Anti-Demidovich (Lyashko I.I., i dr.). Tom 1. Vvedenie v matematicheskij analiz, proizvodnaja, integral (2001)(ru)(T)(358s) (940506), страница 36
Текст из файла (страница 36)
т. Е. Эо(Х) > ОЭ(Х) Прн Х > Ха 105. Доказать следующие неравенства: 2 а) е' > 1 + х при х ~ 0; б) х — — <!п(1+ х) < х при х > 0; 2 х х' э. в) х — — <э!ггх<хприх>0; г) гдх>х+ — прнО<х< —; 6 3 2' д) (х'" + д") > (х" + уэ) й прн х > О, у > 0 и 0 < о < (3.
М а) Обозначив эо(х) = е', й(х) = 1+ х и замечая, что !о(0) = г2(0), Оо'(х) > Оа'(х) при х > О, на основании предыдущего примера заключаем, что эо(х) > й(х) при х > О. Полагая х = — ! прн х < О, получаем Эо(Г)=г, р(Г)=! — Г, !)О. Поскольку !а(0) = й(0), Эо'(!) > 4'(!) при ! > О, то д(С) > й(!) при ! > О, т. е. е* > 1+ х при к<0.
б) Обозначим хэ у(х) = х — †„, й(х) = !п(1 + х), г!(х) = х, х > О. Очевидно, Оо(0) = 4(0) = г!(О), !о'(х) < гв'(х) < г!'(х) при х > О, поэтому, на основании предыдущего примера, имеем у(х) < й(х) < р(х) при х > О. в) Пользуясь обозначениями .э р(х) = х — —, 0(х) = ивх, г!(х) = х, 6 ' имеем оо(0) м 0(0) = о!(0), Оо'(х) < гд'(х) < ц'(х) при х > 0 и х аа 2йгг.
На основании предыдущего примера справедливы неравен~гав Эа(х)<Э(х)<н(х), х>0, х~2йл, йЕМ При х = 2йт имеем неравенства !!г э~1 2йх ! — у) <0<2йх, т. е. Оо(2йт) < г( (2йт) < г!(2йх), й Е И. Таким образом, ири и > 0 выполняются неравенства р(х) < й(х) < 0(х). г) Обозначим хэ х р(х) = одх, й(х) = х+ —, 0 < х < —. 3' 2 Очевидно, Эо(0) = !О(0), а'(х) > Гр(х) при 0 < х < — (так как Эо'(х) = 1 + !д~х, Ф'(х) = 1+х, од~х > хэ при 0 < г < о), Пользуясь предыдущим примером, можем утверждать, что эо(х) > й(х) при 0 < х < —.. 1 д) Неравенство (х" + у") ° > (х + ул)й при любых фиксированных х > О, у > 0 и всех о, 0 < о < )1, эквивачентно неравенству 1 — +1 > — +1 з 6.
Возрастание и убывание функции. Неравенства Для доказательства последнего обозначим — = 1 и рассмотрим функцию у Е р:з~ (Г +1)р, 0<х<+оо. Ее производная ьэ: — й .с „ж" (,х(1+1*) гэ ! хэ(1+т") (1+1з)гтм отрицательна прн 0 < х < +оо, поэтому функция зэ убывает; следовательно, зэ(п) > 1л(Ф) при 0 < и < Д < + ю, т, е, справедливо неравенство Е Е (х +р )» >(х +у )Л при х > О, у > О, 0 < о < Ф,что и требовалось доказать. гз 106. Доказать, что цри х > 0 справедливо неравенство (1 + -) < е < (1 + -) ч Если неравенство выполняется, то, логарифмируя его, придем к неравенству — <1п(1+-) < -, х+1 (, хт' х которое требуется доказать. Обозначая — = т, 1 > О, получаем неравенство 1 — <1в(1+1) <П т 1+1 Правая его часть доказана прн решении примера 105; докажем теперь левую часть неравенства.
Обозначим 1з(т) = —... т1(1) = 1п(1 + 1) н рассмотрим функции зэ и г/э при 4 ~ )О. Очевидно, Зэ(0) = б(0), Зэ~(Г) = —... < р'(1) = —, при 1 > О. Следовательно, на основании неравенства, доказанного в примере 104, можно утверждать, что зэ(Г) < тЗ(1) при 1 > О, т. е. ,т. < 1п (1+ -) при х > О, что н требовалось доказать. 1 107. Доказать неравенства: а) х" — 1 > о(х — 1) при о > 2, х > 1; б) ~/х — .",/л < Ьтх — а при п > 1, х > а > 0; в) 1+ 21пх < х при х > О.
м а) Обозначив зэ(х) = х" — 1, р(х) = о(х — 1), имеем: ьэ(1) = 1э(1) = О, зэ'(х) > Ф'(х) при о > 2, т > 1. На основании неравенства, доказанного в примере 104, р(х) > 11(х) при о > 2. х > 1. б) Аналогично доказательству а) имеем при и > 1, х > а > О: и(х) = ~/х — ъ/а, 14(х) = ~~к — а, р(а) = Яа) = О, р (х) < т (х), поэтому р(х) < р(х). в) Обозначив р(х) = 1+ 21п х, О(х) = х, замечаем, что при х = 1 значения функций р и р совпадают, а при х > 1 выполнено неравенство 1э'(х) < О'(х), поэтому на основании примера 104 справедливо неравенство р(х) < тЗ(х) при х > 1.
Пусть 0 < х < 1. Тогда, ! полагая Г = —,, 1 < 1 < +со, имеем р(х) = 1 — 21п г = Мг), 0(х) = —, = Ф (т), р (1) = Ф (1) = 1, р (1) < г)~'(1), откуда р,(1) < вч(т) при 1 < г < +оо, т, е. 1э(х) < е(х) при 0 < х < 1. приняв еще во внимание очевидное равенство р(1) = б(1), приходим к выводу о том, что зэ(х) < Р(х) тх > О, что и требовалось доказагь. И 1бО Гл. 2.
Дифференциальное исчисление функций одной переменной Упражнения для самостоятельной работы Найти интервалы возрастания следующих функций: 212. У1 хз атосов —,, 213. 1'1х 4 [х[ е, а > О. 214. 7'1х1 х (1+ -') 215. 11х~ аг)Ь вЂ” ""* .
210. 71Х У, х=11пЬ у= —, 4 2 (*+ -) 217. у; Х У, х = 12+ 1, у = ехр(2/2х) — япгг+ созгг), 0 < 1 ( —. 218. у 1Х У, х = а(1 — япг), у = а(1 — совт), 0 ( Г ( 22. 219. 1 1 Х -4 У, х = а япз Ь у я Ь совз Ь 0 ( Г ( 22г. 2 220. [122»,~,. 221. (122 ~ узе е . 222. 1 1р ~ яп)2. 223. У1Х У, х=рсоыр, уырвштз, раз ~,1р)0. 224.
(1Х У, х я рсоз(4р — рз), у = ряп(4р — рз). 225. 1 1Х У, х + уз — Зху я 0 (у > О, у — дифференцнруемая Функция). 228. у 1Х У, хгуг — х*+уз я О, 227. у 1Х У, х+ у = хе ". 228. У1Х У, х+у — сов(х+ 2у) = О, Исследовать на монотонность следузощие Функции: 229. 2" 1х» (2+ х)1п(1+ к) — 2х. 230. Г 1х 4 — „',, х > 1. 231. у 1 Х У, х = мат — Г+ —, у = 114 — 514 + 1. 232. р = )215 22, р > 0 (р, тз — полярные координаты). 233. Являются ли возрастающими на отрезке [1, 2] функции: а) у'1х1 [х]) б) 2 1хз (х 1)[х]; в) 11х 4 х, если х б ()? 234. Доказать, что сумма и произведение положительных функций, одна иэ которых монотонно возрастает, а другая не убывает, есть функция монотонно возрастающая. Доказать следующие неравенства: 235.
' — — )т ) 0 при х>0. г паз)ы з +г [)+~)т 235.,1 ) 1п (1 + -) + )пг (1 + -) — *~ > О при х ) О. 2 4 -2 237. х — — *, + 2, — ... — — '", < 21пх < х — —, + —, — ... + —,, х > О, п б М. 2' 4' ' ' ' 14» — 1)! з1 я ' ' ' 14»-з)1 ' 2 4 4 — 2 з 4 238. 1 — *— + — ', — ... — —, ( сов х ( 1 — —, + ... + — ',, а б М. 2> е ' ' ' 14 -2)! ' 21 14»)' 239. е > 1+ х+ — ", + ...
+ —,, х > О, п б 64. 2' '' ! 240. ып х ( —,(т — х), 0 < х ( т. 241. сов х < 1 — 422-, ]х] (». 242. а) гд х > ч — при 0 < х < з; б) ГК х < лез — — при — < х < —. 7 г 243. —, ( о+ — ("-2=2(х — 1)х г, х > 1, о > 2. 244. Япх+ Гбх > 2х, О < х < —. 1 245.
х < 1 + †' пРи 1 < х < е. 240. ~ †""„ * > 0,[х[ ( зг. 2=1 247. Пусть а = (а1, аг, , а»), Ь = (Ь1, Ьг, ..., Ь„), с — векторы нэ Е" . Доказать, что тогда /А Е Ез) 4)ег ~ Е В С ) > О, Е С С' где А = аг, В = Ь , С = с , Е = (а, с), Р = (а, Ь), С = (Ь, с). 248. Пусть 1 днфференцируема иа [а, 6], г(а) = 0 и ЭА б К такое,что ]Х'(х)] < А]у(х)] на [а, Ь]. Доказать, что У(х) = 0 )Гх б [а, 6].
249. Пусть х, у б К». Будем считать х > у (х < у), если хз > уз (хз ( уз) 26 = 1, 24 (такое отношение между некоторыми векторами называется их частичным упорядочиванием). В связи с данным отношением будем называть вектор-функцию х: 1 4 (хг(1), хг(1), ..., х„(1)), 1 б [а, 6], монотонно возрастающей (убывающей) на интервале Т С [а, Ь], если 211, Гг б Т из (11 .) 12) ~ (Х(11) ) Х(12)) (Х(11) < Х(тг)). 12 Показать, что вектор-зрункция х: Г 1-4 (яп Ь сов й Ге ' ) возрастает на ] О, — [. Для вектор — функции 7 найти интервалы монотонного возрастания (убывания), если: Ь 7.
Направление выпуклости графика функции 1б1 250. т": 1 ь (2[совр Р )сов21(+ 41, —,1+ —,гйв 41+ 1). 253. Матричную функцию А: 1 ь (аб(1)) (з, 1' = 1, и) будем называть монотонно возрастающей (убывающей) на интервале ]а, 6[, если Пы Зз б]а, 6[ нз (Фз > 4г) ыг (А(11) > А(гз)) (А(Ц) < А(гз)). Для матриц А н В считаем А > В (А < В), если а,з > Ь,з (а,з < Ь,з), з,,з = 1, п. Найти пнтервалы монотонности для следующих матричных функций: ! ]1[ 1~ ! 112 ! 151 / ) ' ! э)ззз с!гзз [1]+1 /' l ьйв 1+ [е!и![ сов!+ ] соя!] в) А:1~ Ф+ агсе!аз тз!пз [] 7. Направление выпуклости графика функции.
Точки перегиба 7.1. Выпуклость графика функции. Определение. Говорязп, пяо график дифференцируемой в интервале ]а, 6[ функции у: ]а, 6[ — ЬЬ имеет на нгм еыиуклоггнь, направленную вниз (вверх), егли он яежит в пределах указанного интервала не ниле (не выше) любой своей касательной. Теорема. Дотаагпочным углооием выпуклоспт графика функции вниз (вверх), если функ- ция всюду на интервале ]а, 6[ имеет конечную вторую производную, является выполнение неравгнспзва )о(х) > О ()"(х) < 0) нри а < х < 6. 7.2.
Точки перегиба. Определенно. Точка Мо(хо, уо) грифика функции ), имеющего касатеяьную, называ- тпся пзочкой перегиба сизого графики, егли существует пзакая окрестность пзочки хо оси абсцисс, в пределах которой график функции ( слеви и справа опз хо имеет разные напра- вления выпуклогот. Теорема. Точка Мо(хо, 1"(хо)), для которои либо )о(хо) = О, либо (о(хе) не существу- ет, егнзь точка трг, иба, егли ут(х) меняеги знак при переходе через пшику хо. Найти промежутки выпуклости определенного знака и точки перегиба графиков следую- щих Функций: 108. ): х Охз — *", " Е Н, М Вторая производная (о(х) = б(1 — х) положительна при х < 1 и отрицательна при х > 1. Следовательно, согласно теореме пункта 7.1, на интервале ] — оо, 1[ график функции ) имеет выпуклость, направленную вниз, а на интервале ]1, +со[ — выпуклостгч направленную вверх. Согласно определению пункта 7.2, точка Мо(1, 2) есть точка перегиба графика.
И 109. ).х~-х (х>о). М Поскольку вторая производная (о(х) = х" ((!и х + 1) + -) > 0 прн х > О, то, согкасио теореме п. 7.1, график данной функции имеет выпуклость, направленную вниз. !ь 110. Прн каком выборе параметра 6 'кривая вероятности" Й ьг; у= — е, Ь>0, т/х Ь ~ 3 2 имеет точки перегиба жо, — е ? 'у= ) и 2Л, 2 2 Лз 3 м судя по знаку второй производной 1' (х) = — . (26 х — 1) е, заключаем, что прн 1 х = ~=.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
