Anti-Demidovich (Lyashko I.I., i dr.). Tom 1. Vvedenie v matematicheskij analiz, proizvodnaja, integral (2001)(ru)(T)(358s) (940506), страница 30
Текст из файла (страница 30)
2» б 180 2 380 6 х х г 40, Доказать Формулу т//аг + х = а+ — — г, а > О, х > О, где 0 < г < —. 2а 8аз я Если считать х малым (х 4, а ), то по формуле малых приращений получим 1 х ,еа2+З. „+ Х а+ 2~4, „2а /(у) = /(О) + /'(О)у, ~("~+у=1+ — ", и откуда на основании чего х ;/ач + х = 6 !у/1+ — а ( 1+ — /1 = а+ аэ иа" иа" — ' 42. Найти 61/(2), сслп: а) Г(х) = (6 ', яп(ох ), сов(ох ), вй ( — ! ); 6) /(х) = е' !Т//' .6 + е / агсяп (гх') агс28 хг 1 хз -~- Зех + 42 -~- 5 ' ) ( 0 -(/'(О)(26 япэех М Используя формулу 3/(х) = /'(х) е/х, имеем; Погрешность этой приближенной формулы 1 1 ь/аз+ х — а хг г= а+ — — 2/аз+ х = х — х 2а 1,2а е/аз + я+ а,/ 2а(~а~+ х+ а) За(~/а~+ х+ а)2 „г тем меньше, чем меньше х > О.
Однако для любых х > О оиа меньше --г и, как следует из (1), е/а3 + х = а .ф. †, — г, что и требовалось доказать. ° г 41. Доказать приближенную формулу т/а" + х а+, а > О, где (х( в. а". ха М Поскольку (х~ ч. а, то к функции /: у е- ~/еТ+ у, где у = — „, эффективно применима формула малых приращений: т 2. Дифференциал функции а) лг (х) — ( — Ойх е '" .,2ах соя(ос ),— 4ах з!п(пх ), 1 сй (т~~<~х; б) ~!у(х) = (соз(их~) + 1з(о(охэ))'~!х = 2ох ( — з!в(охэ) + (соз(ох )) йх; ы э О О 1(~'(0))2'!п2 ээсозых / Под ~А~, Л = (ио), понимаем величину Щ ~~, ог Поскольку г" О 0 0 ~'(О) = „..., то (у'(0)(= — (у'(0)('+ш', (, 0 — "!~'(0)( ы ) ' 4 откуда (1'(0)( = . Таким образом, / эх ь 3 ~!У(х) = 2 0 э 1 э,э 1 ээ — 2 г ээ соз ых ~ гэ 1-— 4 «АА)А + А(Й(Л )) = О) ~ (Ы(А ) = -А '(ЫА)А '). М 44.
Пусть Л(!) — квадратная функциональная матрица с модулем ~А~ = ~~' озу(!), Оэ=э где о,э - - ее элементы, дифференцируемые на некотором интервале. Оценить модуль диффе. ренциала ее собственных чисел как Функций П ч Собственные вектор — функции Х и соответствующие им собственные числа Л, как скалярные функции переменной Г, удовлетворяют спектральному уравнению: А(г) х(!) = л(!) Х(!). Считая для определенности, что (Х(т)) = ) (х,(!)!э = 1, и умножая равенство (1) скалярно =! на Х(Г), получаем (А(г) Х(г), Х(!)) = Л(г).
(2) Дифференцируя (2), находим <!Л = (й(АХ), Х) + (ЛХ, !Х) = «НА)Х, Х) + (Лйх, Х) + (ЛХ, йх), откуда О!Л( ( ((АА) Х((Х(+ (Л ~!Х((х! + (ЛХ((~!Х( ( < (ИАЦХ)~+ (А)(йх((Х(+ (АЦХ)(ох( = (4А(+ 2(А)(ох). В 45. Пусть днфференцнруемая функция р такова, что ~(р(г)) = ! на [ге, тг], где у"— днйн(н.ренцнруемая функция и („., не равна нулкь Найти 4~о. 43. Пусть прн вычислении функциональной матрицы А(т) была допущена погрешность ИА(т). Предполагая, что существует .4 ~(т), найти приближенно погрешность вычисления А (Г), которая будет соответствовать 0А(1). М Поскольку Л(!)А '(!) = 1, то 132 Гл. 2.
Дифференциальное исчисление функций одной переменкой и Поскольку функции / и ш дифференцируемы, то сложная функция / о зг также дифференцируема и (ЖХ( (Г)) = 31) ~ (Хт(И1))А = 31) ~ [Х3 М /,'(з (1)) Упражнения для самостоятельной работы Нанти дифференциалы следующих функций 83. а) /: х « -з агсзд '  — -«!и — ' — + — '+3; г /зВзтззз1 1«зз1згг /тгзззз з б) /:х «« — агсзд ( †) г + 1; в) / г х з 2 — , в«1 ".Ог'-яз': яо ~~'-з(ао) в) /: х з 1а(иг(х) а-ег(х)); г) г: х ««иг(1пх) -ь зг(1пх). Вб.
а) /: р ««р(р) сову; б) /: сг «р(вг)в1п(ш(гг)1о). 86. а) /: 1« „,+,1 б) /: 1«т 2 '-'-'-~-'-); А 1 В) у; 1 « 1г + Гуг + 94; Г) Х; х з -~ +-'Г"=, 87. а) /:х ~ — + з(х + 3); б) /: х ~ в) /: х ««сов хо+ згйп Зх; г) Х: х «с'""~*. / ез ез ез 88. а) Г:х з (1, х,хг, ..., х"); б) /: х м и(х) з(х) гв(х) в(п х сов х 1 в) Й: х «(в1ашзх, нпшгх, ..., в1пш„х); г) Г: х з и(х)(сщ*1, Зби(х), и(х)); д) Г: х т«(-[/(х)[, и (х)). /1 / г 89. У:х ( "*гзз, ). 90. /:х . вап "(х) в1п и(х) [х] в1п[х) з 91, /:х«« *+в,г-~ . 92.
/:хь в1П(гх) сов(19) / Х в" (Ф~ зг) с" (Ф Зг) / азз(З) агг(З) ... аз„(М) агз(З) агг(Г) ... аг«(З) хг(1) а з(г) а г(З)... а (З) 94. Пусть Г(х) = (/з(х), /г(х), ..., /о(х)), где уо з =!, п, — дифференцируемые функции. Найти Ы([/(х)!). )) ; 1 „ фференцируемая функциональная матрица. Найти юК([У(х)() . 96. Приближенно вычислить: а) в1п10'; б) згсгд 100; в) агсип 0,99. 97. Показать, что при х > хо > 0 т 1 агсзб х 2 98. Пользуясь приближенными формулами г х з сов х ев 1 — —, юп х щ х+ ох, [х~ 'С 1, 2 ' найти козффнциент о. Указание.
Ввести н рассмотрение тозкясстао зьчх = 2 в1гз — соз —. 133 3 3. Производная обратной функции Н айти ау(О), если: 00. у(х) = 1, я=О. 100. 1 (х) = (и(х))Ц 1, !2и(О) = 5 Вх, 11и(О) = — г Вх, а(0) = с, в(О) = 1. 101. Х(х) = сисмв -"-1-"т, !2и(О) = 3 Вт, Ые(О) = ч!2 Ых, а(0) = 1, в(О) = «/2. 102. 1г(х) = ! !в ' ' 103 ! (х) = » -1 104.
1 (х) = """", ), х ~ О, и 1 (0) = (О, 1). 103. 1 (х) = ( х' 1, ~Я="=Ы, /т!х), х га О, и т" (О) = (О, О, О). хф0, х = О. 107. Пусть ат = (а«1, агг,..., аг„), ав б Е", й = 1, и, — векторы, имеющие общее начало, Абсолютное значение определителя ап аы ... аг» аг1 агг ., аг» о»! о»г в»» ~)3. Производная обратной функции. Производная функции, заданной параметрически. Производная функции, заданной в неявном виде 3.1.
Производная обратной функции. дифференцируемая монотонная функция г 1]а, 6[ к с необращающейся в нуль производной имеет обратную дифференцнруемую функцию 1" ', производная которой вычисляетси по формуле (Х ) (х) = ( ) 3.2. Производная параметрическн заданной функции. Если функция г' задана параиетрически х» р(Г), В=О(г), о<1<12, где у = у(х) и функции гг и В! дифференцируемы, причем гг (!) ф О, то у" (х) =— 0'(г) гг'(1) назовем объемом фагур«1 Р = (х(т с Е", х = В1а! + Вгаг + .. + В„в, 0 (~ В! < 1, г = 1, и)> которую принято называть параллело»1опоас Найти объемы бесконечно малых параллелотопов, построенных на касательных векторах, проведенных в точках пересечения следующих кривых: а) 11(1) = (Г, М~), Е(М) = (г~, г); б) 11(М) = (1, гг, г~), гг(г) = (С, С~, $), Вз(Ф) = (вгв «Ф, й г~); в) у,(1) = (1 Гг гз г!) у (г) = (!г гг Гв !) у (г) = (Гг Гв г гг) В (1) = (г! 1« 1« 1) 134 Гл.
2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной 3.3. Производная неявно заданной функции, Если у = у(2)) — дифференцируемая функция, заданная уравнением Р(х, у) = О, т. е, Г(х, г(х)) = 0 на некотором интервале ]а, 6[, то во многих случаях ее производнуго можно найти из уравнения 4~ Ж* Х(*)И = О. 46. Показать, что существует функция у = ((т), определяемая уравнением у гз)пу=х, 0<4< 1, и найти производную Г (2:).
Л Функция 24 ) у ) 2 = у — выл у — дифференцируемая на ] — оо, +ос)[, и ее производная р: у( 1 — егозу положительна. (~ледовательно, функция (р, будучи строго монотонно возрастающей, имеет обратную, также монотонно возрастающую н дифференцируемую функцию Г. Ее производная 1 1 Х (х) = —, 2)'(у) 1 — е соз у 47. Определить область существования обратной функции т = 42(у) и »айти ее производную, если у=х+!вх х>О ! Л Поскольку (х + 1» т)' = 1 -)- — > О, то функция Г ( х ( 2 +1» 2 строго монотонно возрастает пр» т > О.
('лсдовательно, она имеет обратную и 1 х 22 (У) = —, У'(т) к+1 При 0 < 2 < +ос имеем -оо < у < +оо, т. е. обратная функция существует на всей числовой прямой, М 48. Выделить непрерывные ветви обратных функций я = 22(у) и найти их производные, 2 4 если у = 2х — х . Л Функция Г ( х ! 2г — г — — дифференцируемая, и ее производная т" ( х ! 4х(1 — х ) со- 2 4 2 храняет знак на интервалах ) — (ю, -Ц, ] — 1, О[, ]О, Ц, ) 1, +ос[. ()ледовательно, на каждом из соответствующих интервалов ] — оо, Ц, ] О, Ц, ]О, Ц, ]-оо, Ц сул(ест»уст днфференцируемая обратная функция.
Обозначив через ум 4 = 1, 4, эти функции (2) = (р, (у)), имеем (2! (] — х, Ц ] — оо, — Ц, 222)]0, Ц ] — 1, 0[, )22 ))О, Ц )О, Ц, 224 () — оо, Ц ]1, -~-оь[, причем, судя по знаку производной ( 1 р:у' 42 (1 — яз)' функции 22) н (22 монотонно во,)растают, а функции 242 и 224 монотонно убывают. Решив уравнение т4 — 2х2 + у = О относительно т, можно получить функции (р, в явном виде: =,Ы=-~4.Ьг г =.,(, =-)(:,Л." ='(.)=)( -ьт=' *= ь))( ьг=.
° Найти про»вводные Г'(2)), если: 40. х = ~/1 — у"(, у = ЬГ( —:,(( (у = У(х)). Л Найдем сначала г', = -(1 — 4(() ! (1 — чг[) = — (1 -. »г[) . 1 — — 1 3 бч(( у[= 2 (1 — (2()'= —, „, Ос(<1. 2 1у( - Я б,',.((2 ф,4,(( З 3. Производная обратной функции 135 Далее., пользуясь формулои пункта 3.2, имеем ! у! ! ((1 гв)4 ) в ..(, 1.. 50. у = (е, яп1, е со«1, г ), х = т+ т~ (у = ! (х)). М Поскольку г1у = (г1(е'«1пс), г4(в солт), Й(е')) = (япс+ солт,со«1 — «1пв, 1) е г(4, г4х (1+,гв ) «11, * г1у (е (ял1+со«Ц вг(со«1 — яп1) е г1х (, 1+51! ' 1+51! ' 1+51!/' 51.
у = со..«1+ !«(пз1, х = 21 — со«4 ((з = — 1: у = у(.)). м Поскольку г1у = (-Зсов вял в+ Зляп всовв) Л, г1х = (2+яп4) г(1, г1у 3яп 21 г (х) = — = — е . в г1х 2(2+яп1) х = 31+ 1 (у = У(х)). «5, ° Имеем 1 — со«1 яв 1 с1гс вдт / с с Г!ь!=-'( '" +вз) 1 гг у гег! откуда .г'(х) = ~( ),, И') ~ * У(х) — " г 54.,! + у ° =1 и подставив в данное уравнение дифференцируемое решение у = 1(х)! получим тождество г г х ! 1. (У(х)) ! = 1 дифференцируя которве, инеем х з + (1(х)) з у'(х) = О. Отсюда находил! ! )'(х) = —, х ф О. ° / 1(,)' х 55. пайти 1"'(х), если у = г"(х) и р = ил« (р, уг — — полярные координаты).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
