Anti-Demidovich (Lyashko I.I., i dr.). Tom 1. Vvedenie v matematicheskij analiz, proizvodnaja, integral (2001)(ru)(T)(358s) (940506), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Так как ыт(б) = уир [7(х) — г(у)), то у, уе1«,б1 1. -у1<б 1б (х) — У(У)) < б ух, у б ]а, Ь[Л [х — у) < 6, т. е. функция 1 равномерно — непрерывна на ]а, 6[. Досшоточносибэ. Пусть у' — равномерно-непрерывна на ]з, 6[, тогда Чб > 0 36 > 0: Чх, У б ]а, 6[Л ]х — У[ < 6 ~ 17(х) — У(У)] < —. 2 Но тогда при тек же условиях относительно х и у имеем ыт(6) = злр [у(х) — у(У) ч — < б, ,ул1,Ч 1у — у1<б т.
е. !пп убт(6) = О. б-+э ПО Гл. 1. Введение в анализ Упражнения для самостоятельной работы Исследовать на равномерную непрерывность следующие функции; 171. ~(х) = ь/хх+ 1, х Е Ж. 172. у(х) = у~Р!ах, ! < х < +ос, 173. Г(х) = ьухх!их, О < х < 1. 174. 7(х) =,/х, О < х < +оо. 2 2 175. у(х) = — ',, О < х < +оо.
176. у(х) = — *,, — 1 < х < О. 177. Дх) = —;,, х Е И. 178. Г(х) = х+ !п х, 1 < х < +со. 178. )(х) = х!их, х Е ]О, ![, 180. Г(х) = е ", х Е В. 181. ((х) = —... х Е Ы. 182. Г(х) = хх !и х, х ) !. 183. 1(х) = х соа х, х Е !!. 184. у(х) = х~ соа х, х Е [О, т]. 185.
1(х)=х +х +1, гЕК. Глава 2 Дифференциальное исчисление функций одной переменной ~ 1. Производная явной функции 1.1. Основныо определения. Определение 1. Путаь дано функция у <]а, Ь[ !й. Разность сэх = х — хо (х, хо к]аг Ь[) поэыопгтсл приращением аргумсг<гцп е <ночке хо, Определение 2. Разность ЛУ(хэ) = у(хо + <.'гх) — ((хо) называется приращением .<нпчсний функцпи Э' в гцочкс хэ. Определении 3. Если гущесошугга предел (конечный или бесконечньгй) гад(хо) ь -О дгх гчо он нп<ыепгтгн проиэаоднои (конечной или бесконечнойу функции ( е точке хо. Определение 4. Пред<'лы (лонечнь<е или бесконечна<с) Р (хо) = 1<т, (+(ха) = 1<ш М(хо) , . э'г|(хо) ь -о <".эх ь +о <лх цаэыва<огт'л щ<птегц<ггпвгнно левой и прпаой нроиэоодными функции ( (конечной или бесконечной) е н<очк<' гс .
Во всех этих определениях бесконечный предел понимается как один из символов +ею нли -сю. Определение б. Если функция у" терпит розрые пгреоэо рода е точке хо, гао ее<рашен ця Х(хэ + Ьх) — ((хо — 0), У(хо + тих) — Дхо + О) (' (хо — О) = 1пп (~(хо+ О) = 1пп ь — — о <'.г х ь* +о 11х цаэыоа<птсн < оотптпгтогнно левой и правой а расширенном смысле производными функции ( о гпо <к< хс.
1!еобхоцнмо помнить, что во всех этих определениях приращение <ч<х стремится к нулю произвольно !!рнращгння <1х н <ь((хэ) могут быть как сколько угодно большими, так и сколько угодно малыми. 1.2. Правила вычисления производных. Если функции ( и д имеют конечные производные прн х к ]а, Ь[, то 1) (о<э + пэд)' = о<('+ озд', ог, пэ — постоянные; < 2) (Рду = )д' 4- Кд; 3) (г) = Р",~г, д(х) ~ О. 1.3. Проггзводная сложной функции. Если Функции (: и л Э(и), р: х < и = р(х) имеют конечные производные Эч и р~< го Щгэ(х))), = („(ээ(х))1э',.
значком внизу обозначена переменная, по которой вычисляется производная. 112 Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной 1.4. Таблица производиык. Если х — независимая переменная, то справедливы формулы: 1.5. Пронзводнал степенно — показательной функции. Если функции а: х ь и(х) и х: х ь- е(х) имеют конечные производные, то ((и(х))" ) = (я(г:))" ' о'(х) !и и(х) +, и(х) > О. и(х) 1.6. Производная от вектор — функции и матричной функции. Если компоненты вектор-функции г: х ь (г)(х), (г(г:), ..., у (х)) имеют конечные производные, то у':х-(йх), Л(х),, у'(х)) Аналогично, если злементы матричной функции А: х ь (а, (х)), где (ао(х)) — функциональная матрица порядка т х и, имеют конечные производиьн а, (х), то производная матричной функции вычисляется по формуле (г(х) " .(а(*! агг(х) .
аг (х) а'„(г) („о(,)),>) а'„о (х) а',„г(х) ... а„ю(х) 1.7. Производная от комплексной функции скалярного аргумента. Если ю; х ь и(х) + гл(х) и функции и; х ь и(х), е; х ь з(х) имеют конечные производные, то производная функции ш вычисляется по формуле ш =и +га 1. Определить максимальное приращение г5х аргумента х и соответствующее приращение г11 (хе) функпин г": х ь !8 х в точке хе = 1, если х изменяется от 1 до 1000. ч Используя определения 1 и 2, п. 1.1, имеем г5х =1000 — 1= 999, Ау(хе) = !81000 — !8! = 3. М 2. Определить максимальное по абсопютиой величине приращение г5х аргумента х н со- 1 ответствующее приращение г11'(хе) функции 1: х ь — в точке хе = ю,1, если х изменяется от 0,01 до 0,001.
м Аналогично предыдущему находим 25х = 0,001 — О,О! = — 0,009, г5)'(х ) = — = 99 10 . З 1 1 4 (0,001)г (0,01)г Примеры 1 и 2 показывают, что прирагленля г5х л г1г'(хс) могут принимать какие уголно значе- ния. 1) (х~)' = ох" ', (ьгх) = —; 3) (гйп х)' = соз х; 5) (18 х)' = — ',; 9) (агсмп х)' =— ,/~ .г 11) (!одах)' =,~, а > О, а ~ 1, (!п х)' = ~; 13) (с!гх)' = з!гх; 15) (сг(г х)' = — —.. 17) (агг!гх)' = —...
!х( < 1; 19) ((х])'=О, хф11 йсЕ. 2) (а )'=а!па, а>0, (е )'=е 4) (соз х) = — мл х; 6) (с18 х) 8) (агсс18 х)' = — т,г, 10) (агссоз х)' =— ьг г' 12) (з!! х)' = сЬ х; 14) (15 х)' = —,, 16) (аыЬх)' = 18) ((х() =здпх, х ~ 0; 3 1. Производная явной функции 113 3. Переменная х получает приращение Ьх в точк2 ХО, т. е, 2ат = Х вЂ” Хо„,02ИРе1жгцгть прирагценис 2.'2 Ц2го), если: х . 1 х" 1их 1 а) т" (х) = (х, з112х, г"); б) Г(х) = — +2 —; в) у(х) = 1 ), и Е р1. 2+х 4 — х ( з)гх 1 )' М Согласно определению 2.
п. 1.1, имеем: а) 112 (ГО) = е2(Х) — 2 (ГО) = (2 — ХО, аШХ вЂ” ЗШ ХО, Š— Г. ") = =( - . ( ) г'.гх2 2згв — соз (хо+ — ), е" (е — 1)); 2 (, 2)' 3 3 . l х хо б) 11У( ) = Л ) — П ) = —. — . + ' (— 2+х, 2+го 14 — х 4 — хо) — 3 23х 42зх + 2 хо ф4, Ьх~4 — хо1 (2+ хо)(2 + хо + 122х) (4 — хо)(4 — хо — г!2х) ' « Ъх 1 з11хо 1 зЬх — з)2 хо О 2вь — сь (хо + —,) О 4.
Найги Уо(1) 2 если: а) У(г) = (х — 1) агсогв, )(' х+ 1' б) т (х) = (ашгд х, 2, 1в х); г х ,) у(.)=(у „. 1 1д х агсзгв (х — 1) в) у(х) = соьх.1-2'чгв(х М Используя определение 3, п. 1.1, получаем гггча Ьх ао-о Лх 4 ' (" '" =' '-' ' - )=(- — — — ',12 — С, '-'~22-х) = О, 1 2, Ц; ("' "' "" ') = ° И1ча.1- ..1 .
а. 1 а + 2 — '' ) = — о112 1 + 21 а*! ж а) г'(1) = 1шо д -о б) 1'(1) = 1нп а о в) 1"'(1) = Пш а. -о 1-ос . 1 а -о а 1 гд(1+ ггх) — гя1 агсягв 2.гх / 1 1 1 / Саелующнн пример показывает, насколько важно произвольное стремление 23х к нулю в опреде- лении производной. 5. Доказать, что вектор †функц .21 1'1х1 (хзн1х, 2(2(х), е где 212(х) = ( О, хфО, не имеет производной в точке х = О. х=О, 1 12 (О) = 11ш згп —, ах О 23Х вЂ” О, 1 сх2, 1Е(Ч,то згп — жзгв2кхж0.
Еслиже йхж „,то 1 1 а гг 4'Ъ' 1. Таяны образом, производная 23 (О) не существует. Если взять г'.гх = — , 1 11 1 при й х2 згп— и Для того чтобы вектор-функция имела конечную производную, необходимо и достаточно, чтобы каждая компонента ее имела конечную производную. Покажем, что функция 2(2 не имеет производной в точке х = О. По определеннго 3,п. 1.1,имеем 114 1'л. 2. Днффоронциальягоо исчисление функций одной переменной Найти пропзвод33ыг саедуюп3их функций: 3 ° 3 3 6. 3 (х) = [ „723 4 3." 3Б+ х', ят(сояг(маз 4хь)), е " ).
~ Каждая компонент, в ягор.функции имеет конечную производнуЮ, поэтому, согласно пункту 1.6, находам Х (х) = ([ „~2+ аг,' 3+ 23), (. п3 (соя (в!33' 4хз))), (я ) ) = — 'т — ==З,/.! -! т'+ 3 32 + тг —,, — соз [сов (з!и 4х )) х .г"- (х73+ хх)2 х згп(2ягп 4х ) 60вта 4х сов 4х" х, — 122 е 2, 3 ° 2 Я я я 2 433 7.
~(х) =ыя(3ояг3-! 33оя(ыпг). М !'оглас3ю пункту ! 7, имеем (3 ) == 3: 333(3 оя3 3! + 3(гоя(я3я х)) = — 2333 х сов(соя х) — 3 совхв333(яги х). и 6яг 3Д,3г 4 Лользуягь 333333л гь3 !да находим ! ш 22)' !соь23)' 2соя2т. -2вш2х (яй !.3'3' ЛЬЗт)' Зг)33х Зв)32х 9. Найяп пю 33ш Зияя .т 3мги3 р — функции у .г . агсвш —, [х]вш хх 1 .
г [х[' ~ При]г].' ! и 3 д!. 66 т (х) = [,ггсыя — . [г(гш 3гг,; ) =- О = '1,[,' М,3 = — ([г]) йп ля+ х[.я]яп32лх =, х[х]ьйп2тх ~ 7; При [х] > 1 и т = — !3, 73 б::"., рассматриваем левую и правую производные функции у 3 х 3 [х]яшг тг Лигам, 33о опр дг яшгию 4, п. 1.1, 3 [й+!] г)г ух(А) = рап — — ' — =- !ш3 = О. -3 ха х — й 3-ха й поскольку у'(! ! = я(у] ыа ',г!г =: и, то у3(х) = т[х] йв 2ях при всех х. следовательно, ! 3()-(- ..=, 33' г), Ы.
3; ьгхд — ! 10. Найгп прон.аа,горю от матричной функции иы (х) игг(х) '333(х) а22(х) / где агс36 х при [х[ ( 1, а33! ') .—.. 3 2 — ядп х + — ', прн [х[ > 1, [ г г * прии(1, а323х! =. а333г! = ] при [х] > 1, а г(2:) = ]х]. 1 1. Производная явной функции М (!начала вы 1исляем производные от злементов данной матрицы. При !х! ф 1»и х 1Ь О имеем ам (х) «1г(х) «1„(х) «11(х) «ы(х) ... «1 [х) аю (х) а 2(х) ... «2 (х) «1 1(х) а 2(х) а (х) аы (х) а,', (х) ... «1,„(х) Л~(х) = а«! (.1) а 2(х) ...
а «(х) а11(х) ... «11,.(х) ... а1«(х) аг1(х) ... агь(х) ... аг (х) «11(х) «12(х) ... «1„(х) «21(х) ~122(х) ... «2 (х) '(2) ЛГ( ) ио,(Х) ««2(Х) ... «„„(Х) а„1(х) ... а'„1(х) ... а„„(й) "я Поскольку по определению определителя аы(х) ам (х) ... «1„(х) аг1(х) атг(х) ... аг (х) = ~( — 1)'а1 1а; г ... а;„„, Л(х) = а«1(:с) а«2(х) ... а„«(х) в Ђ”при ~х~ < 1, а1,(х) = при ~х~ > 1, 2хе * (1 — хг) при )х! < 1, О при (х) > 1, «22 (х) зел далее ищем односторонние производные функций «1 (х) в точках х = 1, х = — 1 и х = О: агсок( — 1+ Ь) + -" 1 а„о ( — ! ) = !!п1 ь +о Й ~збл( — 1+Ь)+ ( — 1+Ь 1)+ «1, ( — 1) = !пп +со; ь--о Ь вЂ” „ек» (1+ Й) + 1(1+ Й вЂ” 1) — — 1 «,11 (1) = 11иг 1-+О Й 2' асс!к (1 + Й) — — „1 1 1 а„(1) = 1пп а'„(-Ц = В1 — '' = О; ь- — о Й 2' ь — о Й 1+ 1,)г,— 1- +Ы' а,г+( — 1) = !пл 1пл — ((1 — 2Ь+ Йг)(1+2Ь вЂ” Й + о(Й )) — 1) ж О.
1 --1о Ь е л-+о Й Аналогично находим «~12«(1) = О, аггх(0) = Ь1. Таким образом, окончательно получаем г — 2хе * (1 — хг) ' при О < )х/ < 1, Й(~)= ' ', (~)= „',',, У,(-~)= Поскольку а'„(-1) = +ос, то конечной производной матричная функция в точке х = -1 не имеет. В точке х = 1 выполняется равенство (~ь(1) = 2"' (1), позтому 1"'(1) = ~ь(1) = ~' (1).
В точке х = О односторонние производные, котя и сушеству1от, но не равны между собой, поэтому 1 (О) не существует. 11. Доказать, что если функции «,1 = а„(х), 1) 1' = 1, и, имеют конечные производные, то производную от определителя Л(х) = о!ео(ао(х)) можно найти по одной из формул: 116 Гл.
2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной ГдЕ Э вЂ” ЧИСЛО ИНВЕрСИй В ПсрсетаНОВКЕ (!1, 12,..., 1п], та гг (Х) = ~ ( — 1) анги, 2 ... а,п„ ( 1) а11а22 ° а ! ~~' ( 1) и11и!22 ... а ! +...+~' ( 1) и !1и22 . ли =Е- '' а„а;2 ... а!и а21 агг ... а2п а11 а,э ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
