Anti-Demidovich (Lyashko I.I., i dr.). Tom 1. Vvedenie v matematicheskij analiz, proizvodnaja, integral (2001)(ru)(T)(358s) (940506), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Введение в анализ ус 155. Тип т/«+1 ч Разделив числитель н знаменатель на ь/х, получим ф+~~ -4~.,/х + 1 ~/1+ — „ ,/х — ь/а+ „/х — а /хз аз м Имеем ь/х —,/а + ь/х — а . ( «/х — «/а ь/х — а Пш =Бш + « « т/ху — аз « 'ь «/хз — аз ;/х~ — ат / х а 1 ) .
( 1 х — а + — = 1пп — + — «« — > ««! т/хз — ат (т/х+ т/а),/х+ а/ «- ~,«/х+ т/а !/ в+ и т/х+ а/ т/гаа «/9+ 2х — 5 з ««/х — 2 м Очевидно, /9+2х — 5 . (9+2х — 25)(т/хат+Я!х+4) . /хз+2««/к+4 12 «з ~т~х — 2 «з (х — 8)(т/9-(-гх -!.5) * з т/9+ гх+ 5 5 ' Замечание. При решении примеров 155 — 157 использованы результаты примера 154.
т/Т+ х — 1 168. йп (в — целое число). «-с х М Положим "„/1+ х — 1 = 4. Тогда х = (1+ 4)" — 1. Считая, что (х( < 1, имеем 1 — )х( < т/Т+ х < 1+ )х), откуда 1пп Я+ х = 1, т. е. 4 0 при х О. А тогда с т/Т+х — 1, 4 . т 1 !нп = Бш = !пл «-с х ~ с(1+5)« — 1 ~ он!+с(т) в Следовательно, ~/Т+ х = 1+ -+ о(х), х О. в ь/х+ 2 — ~/х+ 20 ,'/х+ 9 — 2 М Имеем при х 7 х — 7 У х — 75 ~Б+ г = З 1+ — = З ~(1 + — ) + с (х — 7), 9 18 ) 1/х + 20 = 3 1 + — = 3 Г1 + — ) .1- о (х — 7), 27 ~ 81 Т9«2~/1+ — =5(1; — ); ( — С Таким образом, 1/х+2 — т«/х-!-20 3(1+ — *, ) — 3(1+ — ) +о(х — 7) П2 !пп = !пп — > ь/х+ 9 — 2 т 2(1+ — *) + с(х — 7) — 2 27 160.
1пп = «с,'/1+5х — (1+х)' ! у. Предел Функции М Положим ~/Г+ 5х = !. Ясно, что ! — с О, если х О. Тогда х = -((1+ Г) — 1) и — 'И1+ )' — 1)' !пп !1нс Ы *-.;/Г+ бх — (1+ х) —. ! 1((1+ !)ь ц ,'., а~ — 1 с с* = !йп,зь с о ! — 1(5! .!- 10!2 + о (Р)) с«о — 212 + о (!2) 2 в — целые числа). = 1па !/1+ ух и 1пп с о *-о 162.
Пусть Р(х) = асх+ азха+ ... + а„х" и св — целое число. Доказать, что !Шс ° Так как Р(х) 0 прн х О, то ;К+ ~(х) -1 м, т/1+Р(х) -1 Р(.) Рип = Ыш 2 О х о Р(х) х = )пп " 1пл(аг+азх+ ... +а х" ) ы— х-а Р(х) *-о ш (см. пример 158). я Найти пределы: "'/х — 1 163. !сш „(пс и и — целые числа). ",/х — 1 М Положим х = (1+!)~". Тогда ! О при х с 1 и 2/х — 1 . (1+ !)"— 11ш „= Бпс с/х — 1 с о (1+!) 1 в 1 сп (см, пример 150, б)). > 164. Нш ( ь/*)( (1 — х)" ° Ф Полагая 1 — х = ! (! 0 при х -с 1), получаем 1пп (1 — ьсх)(! — ~х) " (1 — Лх 1 (1 — )'* ' ) 2 3 'в я! = 1пп с о М 1 1 (воспользовались решением примера 158).
Ь Решить примеры (в примерах 165 — 168 избавляемся от радикалов в числителе и переходим к выражениям с очевидными предельными значениями): 165. !шс х(;/хз+2х — 2„/хз+х+х), 1 Имеем 2х(~/х~ + 2х — х — 1) 1пп х(~/х~ +2х — 2~/х~ + х+ х) = Исп х х +« -асс ь/хт + 2х+ х+ 21/хУ+ х -2хз — !пп -+ы (~/х~ + 2х -!- х + 21/хх + х) (у хз + 2х -!- х -!- 1) 1/1 + ссх ",/1 + О'х — 1 о х М Пользуясь результатом примера 158, и с/Г+ох ~/Т+ Дх — 1, ~/Т + Дх( !пп = = 11пс меем Я+ох — 1)+ ъ/1+7х — 1 ",/Г+ох — 1; 7/1+~ х — 1 о ф + !) 1йп = — + —. ° ох О сзХ В ВС Гл.
1. Введение в анализ 166. )пп (~/хо+ 2«2 — 1гсхг — 2х). с + < Прибавляя и вычитая х, получим йш (1/«2+2«2 — Гугхг — 2х) = йш (~/х' — лхг — х)+ бш (х — /х' — гх) =1+1 Е ОО + = 2. ° 167, йя ( — х). м Положим — = 1, тогда 1 — +О при х — +ос и 1 "сс1+ Р(Г) — 1 (х+ ас)(в+ аг) ...
(х+ а„) — х = Ф где Р(1) = (ас + аг + ... + аО) г + (а, аг + осаг + .. + О„со„) гг + ... + ос аз ... а„го. Используя результат примера 1б2, находим, что искомый предел равен аг + аг + ... + а„ (х — ъгхг 1)) + (х + ъ/хг — 1) 168. Ппг О +Ос х" < Имеем Вш (х — г/Р— 1) + (х + тУхг — 1) Х +Ос ха — 1пп + йш 1+1 1 — — =0+2" я2". В с,х(х+ гхг — 1) 1 О-~~ 1 о (тгГ+ х~+ х)" — (,/Г+ ху — х)" 169. Иш (гь — натуральное число), О О х < Возводя в 11-ю степень и приводя подобные члены, получаем О О х ох 1 =1 (.(,л~.*) с — ) =,. 1 ( ) с О гс г О.
Тогда ВП1 ГПХ . В!П(СП« йш — = йпг ;с В1ПНХ С-О Вгп(п« + осг) . ( — 1)™япосг = 1пп + пг] с-о ( — 1)" яп вг = (-1)' — Ыпс †. —, = (-1) . —, В От, япш1 пг „, „ш 11 с о шг япгсг 11 171. ц 1 — сов х о хг Л Пользуясь первым замечательным пределом, находим йш .г г Таким образом, 1 — сов х = — '+ о (х ) при х О. В Найти пределы: яп осх О ЯП СОХ < Положим х = «+ 1 — совх, 2яп — 1 гв1п — т 2 / ' 11пг г 1;ш ~ ' 2) хг О о хг *-о 2 — 2 2 11. Предел Функции 1+з!Пх — созх, х+о(х) 1 = Йп — в а-а 1+2!Прх — соврх а о рх+ о(х) р 175, Доказать равенства: а) !!пг япх = ива; б) 1ип сов х = сова; а <а а) Имеем 2п'- 1 в) Ипггдх=гба, аф — гг; ПЕЙ. а 2 х — а~ < 2 ~ яп — < )х — а), Йш в!их = яп а. 2 х — а х+а О < ) яп х — вша( = 2яп — соз— 2 2 б) Аналогично х — а О < !сов х — сова! = 2яп —,яп — ~ < )х — а) и Вш сов х = сова.
х+а 2 1ю * а в) !!шсдх='1 ' = — „,„=!ба,еслисозафб,т.е.еслиа~ — "а, пба2. ° Найти пределы: 176 21П х 21п а а ~ х — а <а Очевидно, 21пх — 21па 221п 2 соз 2, 21п 2 . в+а 1ип ' = 1пп 2 2 = йп — 2 1!1П соз — ж 1 сова = сова Х вЂ” а а а х — а а — а а а а 2 2 (здесь воспользовались тем, что сов х -а сов 5 при х 6). с!З х — сгд а а а Х вЂ” а я Пользуясь формулой разности котангенсов, находим ссб х — с!5 а яп(а — х) 1, ( яп(а — х) 1) 1 . 1 1 1ип = !Пп ', — = !Пп —. Бш —. х — а» япх зша х — а 1 а — х / япа *-аз!пх яп а афЬг, абЕЗ!и соз (а + 2х) — 2 сов (а+ х) + соз а Вш о хз <а Выражение в числителе преобразуем в произведение, имеем сов(а+2х) — 2соз(а+в)+созе, 1 /, х, 1' ЗХ1 .
х . 1' х'1'1 1ип — 1ип — (-22!п — з!и ~а+ — ) + 2яп — яп~а+ -)) = о Х2 а О Х г) 2 1 2)) ( 1, х, х = 1ип ( — — 2зш — 2яп — соз(а+ к)) ш — сова. гв оь хз 2 2 172. !ил —. !Ох о х <а Из неравенства (! — сов х) = 2яп а < (х! вытекает, что 2 а 2 !Зх, япх 1 !Пп созх = 1, Иш — = 1ип — — = 1. о о х о х сов х Таким образом, гр х = х + о (х) при х О. Ь 17-, яп 5Х вЂ” яп Зх 3. Впг а-о з!п х <а Пользуясь асимптотическим разложением, находим з!Пбх — япгх . 5х — Зх+о(х) Иш = 1пп =2. 3 *-о япх * о х+ о(х) 1+пах — сов х 4.
!ип о 1+ зшрх — созрх ° Поскольку при х О имеем 1 — сов х = о(х), 1 — созрх = о(х), япх = х + о(х), япрх = рх+ о(х), то 18О . 2в1п х+ яп х — 1 2 Вп) 2 япг х — 3яп х+ 1 б М Разлагая числитель и знаменатель на множители, получаем — Оввс )(г«„- ) . «,— "2яп х — Зв)па+1 (япх — 1)(2япх — 1) в1пх — 1 б б б 181. Вш, ~З * соз(х+ -) ч Разлагая числитель иа множители, имеем Гбх (ГЗ х — 1З = 1пп соз (х+ -) яп (х— +ТК-1 3 г соз х сов — яп э ЗЗ х — ЗФЗх " сов (х+ -) 1пп Збх (ТИх+ ТЗ вЂ” ) = -24.
З (7- х) 3 сов х соз з ж )пп гбх (гдх з 18О В ОЗ ( + х) ТЗ (а — ) — Оц'а «-о х я После очевидных преобразований находим з( + )(г( -*)-«" ( ( 4*.-«)т Ьш о хг ° М*. ТК х 4 4 сов2а 2 о х 2 =йш — (Оба — 1)=ТО а — 1«« —— сов4 а ' 183. Вш , То* 'Б7 - ЛБ М Уничтожая иррациональность в знаменателе, получаем х' .'(Л(+* ' г ) Лс ' г Л Бш = Бпг = йп *-О 1+хяпх —;)(созх * о 1+ха)па — созх о г е г,* с ' *, * ( . *)Лттгг Т= т/~х -г1 при х О. Далее, — „-2-'- = — (" -у( — при х О. Следовательно, Лозы-, „та« Йш ." Π— +— 1-сог«(о з/сов х — ~сов х йп *-о вшг х тЗ Гл. 1.
Введение в анализ сГЗ (а + 2х) — 2 сод (а + х) + сгб а .с О хз < Аналогично предыдущему 1шг сгб(а+2х) — 2ОФК(а+х)+стба . 1 )пп — ((ОТО (а+2х) — сад(а+х)) — (соб(а+х)-боба)) = «О хг «о хо — вшх япх = 1пп +с «-о хг Т,в!п(а+2х)яп(а+х) в1п(а+х)япа ( 1 (зги х1 2сов(а+х) з) 2сова о Тяп(а+ в) т х у япаяп(а+2х) Т вшза ' афЬг, Ййя.
3 7. Предел функции ч Вычтем и прибавим в числителе единицу, тогда а/сов х, часов х — 1 1 а/соз х =!пп ~, + х о а в!пох мп х ( сов 8 — 1 1 — сов х 1 =!пп, з + . г о О 1 вап х!а/сов х+ 1) 81п х 1+ а/сов 8 + 1/совз х 1 — совх( х 11~ 1 1 + +- хо 18!ах/ аа !/совх+1 1+ '/сов х+ з/совах/ 2 1 2 О/ ,/Сав Х— 1цп о о!а = Нт о О ч Действительно, 1 <2 в!и « — <в при х> — жя(8).
2(ъ/8+1+ а/х) а/х+ 1+ /х 2,/х Вво Докажем следующие утверждения: А) йьп а =а~о, а>0; Б) йщ !пх=)пхо! -*о о оо В) !пп !и(х))»ао! = ао при условии, что ое > 0 Эб > 0; 0 < /х — хо/ < б ~ !О < /н1х) — а) < оо о) /а (О С (о(х) — Ь! < 8). ч А) Достаточно рассмотреть случай а > 1. Имеем !а* а*о ( а~о !а — о 1 Поскольку йп! а» = 1пп а = 1, го для произвольного о > 0 существует такое ио, что 1 1 о е 1 — — с и "о < а о < 1-!- —.
а*о аоо Тогда при ~х — хо! с — имеем 1 о 1 1 о о 1 — — < а "о с а" *' < а "о < 1 + —, а»о аоо ' т. е. !а* — а '! = а '(а' ' — 1( < о при (х — хо! < —. Б) Имеем — < !и (!1+ — ) « —, — — !п ~1 — — ) < —— и+1 ! а) а' ьь — 1 ! и) и при и > 1. Таким образом, при а > 1 — — < 1и ~1 — -) < !и ~1+ -) < —. н — 1 а а) а Пусть о > 0 — произвольное число, не превосходящее з.
Тогда существует такое ао, что 1 —. < !. (1 — ' ) < !. (1+ — ') < .. Если взять 1 х — хо 1 — « —— ьао хо ао Здесь воспользовались тем, что 0/совх 1 при х — » О, а зто следует из примеров175 и 154. О» ' 185. Доказать, что !1п! !ощ 1/ х + 1 — вп1 а/х) — О. +о» 80 Гл. 1. Введение в анализ то длл разности йг х — 1пхо =1и (1+:а) получим следующую оценку: *! — е < !и (1 — — ) < 1п (1 + ) < 1п (1 + — ) < е или )1и х — 1и хе! < е, если только )х — хе! < хое.
В) Согласно условию и пункту В), е(х)1пи(х) Ыпа прн х -~ хе. Тогда, на основании А), имеем ат ге! 1пп (и(х))щ ! = 1пп гщ !'""г*! = е '"' = а = !пп о(х)) ' . 3 ео яе Г,г- г Найти пределы 188. и (,х+',)", м Согласно утверждениям А) — В), имеем (2х+ 1) *- ( 2х+ 1 ! Поскольку 1п —, < 0 при достаточно больших х, а 1пп х = +со, то искомый предел рая+я г ге+! вен О. > Замечание. Решение примеров 187 †1, 200, 201, 208, 209, 210 основано на простом примере раскрытиянеопределенности 1о'. Пусть Иш е(а) = 1, Ип! е(х) = оо.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
