Anti-Demidovich (Lyashko I.I., i dr.). Tom 1. Vvedenie v matematicheskij analiz, proizvodnaja, integral (2001)(ru)(T)(358s) (940506), страница 16
Текст из файла (страница 16)
У» +1 н+2 " 2и) 121. Последовательность (х„) определяется формулами Х 1+Х 2 х»=а, х«=Ь, х„= 2 (и=3,4, ...). Найти !!ш х„. м Имеем Хй-1 + Хй-2 Хй-1 Хй 2 Хй Хй-1 2 — Хй-1 =— 2 Подставляя зти выражения в одевидное равенство х = +(х — х )+(хз — х )+ а+(х — х ), получим, начиная со второго слагаемого, геометрическую прогрессию, сумма которой равна 6 — а 6 — а „Ь вЂ” а 2(Ь вЂ” а) Ь вЂ” а (-'1)" .; х„= а+ (Ь вЂ” а) — — + — + ... + (-1)" — = а+ -' — — +— 2 4 2»-2 3 3 2ч-2 ' откуда 2(Ь вЂ” а) Ь вЂ” а ( — 1)" ! а+2Ь Ьйп х = йш а+ \ 3 3 2й-2 ) 3 122.
Пусть (х ) — последовательность чисел, определяемая следующей формулай» 1/ 11 хо)0, х+1= — (х + — ), 21 х„)' Доказать, что !но х = 1. и поскольку хг > 0 и х„+ — > 2, то последовательность (х„) ограничена сииау чи- 1 1! слом 1. А из неРавенства х з1 = — (хз+ — ) ( х„, спРаведливого дла х д 1, вытекает, что данная последовательность монотонно убывает. Следовательно, существует кодеаньзй предел а, причем а ) 1. Переходя к пределу в равенстве .!!! ! получаем +у» У +1 2 )хи~»у»»=З Е1 находим, что а = -' (а+ -') . Отсюда а = 1 или а = ш1. Но так как»у» Е И х„) 1, то айаг 1 Ьз 123. Доказать, что последовательности (х„) и (у„), определяющиеся формулами Хч+ уз х»=а, у»=Ь, х з»=ч»х„у„, у„+1= 2 .." з.
с' имеют общий предел и(а, 6) = ййп х = йш у (арифметика-гаомешрическое средиеачихеи» а и 6). »Я Из условия примера следует, что зи Е Н х„) О, у ) О. Используя известное неравен' ство т»»аЬ( —, а)0, Ь>0, а+6 1 Гл. 1. Введение в анализ Найти пределы: 124. 1шь (1 — —,) (1 — — „) ...
(1 — — г). ~ Поскольку 1 (й — 1)(5 + 1) йг 5г то, записывая произведения в виде (и — 1)(и + 1) 1 ьь + 1 иг 2 и 132435 2г 3г 4г (1--,',) (1--,',) ... (1- — ',) = находим, что Иьп (1 — — ) (1 — — ), 125. йпь (1 — -') (1 — —,) .. (1- 1 и+1 1 2 и 2 ,(1 — — )= 1ип 1 п(п+ь) ) ' г м Имеем 1 (5 — 1)(й + 2) И~+~1 — 1(5 + 1) 5=2, ьь. Тогда ьг1.4 2 5 3 6 (ьь — 1)(ьь+2) ьь . 1 и+2 1 — Бьп и (2 3 3 4 4 5''' п(и+1) ) 3 ьь 3 Найти пределы векторных последовательностей (хп), где: 126. х = (("+ ), ( — и) ).
щ Поскольку каждая непоследовательностей координат сходится, то, согласно п. 6.ь, Йи хп=(1ип ( — ), (ип ( — ) )=(е,е ). щ Аналогично предыдущему примеру находим и+1 . и+1 . ьь+11 / 1 11 !инхп=(Йп —, йпь —,..., 1ип — )=(1,—,...,— ). (- и '»- 2и ' ' — ти) (,'2' 'ьи.) 128. Хп = (т/2+2", Ь/2+2 ", (//2+2 и'). щ Покажем, что существуют пределы последовательностей каждой из координат. Из неравенств 2 < ь72+ 2" < 2 72 и того, что 1ип Я = 1, следует Бпь чь24-2" = 2. Далее, из неравенств 1 < 1ь/2+ 2 и < ъ/3, 1 < 1/2+ 2 " < т/3 находим, что Й (//2+ 2-и' = 1.
1ив 1ь/2+ 2 "= 1, А так как хпеь = ь/хпу В т/хгп = х , у +ь = †"+"" < уп, то, ввиду того что хп < уп < уь, уп ) хп ) хь, последовательности (х„) н (уп), в силу утверждения 2, п. 6.3, имеют конечные пределы А н В соответственно. Переходя к пределу в равенстве хп+у, У +ь = 2 получаем, что А = В.
Общее значение этих пределов называется средним арифметикогеометрическим и обозначаетсл символом ьь(а, 5). ! 6. Предел последовательности Поскольку пределы последовательностей координат существуют, то существует и предел вела торной последовательности, а поэтому !ип хи = (1ип ь/2+2", йш 2222+2", !ил 2+2 "' = (2, 1, 1). 9 п о 'п и- ю -М 129. Хи = (Хь, Хаи, ..., Х и), ГДЕ ( 1 1 1 хьпь» ( — + — + ...+ . ), 1=1,», пб!21, ~11+1 и+2 ьь+ььь) ' ° я Обозначим у = 1+ -+ ... + —. Из примера 119 следует, что 1 1 2 У = С+!И и+ 7, где С вЂ” постоянная Эйлера, а 7„-а 0 при ьь оо.
Тогда хоь Оьь.ьб У вЂ” С + 1в((1 + ь)п) + 711»О~ — С вЂ” !и и — 7 = 1в(1 + а) + 7[ьеь)» 7». ' ' Поскольку 7 О, 711ебп — ь 0 при ьа — ь оо, то !ип х,и = 1п(1+ а), а = 1, ав, Следовательно, йап к = ( !ип хь, Ьш хэ, ..., !!ш х ) = (1л2, !пЗ, ..., !п(ьв+1)). в » и»ь 130. Пусть задана векторная последовательность (х ), где К (Х1 22п '''ь Х ) евклидова норма которой стремится к бесконечности. Обязательно ли существование хотя бы одной последовательности координаты (хьи), стре. мящейся к бесконечности? Рассмотреть пример (1 — (-1)и)ьь' (1+ (-1)и)и' Хп— в+1 ' »+1 и в Нег, не обязательно. В предложенном примере евклидова норма 2пэ ((к„!! = стремится к бесконечности при в оо. Однако ни одна из последовательностей координат (1 — (-1)и) (1+(-1)и) хь.
х2 »+1 ' »+1 не стремится к бесконечности. Действительно, длл последовательностей координат йш хь„ ~ +со, Рип хьи и» 0; йпь хэи = +со, 1пл хэи = 0 п Оь а» и, следовательно, оо не является пределом ни для одной нз этих последовательнортеа?:,м 131. найти предел последовательности (А„) ь» (аь ~), ь = 1, е, 2' = 11 д, где 1 1 1 + . +...+ ., еслиу>а, в+ иь+ 1 в+ ьн+ 2 11+111' если ь=у, в 1 1 1 + .
+...+ ., если ь'>1! ьь+ Уаа+ 1 ьь+ 111+ 2 и + ьп п ь-ь аи, а — 1,11, 2 1ьбь !»! 'ььь ь 1 каждая из последовательностей > ь'. Тогда (см. пример 129) 1 +...+ и+ 211 м Сначала докажем, что сходится. Пусть, например, 2 Ьп) + '1 и+а»+1 в+иа+2 ( 1 1 1 — + — +. + ) — (1 — + — + ... + . =хь — хе» ~в+ ! в+ 2 и+айа) 1»+! в+2 в+ ьп/ Гл. 1.
Введение в анализ ГдЕ Х1» и 1П(1 + 1) Прн П СО. ОтСЮда а;" = х„» — хзп 1п(1+)) — 1п(1+1) = !п —. при и -~ со. ( ) О 1+1 Аналогично при 1 > ) находим, что (и) 1+1 а, = х㻠— х«» 1п —. при и оо. 1+) (и) 1 НаКОНЕц, ЕСЛИ 1 =/, тО а(1 = — -и О Прн П ОО. Таким образом, все последовательности ~а~"~~ сходятся, поэтому <'1/ О 1п- 1п— 2 2 1п- О 1п— з з 2 з 1в« 1в6 О з !1' з 1п о з !пк Гйп А «» ) 1по а(")) = « 1п д 1п с !п " , О З 1 132.
Найти и 1 н+ 1 ~~' Япз)" 1пп и ф«16п»+пп» О 2» е Все элементы матрицы являются сходящимися последовательностями, поэтому и ! 7м 16 е н М- ) ! — Ь, ! „2. с»а+1» ««О' п(ог)" )'1 О О п «и» «21« Упралонеиия для самостоятельной работы Доказать 62. Бш следующие равенства: 1.н+г 21о ... + м (па1)! ~ Э(ь+1) ... (Ь+и -1) «»1 1 и( +1)...( +»«) и+1' = —, где «п — натуральное число.
< ' ' ... ' \ з/ «+: / 11'+2«+ ...+ «1 (»Э1)«р+1 ' = —, где р — натуральное число. Е. 1 1 «и †,, где ш — натуральное число. ь(1'+1).. (ь+« .(-1) т»! ' «=1 «(1+1) .. («оп«-1) 1»] ОЗ. Г 64. 1ш1 » 65. !шз » «« 66. Бш 00 )( птз М Ю -гы г121 ... О +» г' ОТ. Бш ° о П»1 69. Пусть хо > Π— произвольно, 1/ Хо+1 = З <2Х» + у) « П Е ХО. ДОКаэатЬ, ЧтО 11Ш Хп «и фа.
! 6. Предел последовательности 70. Последовательность (х„) определяется соотношениями х з! = рх + 4, р за О,хг— произвольно. При каком условии последовательность (х„) сходится7 Найти, в случае ее сходимостп, предел. 1 1 +- 71. Доказать неравенство (1+ -) ! > е. 72. Доказать неравенства Й вЂ” „',„1. (1+ —.') Й „.,',, 1=! ь=! 73. Найти 1пп -"г-, О < А < 1. Пользуясь теоремой о существовании предела монотонной и ограниченной последовательности, доказать сходимость следующих последовательностей (я„), где: С помощью критерия Коши исследовать на сходимость следующие последовательности (х ), где: 1 ! 78. х„= — + — +...+ —, в=2,3,....
з! 'з зы'з ''' и! 1 1 1 ! зг ызз 78. Пусть а! > аз > а! » .. О. Доказать, что последовательности (Я„) и (е»), где 8»=а!+»з+ ... +а, е»=а!+2»з+ ... +2"аз или обе сходятся, нли обе расходятся. 70, Доказать, что последовательность (Я»), где сходится при р > 1 и расходится при р < 1. 80. Доказать, что для любой последовательности (а ) с полоясительными членами справедливы неравенства: а) 1пп -'л+'- < йп1,",/а„; б) йп1,",/а < йп! -лть. »! Найти пределы векторных последовательностей (х ), где 81. х» = ((! + -), (1 4 — ), ..., (1+ -"') ) .
82. х» = ((1+ Ч»+', (1+ — „', ), ..., (! + — ') ) . 83. х„= =(' ' 84. х» = (~/3" +2» ~/3" +4" ~/3" +6") »ф! »Е»-» )1 ' Найти пределы матричных последовательностей (А„), где 86. А = ((1+-') ),1=1,р, 1=1,д. 87. А „з ! - '=(' ' ! '|-) 80. Доказать,что Бш А„В» =!пп А . Нп! В», если пределы матричных последовательностей существуют и все члены последовательностей являются матрицал!н одного размера. Гл. 1.
Введение в анализ бб 90. Пусть матричные последовательности (Ао) и (В„), где А„= (а,", ), Во = (Ьзз ), н векторная последовательность (х ), где х = (хт, кзн ..., тоо), сходятся, причем БтА =А, о 1цв Во=В, йп х =х, аматрнцыС=(с,), С=(уо) ивектору=(уз,уз,...,уо), о=1,р,У=1,у, Ьт1,г— постоянные. Локазать, что: в) йп А„С=АС; а) йп А„В„= АВ; и оо г) Ипз А„х„= Ах; б) Ига СВ„= СВ; о д) йп А„у = Ау. и оо ~ 7. Предел функции 7.1. Предельная точка множества. Предел функции в точке. Определеиие 1.
Пуспоь Х С И. Число кэ Е И нозыеается предельной точкой множества Х, если 'э'е > 0 Э у Е Х, у ~ кэ: 1у — хо ) < е. Ие определения следует, что любая окрестность точки ко содержит точку из множества Х, отличную от ко. Сама точка хо может принадлежать, а может и не принадлежать множеству Х. Определение 2. Значение +со есть предельная пзочка множеспзеа Х, если эМ Е КйуЕХ:у>М. Эначение — со есть предельная точка множеспзеа Х, если тМ еИЭу еХ:у < М. Определение 3. Гочка к Е Х, не яеляющаяся предельной пьочкой множества Х, назыеается изолированной паочкой множестеа Х, т. е. 3 б > 0: Я(к, б) О Х = (к). ОпРеделение 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
