Anti-Demidovich (Lyashko I.I., i dr.). Tom 1. Vvedenie v matematicheskij analiz, proizvodnaja, integral (2001)(ru)(T)(358s) (940506), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Найти у 1 + * - 1«оо ч«1 — х м Преобразуем данную функцию к виду, удобному для дифференцирования, н применим одну из формул пункта 4.2: 14. Производные и дифференциалы высших порядков 0 у = /л'(х)(йх) + 3/" (х) й х Ых + /'(х) й х, Из формул (1) — (3) имеем последовательно у =/(х) = —, ах' игу — у'йгх Зх Зг у Ыу Згх (Ьх)г (Ях)э /ггг(х) ((Зх)г ~эу 3 азх /х агу + 3 (агх)г /у ах Ьуаз ), а (Зх)э ,: (3) Найти ур'~, если: 71. у= хг — Зх+ 2 < Представляя данную дробь в виде 1 1 1 1 — — — (х — 2) — (х — 1) хг — Зх+2 х — 2 х — 1 н применяя одну иэ формул пункта 4.2, получаем у" =( — 1) и! 1 (х — 2) "Е' (х — 1)и Ы и 72. у = мп' х.
м Представляя у в виде 3 . 1 у = — эш х.— — Б1п Зх 4 4 и пользуясь одной из формул пункта 4.2, находим рй 3, / вх1 Зи, / пх1 у = — эгп (х+ —,) — — эгп (Зх+ — ) . а 4 (, 2! 4 (~ 3) 73. у = эгпэ х + соэг х. м Преобразовав у к виду 3 у = — + — сов 4х, 4 4 получаем у =4 сов ~4х+ — ), в) 1. 1» 1») -1 / пг1 2)' 75. Доказать равенства: и 1) (е' сйп(Ьх+ с))1"1 = и (а + Ь ) г эш(ЬХ+с+ псг)," 2) (е "соэ(Ьх Ч-с))~"~ = е" (а + Ь ) г соэ(Ьх+ с+ вгг), где Ь Эгл Х 1/аг + Ьг ' а сову = аз+6 ' 74, а+6. па-Ьх' ~ Первукг производную этой функции запишем в виде =(-;-) (-- ~' Далее, по одной из формул пункта 4.2, после (и — 1)-кратного дифференцирования получаем "и~=(-1) -1( -1) ~-"+ 1 +(н-1).~-"-Х) '16 / ' '16 (в — 1)! 6" ((а+ Ьх)" + ( — 1)" (а — 6Х) ), у» Гл.
2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной М Умножив левую часть первого равенства на г и сложив с левай частью второго равенства, получим (со* сов(5х + с))»" 1+ (гг"' в!!!(2гх + с))!»1 = о" (е1"~ '1 )1"г = е" (а + ог)" е» + '1 = (и + 6 ) г е1ое "г»~" '"р = (а + 6 ) г е (соз(6х+ с+ ггго) + гяп(бх + с+ ггх)). Отсюда по аксиоме равенства комплексных чисел и следуют доказываемые формулы. ~ 'г'6, Преобразовав функцию Х ! х г яп х, где р — натуральное число, в тригонометригр ческий многочлен /(х) = ~~г А» сов'2йх, 'о! /) 2гг »=о /р-г гр р (- ) Д ( 1)» -,» м1»-р1 „» ~ ( )» -,» г г»-р1» — гре »-о »=г+! Сг»р '2 го Во второй сумме, стоящей в скобках, введем новый индекс.
суммирования 1»г полагая 2р --1'. При этом, использовав известную формулу Суг',г = Сгл», получим С'' »=о »'=о ( — 1) С„р(о » 1 + е ) + — — — ~ ~(- 1) С.г, сов 2(й — р)г + С'г»р » — о Далее, по одной из Формул пункта 422, ! — ! (-1) (вгп Рх) = ) ( — 1) Сг,2 (й — гг) соз (2(й — я)х+ — ) »=о р-! ( — 1) ~РСггар2» Р~'(й — Р)о соя (2(й — Р)х -1- — ) . > »=о 1 1 г' 1 1 77. Испо»ьзу» тождество „= —.
( —, — —. ), показать, что хо+1 2» (,х — г хюг)' ( ° )"=,, "- 1 1»сб ( — 1)»и! — згп((гг + 1) агсс!я х) . : +1) (хо+1) г 4 Сначала и раз проддфференцнруем указанное тождество: ( ~" (-"' )1М 1 ( ( — 1)" г (-1)" ! ) ,г11) г, 1(..) +! ( +) +! Далее, применяя к комплексньгм числам (х — г) " ! и (х+г) " ' формулу Муавра, имеем ( )рб= ((1+ г. ) +(соз(гг+ 1) гг + ! яв(п + 1) уг)— хо+1) 2г' (1+ х ) г (гов(а+ 1) гг — гяв(в -1-1) го) =, +, яп(го+ 1) го, ,г ( — 1)" гг! (1+ хг) г »=о найти /1в1(х).
М Сначала с помощью формул Зйлегга и бинома Ньютона преобразуем функцию / в тригонометрический многочлен. Имоем '1 4. Производные и дифференциалы высших порядков 143 где р = агд (х + г) = — — агсгд х = агсссд х . 78. Найти >1 ">(0), если >'(з ) = агссдх. М ДиФференцируя > два раза, получаем > (х) = —, г~'(х) = 1< хз' (1+хг)г 14 хз откуда (1+ хз)> '(х) + 2х)'(х) ш О.
Применяя к полученному тождеству формулу Лейбница, наладим (1+ х )уЧ'0(х)+ 2 (и — 2)хур' >(х)+ (и — 2)(п — 3)21" >(х) ->- + 2хг1" '>(х)+ 2(п — 2)Уг" >(х) ав О. Подставив х = О, имеем рекуррентное соотношение (РО(0) = -(и — 1)(п — 2)(~" >(0), нз которого прп и четном находим у (0) = О, а при и = 20+ 1, последовательно полагая 1за> 0=0,1,2 ...,-- формулу у1зг"'>(О) = О. и 80. Дока~ать, что функцпл >:х~ х "яв-,, х~0, О, х= О, и Е >г>, в точке з = О имеет прои~водные до и-го порлдка включительно и не имеет производной (и + 1)-го порядка. М Поскольку 1!ш г~-*г = О, то г"'(0) = О. Предположим, что длл некоторого натурального .-О й ( и — 1 (и = 2, .1, ...) >а~>(О) = О. покажем, что тогда и утг ы>(0) = О.
Действительно, поскольку т10 (г, — й + + 1) — ' (з>п -) г -аг (х) = ~~ Г,'г. 2п(2п — 1) .=о то по определенинг производной Х1 >(О) = 1>гп = 1гш ~~ бп 2п(2п — 1) ... (2п — й+(+1) х " ' ~а>п -) = О. .г'">(*) — (">(О) . „. „, у, 1110 . -о х х О х~ =о у~"">(о) = (-ц" (20)., й б ж,. в 79. Вычислить >Р'>(0), если >'(г ) = соа(пг агсшп х).
М Дифференцпруем > н возводим найденное выражение в квадрат, а затем дифференцируем полученное еще раз и прихолим к тождеству (1 — х )) (х) — хГ" (х) -> т Г(х) = О, Дифференцируя зто тождество и — 2 раза с помощью формулы Лейбница, получаем (1 — х )УР'>(х) — 2х(и — 2)Х' '>(х) — (и — 2)(п — З))та (х)— — х~Р' ~>(х) — (в — 2)>г" з>(х) + т~>1~ з>(х) ав О.
Отсюда прп х = 0 следует рекуррентная формула >те>(0) = (( — 2)' — гз)У(" '>(О), (1) нз которой прп и = 210 й Е И, с учетом начального значения >(О) = 1 находим >(0) = ( — 1) гп~(т~ — 2 ) ... (ш — (20 — 2) ). Аналогично, полагая в (1) и = 20+ 1, й Е Н, и учитывая значение >ч(О) = О, приходим к равенству 144 Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной !!РО ! . ! ! ! Здесь учитываем то, что функции (з!и -/ содержит член вида --;та!в — или —,„соз —, (в зависимости от того, четное или нечетное 3). Итак, с помол!ью метода математической индукции мы показали, что /ПО(О) = О !!Г1 = 1, и.
Наконец, полагая в (1) й = и, замечаем, что )пп /!»!(х) не существует, т. е. функция /!"! -о раэрывна в нуле. Следовательно, она не может иметь производной в этой точке. и Упражнения для самостоятельной работы Найти и-ю производную функции /! ! 136. /(х) = е' . 137.
/(х) =,, „. 138. /(х) = хзр»(х). 139. /(х) = х" 'е*. 140. Найти /'(х), если /!(х) /з(х) ... / (х) у!(х) /!(х) /з(х) ... /»(х) !»'(х) /(х) = /~ ~(х) /~ ~(х) ... /~~"!(х] !Л~"!(х) Найти и — ю производную 141. /(х) = (згп2х, з!и х, х '), 1. Е !т, 142. /(х) = " +' I !з(~) -„тд. 1 зЬ2х 143. У(х) =,+',. 144. /(х) = хзе' .
1 х ... х" 2».(-! 146. /(х) = ха!п(Зх+2!). 146. /(х) = » «+! 3» 14Т. Пусть « = «(х), ч = ч(х) есть в — кратно дифференцируемые вектор-функции. Тогда («(х), ч(х))РО = ~ С,", («! 2(х), и!" ь!(х)) . Доказать это, 148. Доказать, что формула Лейбница (в — кратного дифференцирования произведения) справедлива также для матричных функций А = А(х) и В = В(х), т. е.
(А(х)В(х))!»! = 2 С»ьАга!(х)В!» ь>(х), если А и В есть и — кратно дифференцнруеиые функции. Найти и-ю производную, используя примеры !4!, 148 , е"*); х"). 161. Показать, что функции у = /(х) = С!е»+ Сзс ' ' (ы, Сг, Сэ — постоянные) удовлетворяет уравнению у + а!~у = О, 1б2. Показать,что функция з = з(г) = —,)п сЬ(1,/у1), 149. Г(х) = («(х), ч(х)), если: а) «(х) = (жп х, згп 2х, ..., з!и пх), т(х) = (с*, гз*, б) «(х) = (сов х, сок 2х, ..., сових), ч(х) = (х, х~!, 160, /(х) = А(х)В(х), если: ( з|впх соззх ) В( ) ( з)!эх — соз»х з!и г!х / ' ! — с)! пх !' хе* хзез* х'г'* '! г+, б)А(х)=( 1» з ), В(х)= 4 )их сЬ»х зЬ»х /' ! !!+*В 1 1п! х 3 4. Производные и дифференциалы высших порядков 145 где Й, д — постоянные, является решением уравнения зз» »ю» з гп — ' = тд — й (=) т = сопзд зы (я) 153. Показать, что вектор — функция /0~ / 2созг»1 / 2з)пз х: 1» С» 1 е +Сз 2созз +Се 2япг, С; «сопят, 1 3 сов? — з1п? 3япг+ созг/ удовлетворяет уравнению — = Ах, где зз з» А= — 2 — 1 2 154.
Показать,что вектор-функции х: 1 »-» С» 1 г' + Сз 1 е ' + Сз 0 ез'+ Сз 1 зз»+ +Сз 0 е '+Сз 1 .з ззх удовлетворяет уравнению — „,, = Ах, где А= -1 3 — 1 155. Показать. что если некоторая вектор-функция х = х(1) удовлетворяет уравнению кзд — „, = Лх» где А — постоянная матрица, то она является решением уравнения —" =А"х Чг» Е?Ч. я. 156. Найти з— ,(Л '(х)), где А '(х) — обратная к А(х) матрица. 157. Показать, что решения системы уравнении —, = х — у, -д = к+у являются также з з з я з» решениями системы —, = Зх — Зх у — х — уз, — д = хз — у+Зхуз+ Зд~.
з»з з»г 156. Найти /з(0), если /(х) = хз(з)п(!п (х~) + соз(!и (х))), х ф О, и /(0) = О, где и» = — '; Р, д Е Х. зз+» ' Является ли непрерывной вторая производная в нуле? Можно ли подобрать значение параметра т таким образом, чтобы существовала /з'(0)? 159. При каких значениях о функция /: х» )х(~з)п —, х ф О, и /(0) = О имеет непрерывную вторую производную? 160. Найти /з(х), если /(х) = ь»(6»(х)) и х, (х( < 2, зз(х) = япх, )х! > 2, )( е , )х) < 2, соз х, (х( > 2. 161. Вычислить вторую в обобщенном смысле производную функции / в точке ее разрыва, если У(х) = —. 162.
Вычислить вторую производную функции / ': х»-» д, обратной для функции /:д~ х,еслн: 146 Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной а) х = у+ у; б) х = у+кшу. 163. Вы пылить (1~) (О) функции ) ! х ! )х( асс!8 —, х ф О, и Г(0) = О. Й* 164. Найти )"(0), если у = з (х) и х = 21 — (з, у = (à — 1) 165. Найти 1"и(х) функции у = [~(х), заданной параметрически: 26 Г < 1, )) -асса)пц '(1) (1, Гз, (>1, У ( 1+1 — 4з, ~1)>1. 166. Вычислить вторую производную функции у = г(х), заданной неявно уравнением в)п(ху) = х + у — —, у > О, в точке х = —.
167. Найти У!аз(а ), если; 168. Вычислить у"(О), если функция у [ х ) у задана уравнением у + ха+ха — уз = 0 и дважды непрерывно дифферепцируема в окрестности точки х = О. Вычислить Х(аа)(О), если. 169. У(х) = ып(хз). 170. )'(х) = 171. Д(х) = —,, 172. у = У(х), х = 21 — Г~, у = 31 — Гз, Найти и а, если: 173. 1(х) = сии(и(Х)С(т). 174. 2(х) ж агсип )Щ. 175.
Г(х) = и(х) е ! 6 )()=) [([)))..)()=(()! () з) ) л)=( 179. у = у(х)( а) у(г) = (з)п т, х(т) = т сои ф б) у(аа) = р(аа) сйп[р, х(аа) = р([р) соя а). 180. У = ))(х)( У(1) = (зп! Г, соя Ц !81), х(Н = 314 0 . ,— з! 3) . -Л): ()=('; ';, '. ),га)= 182. у = г(х)( у(1) = ( —,;, —,, (у(Г)(), х(1) = 41+ гйп1+ сои ц Вычислить — „-~(л в указанной точке: 163. у = з (т), х + у' = Зхзу -(- 1 в точке М(О, 1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
