Anti-Demidovich (Lyashko I.I., i dr.). Tom 1. Vvedenie v matematicheskij analiz, proizvodnaja, integral (2001)(ru)(T)(358s) (940506), страница 25
Текст из файла (страница 25)
м Функциональная матрица непрерывна на Й, так как все ее элементы непрерывные на 2 функции. И Упражнения для самостоятельной работы Исследовать на непрерывность следунсщие функции: 133. г(х) = пссэ!ос х, !х~ < 1. 134. 1(х) = асссозх, [х[ < 1. 135. 1(х) = агссд г;, х Е 2. 136. с(х) = агссгд х, х й И. 137.
с(х) = — ',, х ф О, 1(0) = 1. 138. с(х) = -"-(-~-"-1, х > — 1, х ф О„с(0) = Ог 139. с"(х) = агсгд -'~-"-, х ~ — + йл, 1'(-+ Йл) = О, у б У. 140. ~(х) = зш х агсэ!сс -Хэх, х ~ - + Ьг, 1' (- + Йсг) = О, у й Ж. ! с.же э ! 143. ((х) = ( — 1)! 4 1(з!пк+соэх)+2ьс2 [ ~ л|, х Е й. 144. 1'(х) = — асс!8 -' — + -'здпх, х Ф О, г(0) = О.
145. [(х) = — с=го + 1 + —, + ... + — „, х ) 1. 146. ~(х) = [х) !п х — !п([х)!), х ) 1. 147. С(х) = — х Ц + 1+ зо + ' ' + Г 1о, х Е )О, 1]. [ т) 148. 1(х) = ' ' 149. с(х) = [х)з!птх, х Е И. ( х — [х), гестас, ) О, Х Е Йсгг((С. Олределигь точки разрыва и исследовать их характер: 152. 1(х) = зш —,, х ф О, С(0) = О. 153. ~(х) = агсгд — '" ". + л [ — *), х ф -+ ил, .сг [-, + ссл) = О, и е Х. 154. т(х) = агссд — д( — — ~ )— + л [*~ [, х ф (2и+1)л, с"((2сс+ 1)л) = О, и Е Ж.
Гл. 1. Введение в анализ 155. Х(х) = агаси — х ф ж1, Х(ж1) = -", 156. Х(х) =,, х Ф вЂ” + йгг, Х ( — +йз.) = О. 157 Х(') = гя т х ~ - + 1я Х ( г + й>г) = О, 1 Е ~. 158. Х(х) = агсз>в (е>в х) а>сея —., х р' ит, Х(а>г) = 1, и Е У.. 159.
Х(х) =1а тесея —, х ф О, Х(0) = О. 160. Х(х) = Ся —, х ф О, Х(0) = О. Исследовать на непрерывность вектор-Функции: 161. 7(х) = (соя х, з>п х, 1), х Е Р.. ) (,„в',,„;и',, х -',А«') хыО ][ (', /х!, созе), хр'О, (1, О, 1) х = О. 164. 7(х) = (~-+ — -): —, ~ ', ..., '~"" '), если х Е ] — 1, +эг [)(О) н 7(0) = (>/2, 2ьС2, ..., тт>2). > > 165.
7(х) = (1+с), (1+2г), ... (1+>их)*), если х Е ] — 1, +со[>>[0) и Г(0) (е, е, ..., е'"). Исследовать на непрерывность функциональные матрицы: 166. А(х) =, х Е Й. созх 1 1 — х >' 167. А(х) = (~ гь ~), х Е Й, г = 1, ш, > = 1, г>. 169. Л(х) = (а„(х)), где а,>(х) = (1 + >х), г = 1, ги, Х = 1, и, х Е ] — 1, ос[ >(О) н А(0) = Е. гт 169. Л(х) = (нй(х)), где а,>(х) = (1+ — ) г, х ф 0 и А(0) = Е.
170. — 0 ... 0 А(х)=, хФО, Л(0)=Е 0 0 .~ 9. Равномерная непрерывность функций 9.1. Определение равномерной непрерывности. Определение. Функции Х: Л И наэыьае>ион равномерно — неирерыеной ни множестее Х, если >ус > 0 36 > 0: >ут, у Е Х Л )х — у[ < 6 ~ )Х(х) — Х(у)! < с. йсли функция Х не является равномерно — непрерыв><ой, то зто означает следуя»цее. Ч е > 0 >>'6 > О: Э х, у Е Л г> [х — у] < 6 =.'> )Х(х) — Х(у)] > е. 9.2. Теорема Кантора.
Теорема. Если ф>ункцня Х; [а, Ь] И неирерыона на сегмени>е [а, 6], то она раэномсрнов неирерьюна но это,н сомме нте. 1 271. Показать, что функция Х(х) = —, х Е ]о, 1[, непрерывна на интервале ]о, 1[, но не х является равномерно — непрерывной на этом интервале.
м Функция Х непрерывна, как всякая элементарная функция. Покажем, что она не является равномерно — непрерывной на интервале ]О, 1[. 6 О. Равномерная непрерывность функций Пусть х„= — —, у„=, а Е УП Тогда ее!в е [» — у»[= О при и — !оо, (н+1)(в+1+ е) т. с. разность [х„— у„[ мажет быть меньше любого наперед заданного положительного числа. Однако [1( г„) — ((у„)[ = [а+ 1 — и — 1 — е] = е Че > О. Следовательно, функция у не юншется равномерно. и! арсрывной па интервале ]О, 1[. 272.
Показатгч чта функция 1"(х) = зш — непрерывна и ограничена на интервале ]О, 1[, но не является равномерно — ненрерывной на этом иНтерВаЛЕ. и Ограниченность функции Х очевидна, а непрерывность следует из того, что функции у л злв у, у Е (эд з! —, х Е ]О, 1[, непрерывны, а поэтому их композиция также непрерывна. Пусть х„= —, у„= —,, в Е л(. Тогда [хз — уз[ = 2 ! »-л! ' ' з .!.! ' = (э+л)(з Е!) -л 0 при и -+ оо в то время кзк [г'(х„) — 1(у„)[ = 1 > е Че Е ]О, 1]. Следовательно, функция У не является равномерна-непрерывной нз ]О, 1[ 273. Показать, ио функция г'(х) = гйп х непрерывна и ограничена на числовой прямой Й. на не явля! тся равномерно -непрерывной на этой прямой.
м Ограниченность н непрерынность очевидны, а равномерная непрерывность отсутствует, тзк как У(х„) — ~(у„)[ = 1 ) е Че Е ]О, 1], Чх„= эгнгя яи у„= пт+ —, и Е )л), 2' несмотря на та, 'ыо Г л! [.г,„— у„[ = э~!ля —,ЧГ ия -1- — ! = -л 0 Ы Ч;Я+ „.+ —. э при л — кл. 274. Доказать, что если функция 1 определена и непрерывна в области а ( х < +со' и сулцествует конечный предел 1оо У'(х), то г" равномерно-непрерывна в этой области. М Из существования предела следует, что Че > 0 ЗЕ > а: Чх, у Е ]Е, +со[~ ]Х(х) У(у)] < х. (1) Фиксируем такое Е > 0 н рассмотрим гегмент [а, 2Е]. Согласно теореме Кантора, функция у равномерно-непрерывна нз [а, 2Е], т.
е. Че > О, в частности, для е, указанного ранее, Зб ) 0 такое, что Чх, у Е [а, 2Е] гл [х — у[ < 6, [1'(х) — у(у)[ < е. Не ограничивая общности, считаем, что 6 < Е Тогда нз услоння [х — у[ < 6 следует, что оба числа х и у большие Е или оба меньшие 2 Е. В том и другом случае для любых х и у, ббльшил а, из условия [х — у] < 6 следует неравенство [у(з!) — 1(у)[ < е, что устанавливает равномерную непрерывность функции у на !а, +ос[. 27ак. Паказазь, ио неограниченная функция г(х) = х+япх равномерно-непрерывна на всей числовой прямой и.
ч Для пропзаюлылого е ) О имеем [Х(х) — ((у)[ = [г — З вЂ” (згв х — ллп у)[ < ]х — у] + [гйп х — эллу[ = х — у х+у) )х — у = [г — у[+ 2 злп — соз — ) ( [х — у[+ 2 [ — ) = 2]х — у] < е г г длз велел х н у, удовлетворяющих неравенству [х — у[ < -' = 6. 2 276. у(гнляллтгя лн равномерно — непрерывными функции: з) 1(х) = г,,г Е ] — 1, 1[; б) )(г) = х, х Е Ку и а) Пу! гь е ) 0 пронзволыго задано.
Тогда [у(х) — )(у) = [хз — у'[ = [х+ у[ [х — у[ < ([х]+ [у])[х — у[ < 21]х — у[ < е нрп Чх, у Е ] — Е 1[ гл [х — у[ < — „= 6, т. е. г" — равномерно-непрерывна на ] — 1, 1[. б) Функция )' не является равномерно — непрерывной, так как при х„= и + —, уа = и! и' а Е 11, .нлгееь! [ ! „— у„[ = — ' 0 прн н -! !ю, а [ г(ха) — )(уз)[ = 2+ у > 2 ) е Чх Е ]О 2].
108 Гл. 1. Введение в анализ Исследовать на равномерную непрерывность следугощие функции: г(*) 4 — 2, х с [- , .1]. М Функция непрерывна на [ — 1, 1], а поэтому по теорсме Кантора и равномерно-непрерывна. и 278. у(х) = 1вх, х к]О, 1[. М Равномерная непрерывность отсутствует, тзк как если х„= е ", у„= е ", и б Й, то 1)хз — Уз[ = --„-хт -г О ПРи и ю, а )Г(х„) — Х(У„)[ = 1 > е Че б ]О, 1]. 279. 7(х) = ', х с ]О, гг[. М Рассмотрим функцию Р(х) = )(х) при х б ]О, я[, Х(0) = 1, Р(т) = О.
Поскольку Функция Р непрерывна на сегменте [О, 1], то, по теореме Кантора, она и равномерно-непрерывна на этом сегменте, а следовательно, и на интервале ]О, т[. 280. 1(х) = с* сов —, х е ]О, 1[. 1 х' М Положим х„= —,, уз =, и б (г(. Тогда ]х„— у„~ =, О при и ю, 1 1 2 г )2»-)-1) 282»41) однако 1 )Д(зч) — )(у„)) = е2. + ещ8Ы) > 2 Чп б р). Следовательно, функция ие является равномерно-непрерывнои. м 281. У(х) = агссд х, х б И.
м Равномерная непрерывносгь следует из того, что (см. пример 268) х — у х — у ]агс)8 х — агсгд у) = агсгй — « ]х — у( с е при )х — у) < 8 = е. 282. )(х) = хзьпх, о < х < +х. Пусть х„= ия, у„= вт + —, н б М, тогда ~)х„— у„] = — — О при и гю, 1 1 а (х(хз) — )(у )[ = (пт+ —,',) ) )зггг (пт+ — ')! = (пг+ — ') згв — ' = (т+ — ',)," — т при и оо. Следовательно, /Г(х„) — 7(у„)[ > —, ти > т, и функция не является равномерно— непрерывной. В 283.
для е > 0 найти е > О (какое — нибудь!), удовлетворяющее условиям равномерной непрерывности для Функции 1', если: а) Г(х) = хз — 2х — 1, -2 < х < 5) б) )(х) = зУх, 0 < х <+гю. ч а) Имеем [Г(х) — У(уН = [х — 2 ' — 1 — у + йу+ Ц = )х — у — 2(х — у)] < ( (г +у[ [х — у[+ 2)2: — у[ < ((х(+ (у[+ 2)]х — у( < 12 (х — у[ ( е, если )х — у! < — ' = 6. б) Пусть е > 0 произвольное, Если числа х н у такие, что 0<х<е", О<уСе'*, (1) то 0 ( .~(х < е, 0 < "/у ( е и [х — у~ с " = Б.
Отсюда следует, что )) (х) — )(у)) [ ",/х — ггу! < е при )х — у! < е" = 6. Если же (1) не выполняется, т. е. котя бы одно из чисел х или у не меньше е", то згх — 1 +,"/у -2у + ( гх -3у2 + + 2/у 2-1 > е Тогда йх)-~(у)[=[Ух-(Я- „. "." .. <".,'<е ~'Яп — 1 1 х — 2 )„ /~п — зу2 ) +,"/ — 1 е при [х — у[ < е" = 6. 3 9. Равномерная непрерывность функций 284. Доказать, что сумма и произведение конечного числа равномерно-иеирарывигак на интервале ]а, 6[ функций равномерно — непрерывны на этом интервале.
и Достаточно рассмотреть случай двух равномерно — непрерывиык на ]а, 6[ функций 6 и д. Согласно уславугю, Чб > 0 36б > 0: Ух, У б ]а, 6[Л ~х — У] < Ьб =У 1Х(х) — У(У)[ < 2' (6) 'й > 0 3 Ьэ > О: Чх, У й ]а, 6[ Л )х — У] < Ьз =у ~Х(х) У(У)[ < 2' (2) Если ]х — у[ < 6, 6 = лпа(6ю Ьу), то будут выполняться оба неравенства (1) и (2). Тогда непрерывность суммы следует из неравенства йх)+ д(х) — ((у) — УЬ)~ < [.((х) — Х(у)~+ Ь(х) — УЬ)[ < -+ — = у справедливого Чх, У б]а, 6[, если 1х — У[ < 6.
Рарномерная непрерывность произведения вытекает из того, что [Х(х) д( ) — ХЬ) УЬ)[ = [.((х) д(х) — У(х) д(У) + 1(х) д(У) —.(Ь) УЬ)! < < 17(х)[]д(х) — д(у)/+ ]д(у)/ [у(х) — 6(У)] < Х вЂ” + Ьд-, еслн [х — у[ < 6, х б ]л, Ь[, у б ]а, Ь[, где Ь = злр ]у(х)], 64 = элр [д(х)]. уе1«, 61 *л1, б1 285.
Доказать, что если ограниченная монотонная функция б": ]а, 6[-у и иепрерьувиа на конечном или бесконечном интервале ]а, 6[, то эта функция равномерно-непрерывна Иа интервале ]а, 6[. ч Из условия следует, что существуют конечные пределы ~(о + 0) = рпп )(х), ((6 — 0) = ((бп ((х). Если о и 6 — конечны, то, полагая 7'(а) = г"(а+ 0), б(Ь) = ~(6 — 0), получаем непрерьцуную функцию Х на сегменте [а, 6], которая„в силу теоремы Кантора, равномерно — непрерывна иа [а, 6]. Если одно нз чисел л, Ь или оба эти числа равны — оо, соответственно +со, то рассуждая, как н при решении примера 274, снова убеждаемся, что функция ( равномерно-непрерыв- на.
В 286. Модулем непрерывности функции г';]а, 6[ И называется функция 6 у ыт(6), где мт(6) = злр ]б (х) — 1'(у)[, х и у — любые точки нз ]а, Ь[, связанные условием [х — У] и 6. Доказать, что для равномерной непрерывноспг функции у на ]а, Ь[ необкодимо и доста- точно, чтобы !1ш мб(6) = О. б-+э м Необходимоспбь. Пусхь йш шт(б) = О. Тогда б бэ 'уб > О 3 Ьб > 0: Чх, у б ]а, 6[ л 'уб < Ьб =. лбу(6) < е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
