, йпс ! — ~~: — = 1сш ',, "" ~ = дс так как д1п(1+ х) — с О при ,»с (се ! с „с„сса ,»с а«! х ~ О, йсп ' = 1, йсп -'-' — ~-*-~ = 1 (на основании утверждения Б); примеров 197, а) и О»СМС««С ' а О 193).
Таким образом, (1+ х)" = 1+ их + о(х) при х О. 1 — сов» х 198. йсп (и — действительное). ' *-О хг м Используя результат предыдущего примера, получаем 1 — сов" г: . (1 + (сов х — 1))" — 1 1 — сов х д 1пп = !ое а-О Хг О ам х — 1 хг 2 г« а>О; в) 1нп ., а»О. е»* сов х — 1 а О хг 199. а) Бгп; б) йгп О хг х — а м а) Имеем е — (сов х) е — 1 г,/2 г 1 — (сов х) + хг искомый предел равен 1 + —. /2 На основании примеров 197, а) и 198 находим, что б) После очевидных преобразований получим о* "— 1 (1+ ) 1 — Я х — о а Π— Х =а Х вЂ” О а а «,с а йш = О 1ла — а = О !и -.
— х — а е в) Имеем е«а сов х — 1 (е«а — 1) сов " х + сов " х — 1 еа' — 1 г«1 — сов х асов х— хг хг ахг хг — с г« ° с — с«г Поскольку Ыш «, асса "г = а, !1ш,', = а, то предел всего выражения равен а О -О нулю. м х* — а' 200» !йп, О > О, х — и а — а ° ! Представим функцию: —,' = у(х) в виде суммы двух слагаемых: !О(х) = —,„+ — асс(х) + Всг(х).
Очевидно, ам а( !а-а)с«а 1) рс(х) = 1п х. (х — о) !и х Предел первого слагаемого (см, пример 197, а)) равен а« 1п а. Предел второго слагаемого (см. пример 197, б)) ранен и'. Следовательно, 17. Предел функции ея *)с -г Так как при х — а е '"* а", '< >, — 1„!их !па, то Бш !ос(х) = а'!ва. Далее, о ((1 ! -«) 1) в а в а в о о ( в-а)о — = а". в-а а о Окончательно получаем Мпс — = а !в а+ а" = а" 1п(ав). в а Ф-о схсв 2О1 И ( 1+япхсовах в о ! 1 + Б!в х сов)7х М Ищем предел показательно-степенного выражении а"; имеем (при х ~ 0) совах — совсух сов х з 1 + яп х сов с7х в!гсз х ') '-' ° сз ( сг.+ ссс(-~+ с*с))с* ° с*о Следовательно, Бш .
= ехр )нп = ехр Ь о+Ь + в-Л 205, И „,, О. ь о ч Используя результат примера 197, а), находим *~" + ™ -2а* ь Г а — 1с г !сгв = !пп а — = а 1в а. и-о ьз ь о 1 7с ) (х+ а)*+'(х+ 6) + (х -!- а -!. ь)з +о+о яОИ, !!.,"ш(вх ) с яв(сгхв) ьс ') с О СС*'"сСсс . с С' — О < Иш = Мш в-Г В!В(ХХа) *-Г яп Х((яа — 1) + 1) в Г ВГПВ(Х — 1) в С Х(Хд — 1) д~сС -с осс Ссс с о (1+1)Л вЂ” 1 с о с91+о(Ф) ш;У (здесь воспользовались результатом решения примера 197, б)).
> 2ОЗ ! ЫВ ( в) -с !в(сов(сг2 )) М Полагая яп (х2 ) = Г, получаем Иш = !нв, явз(сг2'), Г = !пв сх -2 с !в(сов(х2в)) с о -'!в(1 — Г) с о — -'+о(Г) (здесь воспользовались формулой !п(1 — Г) = — Г+ о (Г)). Вь 204. !пп ", а ) 9. о хв — аа' и Полагая х — а = 1 н пользуясь результатом примера 197, б), получаем — с -с с~с с о/ а а-).а -Ь +ь -а (х+а) + (х+Ъ)*+ (( Ь 1 ь ~ (( +аа (х+ а+ 6)г*+а+ь *-+аа 1 х+ а/ / ) 1 х+ 6) / 207.
Игп а'(7х — "ааа'х), х > О. М Имеем (см. 191, а)) 1 х '+ — 1 иг — = 1п х. ааг + аа ~ее и 1 1ип и ( 7/х +за/ах) Ипа х е 2 М Аналогично предыдупаему примеру имеем а";а'а+ ~/6 . фа+ ьГЬ а "й — 1 "ГЬ вЂ” 1'1) — !» а ~ ~ ~ ~ 2 ~ ~~ и ~ | 2 а (, 1 а*+' + Ь*т' + С т' 1 209. Ипг '( "' ), а>о, Ь>О, с>О. *-о ~, а+6+с г+аоь +аз +' м Обозначим г(х) = " " .
Очевидно, Д(х) — 1 при х О. тогда 1 а о а~~' + Ь*+ + с*+' а ( . У(х) — 1 а + 6 + с ) ( о х Поскольку у(х) — 1 *-о х а+ а* — 1 Ь вЂ” 1 с 1Ьп (а +6 +с — ! = Ь+с *-о х х х а1па+61вЬ+с1пс /, .Ьь а. +ь+ ~а а+Ь+ с то искомый предел равен (а'Ььс') +ь+, ° 1 210, иап ~ ), а>о„ь>0. -о 1, а*+6* ) ~ Имеем 1 Иш = ехр 1ип где у(х) м ', , 1, так как утверждение А)).
Поскольку га(х) — 1, а + 6* — а*— Иап = !ип о х *-о х(а* + Ь" ) йп аа а о 1, йп6* о = 1, Ига а = 1, Ипа 6* = 1 (см. о -о 1 (а" — 1 = !ип х+ *-оа +6 1 хг Ьа — 1 х в — (1п а + !п 6), х х 2 1 — — !!а +1а Ь) то искомый предел равен о аь' Гл. 1. Введение в анализ М Использул второй замечательный предел, после очевидных преобразований находим 1 7.
Предел функции а — 6* 211, 1пп ' „а>0, 6>0. . -о (а' — 6~)т ' и Поскольку (ем пример 197, а)) аь — Ь* = х 1п -+о(хз), (а* — Ь ) и (х!п » +о(х)) хь1п -+о(х~), то а — Ь х !по+о(х) х !по (' а1 ь о (а — 6»)з» о хз1пз †.1.о(хз) ь о хз1пз — с, Ь/ ь ь 212. Ош 1п(1+2 )1п(1+ — ). в Воспользовавшись аснмптотическим равенством примера 193, находим 31 зт 1пп 1в(1+2*)1п ~1+ -) = йпс (х1п2+1п(1+2 ))!п ~1+ -) = ь — +ь» .) х) — 1пп (х1п2+ 2 *+ о(2 *)) 1 — + о 1-1~1 = 31п2 =1п8. 3» Ь. о» ьх// 213, Доказать, что ь 1пп — =О, а>1, Ь>0. а м Поскольку Йп — „"„= О, а > 1 (см.
пример 70), то одновременно будет и 1пп — = О. (сь+ 1) о» ао Следовательно, по заданному е > 0 найдется такое натуральное число К, что при п > ДГ выполняется неравенство (и+ 1)" а" Пусть х > с»с+1; положим и = (х) (целая часть х). Тогда в > Лс и в ( х ( в+1, так что х < ( +1) аь а" Это н доказывает наше утверждение. М 214, Доказать, что 1о3 х 1пп — =О, а>1, е>0. Ь.ОО х' в Положим х' = и Тогда 1о3,х 1 .
1о3»1 1пп — ' = — 1пп ь -с-ы х ес Ь. » В силу равенства (см. пример 74) Бпс — ' = О, имеем с*а о !од»(сь + 1) и Пусть ес > 0 — произвольное. Тогда существует такое натуральное число Лс, что при п > !7, !о3„(сь + 1) 0< ( ес. сь Для ь > 36+ 1 положим в = [1]. Тогда сь > Ф и сь ( 1 < и+ 1, так что !о3 1 1о3 (и+1) О< — ( < еь, 1 сь ыг, с ва,* т. е.
Ыпь — ' = Ос а тем самым и Ош — ', = О. с +со с ь»»' Гл. 1. Введение в анализ 86 Решить примеры (при решении примеров 215, 216 используются формулы а' — е е+с* зЬх з1тх= ' '; «Ьх=; тЬх= —, 2 ' 2 ' сЬх' а также формулы гиперболической тригонометрии): з1тх . сЬ « — 1, тЬх 215. а) йш —; б) 1пп '; в) 1пп —. о х о хг * о х М а) На основании примера 197, а), имеем з1тх, е — е ег* — 1 1пп — = 1пп = Гнп е — = 1.
с х о 2х * о 2х Отсюда зЬх = я+ о(х) при х О. б) На основании а), находим с!тх — ! 2зЬ г 1 зЬ г~ 1 1пп = !пп — г = !пп — —,. г о х з-о х *-о2[ — * ) 2' г Таким образом, сЬ х = 1 + — + о (х ) при х О. г г в) Используя результат решения а) и утверждение А), получаем тЬх зЬх 1 Ьш — =!пп — — = 1. те о х з о х сЬх 218.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
