Anti-Demidovich (Lyashko I.I., i dr.). Tom 1. Vvedenie v matematicheskij analiz, proizvodnaja, integral (2001)(ru)(T)(358s) (940506), страница 23
Текст из файла (страница 23)
!пп ~ '[ ~~1+ —,, — 1З], р б )2!. 116. Нш ~ з!а —... р б )3!. 3»1 33 1»1 112. й П (! + -Мт), р б Н. 118. Доказать неравенства » < Пх„"3 < ~ Льхь З»1 3»1 л 23 1»1 2 122 !шг а 126. !1п1 м»а+))- 1.!1Е.3) где хз > О, О < Лз < 1(А = 1,а), ~ю Л, = 1. 119. Пусть: 1) О < Лз ( 1; 2) ~ Л1» = 1; 3) йгп Л»2 = О прн каждом фиксированном 2-1 » 1! 4) х > О, о б )2)! 6) !1п х„= !. Тогда йш П х„"'" = !.
» ю Найти пределы: Π— ' Хе 2 +1)-1 2» 120. !ип г 2 1 * г 123. Гип [ 1' ) 2. 2-3 е 1+2* 124. !ип ['~*) 126, )йп — ЙБ..]:*=-', 2+» .-0 97 1 8. Непрерывность функций Найти ! = 1!ььь У(х) и А = 1пп )(х), если: ьа 127. 6(х) = эьп х + сов(еЯ). 128. 6(х) = ыв (кчь2) + Ь сов~(хз/2). 120 дх) чьпг(х Р) — (1+ эьаг,)г 130 )(с) = (1-1- ь) вьпг х г (т ) 131. 1(х) = (1+ -)' + эьььг х, 132. 6(х) =, '] 8. Непрерывность функций 8.1. Определение непрерывности функции.
Определение 1. Функция у: Х вЂ” ьнь Х С В'., называетсм непрерывной а точке ха Е Х, если ььтолняется одно из экаивалентнььх условийь 1) Че > О дб > 0: (ьььх Е Х) (!х — еа] < 6) ~ ]Т(к) — У(ха)] < е; (1) 2) для произвольной ногледовательнатпи (х„) значений к„Е Х, сходящейся при и ~ оо к точке ха, саответгшьующая аогэгдааальельность (6(х„)) значений функиии сходится при и — ьхь к 1(хо); 3) !пп Т(х) = 6(ха) или 1(х) — 6(хо) -ь 0 при х — аа О~ 4) эе > 0 Зб > 0 ньокое, паа Яха — 6, ха + б[) С ]Т(ха) — е, Т(хо) + г[ ими, что то же самое, Т:]ха — 6, ха+6[ Щха) — е, Дха)+е[ Иэ определения непрерывности функции ) в точке ха следует, что )ьььь У(е) = Т !ьпь *1.
а эа Определение 2. Если функция 1 непрерывна в каждой точке инпьервала ]а, Ь[, то функцим ) называется нгпргрььвной на эпьом интервале. Определение 3. Функция 1:]а, еа] !й (1: [ха, Ь[ Щ называется непрерывной а точке ха слгео (гпраьи), если вьпьолнметсм одно из экеиеалептиых условий: 1) ье > 0 дб > 0 такое, чьао неравенство (1) выполняется, как пьолько'ха — 6 < к ~< иа (ха <к < ха+6): 2) для произвольной нослгдовапьгльносьли (е„) значений к Е ]а, ха] (кн Е [ха, Ь[), стодящеься к ньочке ха, гоотеепьсьнвующая паследоваьагльность (1(х„)) значений функции з гходиньсм к б(ха)1 3) !ьпь 1(к) = 1(ха) 1ип 6(х) = Т(ха) или, короче, если Т(ха — 0) = )(ха) (з(ха+ эа — а ь *- а+а О) = Т(ха)); 4) ье > 0 дб > О пьаьсое, что У(]еа — 6, ха]) С ]У(ха) — е; Деа) +с[ (Т([ха, ха+ 6[) С ]У(ко) — е, У(ка) + а[).
Функция 6: Х К непрерывна ео внупьренней пьочке ха Е Х пьогда и только тогдаь когда оно ь твоа' точке нтьргрыьна слева и сььроеа. Теорема 1. Если функььия д: Т Х. Т С К, Х С К, непрерывна е пьочке га Е Т, а функцим 1: Х К непрерывна е точке ха Е Х, где ка = д(га), пьо композиция у о д: Т К нтьрерьтна е точке. га. Теорема 2. Пусть функции б: Х ЬЬ и д: Х !!Ь, Х С ЬЬ, непрерььвны в точке ха Е Х. Тогда функции )'+д, (д и — (д(ха) ф О) 1 непрерывны в ьлочке ха.
Все элементарные функции непрерывны а области существования. Гл. 1. Введение в анализ 6.2. Непрерывность вектор — функций и функциональных матриц. Определение. Векпьор-функция х ь Г(х), Г(х) = (П(х), ..., гч(х)), х б Х, назыеаспься непрерывной е точке хо б Х, если 1пп т'(х) = Г(*~), г Функциональная матрица х ь А(х), где А(х) = (а, (х)), ь = 1, ьп, у = 1, ьь, называется непрерывной в точке ха б Х, если 1пп А(х) = А(ха). 'г Вектор-функция Г непрерывна в пьочкс хэ б Х тогько и только ьпогда, когда е эпьой точке непрерывна каждая из функций х ь )ь(х). Функциональная мапьрица х ь-ь А(х) = (а, (х)) непрерывна е точке хг б Х птгда и только тогда, когда е этой ьаочке непрерывны всг элсменпьы мапьрицы г ь а„(з), ь = 1, ть у' ж 1, и.
0.3. 'Гочки разрыва функции и ик классификация. Особые точки функции. Определение. Если функция ь: Х В не, я*ляюлся неььрсрыаной а ьпочкс хг б Л, то говаряпь, чпьо она цьерпипь разрьт в эпьой точке. При этом точно го, назььеастс» пьо ькой разрыва функции (. Точки разрыва функции )' классифицируем следующим образом: 1.
Пусть хо б Х вЂ” точка разрыва функции 1' и существует 1пп 1(х), конечный нли о бесконечный. При этом: а) если 1нп 1(х) конечный, то хэ называем глочкой устронимого разрыоа функции )'; гг б) если Вш ь(х) = оо, то хо называем гпочкой розръьва тиььа полюса. г 2. Если йш ь(х) не существует, то точку хо б Л называем точкои сушссптенного г разрыва функции у". При этом: а) если существуют конечные пределы Г(хг — 0), ) (ге+ 0) (1(хэ — 0) ~ /(хе+ 0)), то точку хо называем пьочкой разрыва первого рода функции ), б) все остальные точки существенного разрыва называем ьпочками разрыва второго рода функции 6. Поскольку в изолированной точке хо б Х функция г": Х К непрерывна, то ее точками разрыва могут быть лишь предельные точки х б Х.
0.4. Основные свойства непрерывных функций, Определение 1. Функция г ь [а, Ь] В пазьтаетсч пепрсрььеной на сегмгньпе [а, 6] если она непрерывна на интервале ]а, 6[ и е пьочке а непрерывна справа, а в точкьь 6 слева. Пусть функция 1' ь [а, 6] 66 непрерывна на сегменте [а, Ь], гогдаь 1) она ограничена на этом сегменте; 2) если т = ьп1 (1"(х)), М = зир (г" (х)), то на сегменте [а, 6] существуют ге(,ь1 е1, ь1 точки хь и хз такие, что )(хь) = т, 6(хэ) = М (тгорема Вейершпьрасса); 3) принимает на каждом сегменте [а, (г], [а, )г] С [а, Ь], все промежуточные значения между ~(а) и 1(ьУ) (теорема коши).
В частности, если 1(а)г(В) < О, то найдется такое значение т (а < т < д), что ь(г) = О. Определение 2. Функция 1 ь]а, 6[ И называспься кусочао-непрерывной на интер- вале ]а, 6[, если она непрерывна ео ессх пьочках этого инпьсрвала, кроме конечного числа точек разрыва ььервого рода и конечного числа пьочек устранимого розрьта. 248. С помощью "г — 6" — рассуждений доказать непрерывность следующих функций: а) х ьь ах + Ь, а ф О, х б Я; б) х ьч х, х б В; в) х ь х, х Е И; г) г ь ыгх, х > 0; д) хь-ь ьг'х, хеР.; е) хь-ьз1пх, хб66; ж) хь созх, або: з) хь агсгех, хбК. И а) Выберем г > 0 произвольно.
Для любого фиксированного хэ б Й имеем [ах+ Ь вЂ” ахг — Ь[ = ]а[]к — хо] < г, если [х — хо[ < — = 6 )а( у 9. Непрерывность функций б) Пусть е > О -- произвольное и хо б И. Тогда г г' онпмгго гпон .Е,о !х — хо! = !(х — хо) +2хо(х — хо)! < !х — хо! +2!хо))х — хо! <'4ггг"г "гсгчц-"--- Р как только !х — з:р! < /ха(з + е — !хо! = О.
в) ПУсть е > О "- пРоизвольное, но такое, что 0 < е < 1. Имеем !Ха — хо! = !ха+ ххо+ х~о!(х — хо!. Пусть !х — хо! < 1. Тогда !х! < !хо!+ 1, гюзтому !хз — хе! < (3!Ео! + 3!Хо!+ 1)!х — хо! < е, как тоЛько е !г-хо!<. з = 6. З!ХоР+ З!х.!+1 г) Для произвольного е > 0 и хо > 0 имеем х+ их. если !х — го! < е „гхо = е. д) Длл любого е > О н хо б гсгг(О) имеем (ггхо+ тгххо+ г,.Гхо (ага+ —,тгхо) + е.~/~ц ~ 1УХок г' !*" если !х — хо! < — г)х е = б.
4 о 11епрерьгвность функции в точке хо = О следует из неравенства ! г)гх! = ~1/!х! < е, справедливого прк !х! < е' = Ь. е) Длл любого е > 0 имеем х — хо х+ха| !х — хо! !явх — згпхо! = ~2з1п сое ) < 2 2 2 ~ 2 = (х — хо! < е при !х — хо! < б = е. ж) Лпалогпчно предыдущему »гг ~ ° х — хо . х+ хо! !сот х — созга! = ! — 2зьч гбп — < (х — хо! < е 2 2 прп !х — хо! < 4 = е З) ПуСтЬ !ХО! > О И !А! = !à — ХО! < !ХО! ЕСЛИ аГС19(ХО+ГЕ) — аГСГОХО = Ф, те 19$ ж;-+-,Х:-Олг а так как !Г! < /Гд Г! при !Г! < —, то /ассад(хо + 1г) — агсскхо! = )1! < !Гкг! = « е, /й! 1+ хоз + лхо 1+ х' ,— !)г! !хо! если /Ь( = /х — хо! < = 6 (1+ хо) е 1 + !хо! е Непрерывность функции х г агсск х в точке х = О следует из неравенства !ассад х — агссд О! =- (агссд х! < )х!.
Исследовать на непрерывность следующие функции (Ю=.1ео=! 250. г"(х) = (-1) ! ) (сок х+ывх)+ 2чГ2 ~ ~, х е К. (х — б+х) м Пусть ~ ' ~ = и, тогда х принадлежит полуинтервалу !(и — 1)х+ —,пгг+ — [. гг Пуженпе функции г" на каждый из полуинтервалов [(и — 1)х+ —, пх+ -[, н б К, х г-г (-1)" (сок х+ мах) + 2т/2п Гл.
1. Введение в анализ 100 непрерывно. Остается проверить непрерывность функции 1" в точках нх + — ",, н е Е. Из (1) находим х ь D(н — ( — 1)" соэ хг) непрерывно. А так как значение у(н) = н(ьь — 1) равно предельному значению слева Г(11 — 0) = Нт (11 — 1)(н — 1 — (-1)" ьсоэхг) = н(н — !), то функция У непрерывнана множестве Й.
М -о 253. у'(х) = [с], х б И. ч Если й ( (х с й+ 1, й б Х, то [х] = 1', и, следовательно, 1' — непрерывна. Если же хо = й, то У(1) = 12 у(й — 0) = !ьпь [х] = й — 1, т. е, функция Г терпит разрыв при -1 — О хо=о, хбЖ. Определить точки разрыва и исследовать характер этих точек, если: 254. у(х) = *,, х ~-1, У( — 1) =О. .)г ' 42 Имеем !нп 1(х) = -со -1-О !пп Х(х) = — со, --ьаа следовательно, х = — 1 есть точка разрыва типа полюса. М 1 1 255. у( ) = , *41', б иЦ-1, о, 1), у(-1) = У(о) = У(1) = о. :1 ь и Функции ~ непрерывна при х б Щ-1, О, 1) как элементарная, х — 1 х — 1 1ии Г(х) = йш — = ~со !пп Г(х) = !пп — = — 1; 1пп — ььа — -ьаа х+ 1 *-о о х+ 1 Поскольку х — 1 у(х) = !1 — = О, «-1 2+1 У [нт+ — — О = йш (-1)"(соэх+э!их)+2444211 = Я(211+1), 4 ) «-«ад-о 4 т' „у ь' лу . у, ху у ((11 — 1)х+ — ) = ( — 1)" [соэ 11(11 — 1)т+ — ] + э!в [(11 — 1)т+ -)) + 24/42 (н — 1).
(2) 4) 4 4) Далее, полагая в (2) вместо н число н+ 1, получаем у (их+ -1! = ( — 1)«ы ! соэ ( гьх + — 1! + э!в (гьт+ — ! ) + 2ьг«2(гь + 1) = эго (211 + 1). 4) Итак, значения функции Г в точках нт+ —, н б Ж, равны ее соответствующим предельным 4' значениям слева в этих точках. Поэтому 1!ьункция Г непрерывна в каждой из точек нт+ —, гь б К. А так как ранее установлена непрерывность во всех промежуточных точках, то она йепрерывна на всей числовой прямой.
и Ькх !22+ х1 у 251. 1(х) = агс4д — + гг [ ~, х ~ нх+ -', У [гьт+ — ) = нгг, н б Е, х б И. ого [ 2 [' М Если [ — *1 = н и х ~ нэ + —, н Е К, то х б ) ньг — —, ньг+ — [. Сужение функции У 2« 2 ' 2' г на каждый из интервалов [нх — —, от+ — (, н б У., есть непрерывная функция г' 2 !ях х ь агсьд — + нгг. /г Остается проверить непрерывность ьрункции Г в точках нт+ —, н Е 7.. Имеем 2 [ььх+ — — О) = !цп ~ага!я — + ньг = нт+ —, г у (ыг+ — +0) = !пп агсад —, +(и+ 1)т = и г+ —.
...,,а ) 2 г таким образом, у (нх + — — О) = Х (их + -" + О) угь 6 к, и, следовательно, функциа Г непре- рывна на И. и 252. 1(х) = [х]([х] — (-1)россо тх), х б И. ч Пусть [х] = ьь, тогда н < х < н+ 1, н б Е. Сужение функции ) на полуинтервалы [гь, и+1[, нб7, [ О.
Непрерывность функций первого рода. 258 . у(х) = , х ~ О, х ЗЬ 1, у(О) = у(1) = О 1 1 — е'- м Имеем 1, 1 — х Бш 1шь ', — = ~со, х ! — е<-." 1 — о< т. е. х = 0 — точка разрыва типа полюса. Далее, 1 !нп =1, -<+о 1 — е' — * 1 1пп =О, -< — а 1 — ° <— поэтому х = 1 — точка разрыва перного рода.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
