Anti-Demidovich (Lyashko I.I., i dr.). Tom 1. Vvedenie v matematicheskij analiz, proizvodnaja, integral (2001)(ru)(T)(358s) (940506), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Показать, что траектории, которые опнсываклся слгдугощцми вектор-функциями, ортогональны: а) Г! .' !» (1яп !, !сох!, 1) и Кг . !» (4соэб — гяп!, 2); 124 Гл, 2, Дифференциальное исчисление функций одной переменной б) Г! !1! (-'[72(1)[, и (1), и (1)) и 72.1! (у, — —,, 1) 1. 35. Найти кинетическую энергию системы материальных точек с массами гп, движущихся по следуюп!им траекториям: /ю! а) га ! 1! 11 †,, вгп 221, сов!аг) (й = 1, и; пг! = 1); б) 1а !1 ! (агсйп(гйп 41), плесов(сов И)) (й = 1, и; шь = йр). 36. Найти производные следующих комплекснозначных функций: з а) г'!г! г)пх+1е, в) 1 ! х !- сов (х + ггз)! б) у ! х !- с' '(сов ог+ глйп ох); г) У г ! 1пз(2г 4 гхз), Найти производные следующих матричных функций 37. ~'!х~ ',, 38.
~!г~ а!*+ а! *!~*'+1 '*!»'*.!»'а.**! ) 1 агссов (щсгд (агв1! х*)) 1 [г [г[[/ 42. У!х!- а (и ... и(г)) — -(т) — 1п (а(г) 1п и(г)) О ~ (п ![соз †,[ 2 ти (х) !.= ! ь=! йп х '' г г) ип З.с вгп 4х 49. П ст ь2п 2х вш Зх зш 4г в2а Зх вш Ох яв 4х вгп 5!х в1а Ох вп! 7г вш Зг вп! 4х з2Н баг А(х), В(г) — арункцпональные матрицы, имеющие конечные производные. у ь Показать, что (Ое! (А(х) В(г)))' = (а1ег А(х))' г1е! В(г) + г!е! А(г) (г!ег В(х))'.
Найти производные функций (, если; з1п х.г, х Е !Г!', О, х ЕКЯ. 51. а) г(2!) = ш1 (сов б); б) 1(х) = впр (со*б). 52. 1(2!) = соз — "' 1ш! хз" а<1< — <1< г 53. а) )'(х) = !р(аа(х)); б) 1(г) = р(2)2(г)); в) У(х) = й(р(х)); г] У(г) = й(й(г)), где х, если [г[ < 1, [ е*, еслнО < х <+~, х, если [г[ > 1, 1 1, если — оо < х < О.
Вычислить производные функции ) по множеству, если: 43. 1(х) = е при 2: = —, и Е ЬЬ 44. Х(х)=вш2г при хЕЕ, Е=(1, 45. 2(х) = х)п(1+ гз) при .г Е Е, Е = (1, ьг2, '-.. чг/ЗЗ, —, ч24, 46. ((х) = —,' 2 при х Е Е, Е = !()! 47. Пусть а = а(х), 12 = Ь(х), с = с(х) — вектор-гйункции (а(х), Ь(х), с(г) Е Е ), имеющие конечные производные. Доказать, что; а) [а(х), Ь(х))' = [а'(г), Ь(г)) + [а(х), Ь~(г))! б) (а(х)Ь( а)с(г))' = (а'(х)Ь(х)с(х))+ (а(х)Ь'(х)с(х))+ (а(г)Ь(х)с'(г)). 48.
Найти производные от следующих определителей: г з с 2* З г 2 х г х' с с е ), ) ЯПГ СОЬГ, 2 3 З 2 22 зх а ' ! 2 ! б) .с г' х; в) е е' в — сов г з!пг 2 ! а 3. ! 3 х" х х е" с' с 11. Производная явной функция 125 54. 1(х) = йш П сЛ вЂ” *, 55. а) 7(х) = 1пп ~ 1и агстд ~"2~ "-~ Л=1 ! — — 1 l 424 -1 б) !"(Х) = йш П <1+з!в — 4)! в) У(х) = 1ш! 2 яп(-+х ).
2=1 л=о Вычислить правую и левую производные следующих функций: 56 а) 1! х" гг(-), где г (!) — расстояние до ближайшего целого числа; /1 б) )'!г~ н!!в(тдх, 2 — з!п2х), — -<х<-; в) У!х~ !пах(4~В, х ). 57. у !х~ [х~)[явях [. 58. а) У!Х1-4, Х~1, г(1)=1; 1 — 2 1-* , -1 б) У!х! 1 — 21-" ~,Х~1, У(1)=О. ип !г 59. а) у ! х ь- 1!и! е™ ' ! 6) 1 ! х ь4 Л!п е™ ' . ! з 60 у!в „[х!56 х > 1 61.
у х~ [язях[2 х Е!([!! О, х ЕЙЯ. 62. Найти 4' (хо) и !4(хо) в точках разрыва хо функции г", если: а) 7(х) = (х)!": б) У(х) =, 63. При каком условии функция у ! х ! [х[! <[Х[~~], х ~ О, и 4(0) ю 0 имеет конечную производную при х = 07 64. Пусть ~л(х) = Е (-') С.х (1-х)"-, о Вывести рекуррентное соотношение для функций )л. 65. Найти чисяа Дини 2гя ! (х) 1(гл л ! Хо Р'У( )= 1 л-хо для функций: ! ,о, .<о, 66. Найти Рго(х), если ах яп — + Лх соз < г ! 2 1 О, Рг,(х) Р!4!(х)= 2, Х=1,19, Ро=1, 1 Рг = —. 2 огказапие. Фуикпию Рл кокать з зиле где А, о, Л вЂ” функции, подлежащие определению. ХЕ(хо) ~ У (хо + 0) и 14 (хо) 44 К (хо — 0).
Вычислить производные функций г", если: ( х, если[х~<1, 67. у ! х ! ) „4 2 68. Г" ! х 1- ь"-) <[х) — (-1)1 1 сов!гх), х Ъ О. — + — збп х, если ~х[ > 1. з з' 69. ! ! х ! 4 + 4 [х [х) — 2) (1 — 2~х — [х) — -~). 70. Доказать, что множество точек, где функция г имеет неравные правую и левую произвоцные, не более чем счетно. 71. Показать на примерах, что в общем случае 12б Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменкой 72. Можно ли утверждать, что если /'(хз + О) = /'(хз — О), то Функция / непрерывна в точке хо7 78.
Производная лля последовательности (х ) определяется по формуле ,ээ х,', = х е э — х„, и б !э). х'(!) = А(г) х(!) + у (г), где / г 1 — з!и ! Э, / 2сов! А(!) = соя г в!в! г~ > ! (1) = в!пг — г~е 1ээ )г( гх!!и )г( — е '(1+ !) / 78. Подобрать вектор-функцию Г так, чтобы вектор-функция Х , ! э (Ц г~, Г~) удовлетворяла уравнению / — 21>гэ Х'(Г) = А(Г) Х(!) + Г (!), где А(1) = Π— ! 1 О О 79. Показать, что вектор-функции Х: т э-э ейад А(т) удовлетворяет уравнению Х'(г) = А(г)Х(г) + У (!), где ( з!эээ сов! ') ( совт+сов2! в!ээ! — сов! / ' )Х в!и ! — 1 80. Убедиться, что комплекспозначиые функции х +Зэ /: х э созЛх+ эягпЛх и /: хэ хг — Зэ соответственно удовлетворяют уравнениям: а) /'(х) — эЛ/(х) = О; б) (хг + Зэ)/'(х) + 12хэ/г(г) = О. 81.
Найти производные от собственных чисел матрицы А(Г), если: / йл! сов! О г) А(т) = — сов! зпэ! — 1 О 1 а) А(г) = з в) А(г) = !г Найти: а) (х,.у„)'; б) (!их„)', в) (е'")'; г) (х„+ у„)'! д) (у(х„))', е) ( — *"); ж) (2")', з) (юв вг)'; и) (агсгйя)'. 74.
Написать уравнение касательной к кривой, радиус — вектор которой а) Г(Г) = (аня й соа Ц 44), в точке М ! —, —, я); I ог б) Г(!) = (агс!8 !~, агсз!ээ 1, з1э г, с!э!), в точке М(О, О, О, 1). 78. Написать уравнение нормальной плоскости к кривой, радиус — вектор которой а) т (!) = (ц 1~, !з), в точке М(1, 1, 1); 7 б) К(Г) = ( — '-, !и (/(Г)(, а!~, Гс!э С, в1э Г) при Г = 1, где о = — ' — с г — 1. яб 78. Найти угол между кривыми в точке их пересечения, если радиусы векторы кривых 7э(!) и уг(г) описываются формулами; а) тэ(с) = (е, —... э!э г), гг(т) = (г 1- 1, юп зц ге' '); б) 6э(Г) = (Ц Гг, Гз, т~, гь), эг(!) = (оп !, юп 28 юп ЗЦ юп41, юп 5!).
77. показать, что вектор-функция х: г э (юп ц — сов г, е э) удовлетворяет уравнению 127 ) 2. Дифференциал функции 82. Найти угол между предельными положеннялщ касательных в точке перелома непрерывной кривой, описываемой вектор †Функци: ири О < < ( +ос. ~ 2. Дифференциал функции 2.1. ()сновные определения.
Определение 1. Функция У: Е К называсонн диффсрснцирусмой в точке. хо б Е, предельной дл» мнолсства Е, <тли сс нрира<цснис ЬУ(хо), соо<ивотств ующее приращению аргумента х, может йь<и<ь представлено о вид< ЬУ(хо) = А(»о)(» — хо) + ы(» — хо), где ы(» — »о) = о(» — хо) нри»»о. Определенно 2. Отобралснис д: А < А(хо)А. А ч л, называется дифференциалом функции У в точке, хо, а величина А(хо)А — значением диффсрснииала в этой точке. Для значения дифференциала функции У принято обозначение <РУ или дУ(»о), если требуется знать, в какой именно точке он вычислен. Таким образом, <(У(»о) = А(хо)А. Разделив в (1) на х — .со и устремив х к хо, получим А(го) = У'(хо). Поэтому <УА к К ямеем йУ(хо) = У'(хо)1 (2) Сопоставив (1) и (2), видим, что значение дифференциала дУ(»о) (при У (за) р' О) есть главная часть прирав<ения функции У в точке»о, линейная и однородная в <о же время относительно приращения А = х — хо.
2.2. Критерий дифференцнруемости функции. Для того чтобы Функция У являлась дифференнируемой в данной точке хо, ><еобходимо н достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную. 2.3. Инвариантность формы первого дифференциала. Если х — независимая переменная, то дх = х — »о (Фиксированное приращение). В этом случае имеем У(хо) = У'(»о) д . (2) Если х = <о(1) — днфференцируемая функция, то дх = <р'(<о) <Й. Следовательно, дУ(<з(<о)) = (У(р(<о)))', д< = У~(<з(<о))эз',(то) д< =' У'(го) д», т.
е. первый дифференциал обладает свойством инвариаитности о<но< птельно замены аргу- мента. 2.4. <азормула малых приращений. Подставив (2) в (1) и отбросив ы(х — хо), получаем формулу малых приращений: ЬУ(хо) дУ(хо) лли У(») = У(х )+ У'( И вЂ” ), (4) позволяющую при малых значениях х — хо приближенно вычислять значения функции У в точках х, близких к точке хо, где значения функции У и ее производной известны. 128 Гл. ". Дифференциальное исчисление функций одной переменной 2.б.
Правила дифференцирования функций. Если скалярные Функции и и о днфференцируемы, то: а) М(и ко) = е)и яе(о; б) е)(ззо) = ого(о+ ое(о; в) о(( — ") = ""","'", о ф О; г) е)(у(и)) = у'(и) е(и. Если вектор Функции п н» дифференцируемы, то; а) Ы(ззя») = е1п я й»; б) е((п, ») = (е(п, ») + (п, е(»); в) е((Лп) = гзо(Л+ Ле)п (Л скалярная Функция). Если в и и -- скалярные дифференцируемые функции, то ез(зо я за) = йн я ее(оо з = — 1.
ю.о . 1.;на —..) От+~*-..~ь1пп — = 1пп + 1п)х — хо ~ г, х — хо — о„~ х — хо х — хо з то функция ) дифференцнруема в точке хо н о(,Г(хо) = 2о(х, и з 32.,ЛГ(11= (х — 1) о +(х-))з. м Поскольку 1зш = )пп ((х — 1)з + (х — 1) 3 Л Г(1), )' -з х — 1 то функция у не дифференцнруема в точке х = 1. в 33.,Лт(з;а) = (язз — 1в(1+(х — хо) ), е "— 1), х — зо М Рассмотрим предел Ь1'(за) ( .
1п(1+ (х — ха) ) 1, е * — 1 1пп = 1пп яп —, Гип * з' зо з»* — "о х хо х .оо * о х хо Поскольку (о(1+ (з, †.со) ) 1пп )), )зло х — ха то существует конечная производная вектор-Функция Г. Г~(хо) = (О, 1), Следовательно, вектор-функция б диффереицируема и о(Г (хо) = (бо 1) «(х = (б, йх), ° 1х — хо! ~- * — хо з ол — 'о) 1 ( — о) агсяп е Е™о) 34.
еЛГ(ха) = — (1 — '. 1 Если А,  — дифференцируемые матричные Функции, п -- днфференцируемая вектор— функция, то; а) е((А я В) = йЛ я е(В; б) е)(Лзз) = (е)Л)уз+ Айп; в) е((ЛВ) = (йА)В+ АЕВ. Дифференцируемы ли Функции Г, если: зз. оеао= . о — го ~дГ~ь —..р- ооо — с) ... 1а ~г — хо), з ~ ха, й(х ха) = ' х = ха. М Так как существует конечный предел 1 2.
Дифференциал функции 129 М Вычислив пределы / ~5!з 11гп — агсв1п е лэ = йпг е оа 5 = О, 1пп — +1 = 1, ой о о Л о~ Ь 1 1 йш — — = йш Вш )Ь)Ю вше ваки (1$ -) = О, вбпв = О, получим / (ха) = рйп 2т/(хо) / О ох — хо ( О О т. е. матричная функция / дифференцнруема в точке хо, и /( ) О О ~ О О Найти: э /, 1 35. а) И(хе ); б) Ы ( агЫп — ) . (г )х) ) М 1-й способ. Согласно определению 2, п. 2.1, находим а) И(ход ) = (хее )'4х = е* (2хв + 1) 4х; 6) И (агсв1в — ) = (мсв1п — „~ Их и— 2-й способ, а) Согласно формул 6), п.
2.5, имеем 4(хе ) = е Ых+хН(в ). 2 во 2 в По формуле г), и. '2.5, 4(е* ) = е* И(х ) = е 2х 4х. Таким образом, Цхе* ) = е бх + 2хзе Йх = е (2хз + 1) Нх. 6) Пользуясь формулой г), и. 2.5, имеем 1'1 ., 1 /1'1 1 влвх агсвт — ) = (мсв1ли) 4и, и = —, Ыи = 4 ( — = — — в((х() ж — — лх И)= ' ~Г = Ь()ех *' поэтому окончательно 1 1 — 1 влпх Ых е1 агсшп — = — Ых =— Иф1 э З6,1(ио-г) м по правилу дифференцирования дроби (см. в), и. 2.5), находим' ( и т еэ 4и — иЫ(е~) 4и 2иИв е ф О. И ег) ио ез иэ 37. Ы (агсгд — ) . ° Используя формулы в) и г), и. 2.5, имеем 3 в о Ы в1лх 38. а) — (х' — 2х — х ); б) — ( — ). ,1(хз) - л(хэ) (, х /.
и Поскольку /(и) = — /(и) = —, 4 4/(и) Ни Ыи где и — дифференцнруемал функция некоторой переменпой, то данные примеры можно ре- шить двумя способамн. 130 Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной а) Обозначая и = х' и пользуясь первым равенством (1), имеем †(х — 22 — х ) = †(и — 2и — и ) = (и — 2и — и') = 1 — 4и — Зи = 1 — 4х — Зх, х ф О. 3, 6 9 г 2 2 3 г г 6 Ы(хз) ег ее Такой же результат можно получить, пользуясь вторым равенством (!): 2 ) — 1 4 3 0 — (х — 2х — х )— 1 42 — Зх, х ф 0 3(хз)! / 3( з) Зх2 61х б) Вводя обозначение и = хг и используя первое равенство (1), имеем /яв х е 61 /вше/и ! /яп ч/и ч/исоа т/и — яп ч/и х сов х — яп х — *Фа 4(хг) (, х ) 1и (, ,еие ) (х /ие 2и, /- 2, Если же воспользуемся вторым равенством (1), то получим е! /в!еех! 3(*— '",' ) ' „г йх хсовх — япх 61(хг) ! 2 / 3(хг) ел 42 Зхз 39.
Заменяя приращение функции дифференциалом, найти приближенно яп 29'. М Значение яв 29' относительно мало отличается от вш 30', так как и о = 29' относительно мало отличаетсл от оэ = ЗО', Поэтому яля приближенного вычисления яп29' воспользуемся формулой (4), п. 2.4, взяв /(х) = вшх. Тогда получим ,! л 1 гчгз яв 29' в!ее — — (яп х)'~ — = — — — = 0,484 ....
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
