Anti-Demidovich (Lyashko I.I., i dr.). Tom 1. Vvedenie v matematicheskij analiz, proizvodnaja, integral (2001)(ru)(T)(358s) (940506), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Исследовать на днфференцнруемость в точке х = 0 функцию — — — солих фО; < 1 1 ~<х~ 1 если х = О. М Исследовать на дифференцируемасть функции в точке х = 0 означает установить сун<ествование коне <ного предела 1 1 1 1'(0) = Лго (1) Предел (1) будем искать по правилу Лопиталя, длл чего мы должны убедиться, что числитель в (1) стремится к нулю при х О.
Проверка с применением правила Лопиталя показывает, что ('1 1 Ц 2г — 2 — х — ге е — 1 — хе'" 1, — хе* йп! ! — — —,— 1 = !ип, = 1ип = — !и» = О. о (х е* — 1 2) * о 2х(е* — 1) . о 2(ео(1-1-х) — 1) 2 о-о 2е + хе* Итак, в формуле (1) имеем неопределенность вида —. Применяя к (1) правило Лопиталя о о трижды, получаем 1 1 ! 2е — 2 — х — .се, 2е — 1 — е* — хе 1пп " ' =!!ш =!ип -о х о 2хг(е.
— 1) о 4х(е* — 1) +2хге -хе' . — е (к+1) 1, 1 = !ив г — — у'(0) = — —. м *-о 4(с* — 1)+ег(8х+2хг) * о (12+ 12х+2хг)е" 12' 12 1<оо5. Найти асимптоту кривой 1+ у=, х>0. (1+ х) х 1 1 й= !ио !ип *-+ (1+ х)" о-+,ю (1+ -!) е' — — — — !ип х(е — (1+-) ) (1 + — ') е/ ег *-+ х 1+ 6= Йп, — — = !ив х о 4 1(1+х)* е < -+ 1 1 ~ е — (1-)-!)! = — !!и! о ~ 1 ' г е2< Фо = — !пп (1+ !)< ~ — — — !п(1+ !) г(г+ 1) гг 1, à — (1+ Г) 1п(1+ !) 1, — 1п(1+ !) 1 ьр <-+о !2(1+ !) ег <-+о 2Г+ 3!2 '2е Таким образом, получаем уравнение асимптоты у = — + —. Обоснование законности 1 6 2о многократного использования правила Лопиталя мы предоставляем читателю.
в м Уравнение наклонной асимптоты имеет вид у = ах+ 6, Использовав уравнение кривой, находим л и 6: $8. раскрытие неопределенностей 126, Возможно лн применение правила Лопитал» к пределу г ! х яи— 1ип —.* ? о япх х зш — х (' ц г 1 йш, * = Бгв —, 1ип хзш — ) = О. о япх * ояпх о ( х/ 127. Найти ез — 1 1 4 хг — 1ип / хсозх (Зх о(е! ~ зЬх о ° Данные определители как функции переменной х удовлетворяют всем условиям правила Лопиталя в некоторой окрестности точки х = О. Поэтому, применяя правило, получаем х япх о* 2х хсозх !Зх — 1. ° де! + Не! -= йш 1 сов х — хо!их о(е! зЬх г + о(е! -г соз х +1 о* Упражнения дпя самостоятельной работы Найти следующие пределы: 6 6 огсо! (г-оо)--- г о .",у г гоо г ! ( -!)» *г оозг — ( г 2(о ЗОЗ.
1ип ( + — + гь, ь !Оплеткам — гхт +т-~згстгхгт!. + 30 . Нш (*)„,. *-+о ("Ко) 305. Ыш О о) аз < Функции (: х о х яв — ' н д; х ! япхо х Е К'((О), определены н непрерьгвны в окрестности точки х = О (исключая точку х = О); их производные У': х ! 2хяп — — соз — и ! ! ! д': х ! созх одновременно существуют при х и О; выражение (у'(х)) + (д'(х)) = соз х+ соз —, — 2х яп — + 4х яп - ~ О при х ф О и г! г г ° з ! у'(х) 2х яв — — соз— Йп —, = Нш (1) о д'(х) о сох х Поскольку 1ип (2хяв — ) (созх) ! = О, а 1ии (соз-) (созх) ! не существует, то предел (1) о о также не существует.
Следовательно, применение правила Лопиталя в данном примере невозможно. > Отметим, что 122 Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной 308. Йп ып (х агсгд 120 И ОМ 2 .....( à — '.)à — "):*"* О 311. !ип О 315. йпг ыв (1 — х ). 316. 1пп Гк (1 — 2*). О О +О +О 2 2 22 1 ~ 1, ' 'Ш~=.~:.'*Г +О -1 2 О, 2 2 325. йш -О х х ... х 2 2 2 +1 ХВ1ПХ Х 2 + х Гдх 327. !1п1 1 -О 326.
йгп *-О О-)-1 2 — 1 у(х) . у1"+')(х) 1ш1 — = 1ш д(х) дШ+')(х) Доказать зто. 329. Пусть функции У и д в некоторой окрестности У точки а, за исключением самой точки а, имеют производные до (н+1) — го порядка включительно. Пусть, далее, выполняются условия: 1) йш Г(х) = йш Уч(х) = ... = )ип )) )(х) = +со; 2 2 2) Бш д(х) = йш д'(х) = ... = 1ип д!")(х) = +со; 3) 3 1пп — ~.„-тту(-*) = 1, ! Е К; 2 а 1 ! ) ) 4) производная д(О+')(х) ~ 0 в окрестности П. Тогда ~1-")(х) 1йп — = 1гпг „ д(х) дрем)(х) Доказать это.
328. Пусть функции у и д в некоторои окрестности У точки О, за исключением самой точки а, имеют производные до (и+1) — го порядка включительно. Пусть, далее, выполняются условия: 1) 1ип у(х) = йгп у'(х) = ... = йш у)")(х) = 0; 2 О 2) йпг д(х) = !ив д'(х) = ... = йш д!О)(х) = 0; 3) Ч йш —;„-++,1(-) — — 1, 1 Е К: 2 а Оо" ы)С*) 4) производная д!О+')(х) ф 0 в окрестности У. Тогда 6 9. Формула Тейлора ~ 9.
Формула Тейлора 173 9.1. Формула Тейлора на промежутке. Пусть 1 !]а, 6[ — И и ау~ О+И на ]а, 6[. Тогда Ох, ХО Е ]а, 6[»» !Гр > О Лд таКое, чт»» справедлива следующая формула; 1(х) = ((ХО) + 1' (ха)(х — хо) + ... +, (х — хо) + ЯОЕ»(х), ,('" (х.) где Н„„!О-1*=-à — ОО=-'С:"..'./("+ИО1:,.61, -„О, ! !, (1) (остаточный член в форме Шлемильха — Роша). Из (1) при р = и+ 1 получаем остаточный член в форме Лагранжа Л„+1(х)= Х" (хО+д,(х — хО)), О(д,(1, (х — ХО)аы 1.+П (а+ 1)! а при р = 1 -- остаточный член в форме Коши (х — )д ы и„+1(х) = (1 — дг) 1~ + 1(ХО + дг(х — хо)), О ( дз ( 1. и! 9.2.
Локальная формула Тейлора (или формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано). Если Функция 1', определенная в некоторой окрестности точки ХО, имеет коиечиург про- изводную )('О(ХО), то справедливо представление г (х) = 1(ХО) + 1 (хО)(х — ХО) + ... + 1 (хо), + О((х — ХО) ), Х ХО.
9.3. Пять основных разложений. Положив во всех формулах Тейлора пунктов 9.1 и 9.2 хо = О, получим соответствующие формулы Маклорена. Из локальной формулы Маклорена вытекает пять основных разложений: г! 1. О*=1+а+'— ,+ .. + —,+о(х"), х О; ! — 1 П. О!ах = х — — ",, + ... +(-1)" '<— ',, +О(х "), х О; П1. сох г. = 1 — — *, + ... + (-1)" —, + О(хг"+'), х -! О; 1,,! ° =,!,,!=.~ О *! !~ -„,1,! Н. 1в(1+ х) = х — — + ... +(-1)" '*— +О(х"), х — О.
9.4. Формула Тейлора для вектор-функции. Пусть вектор-функция р:]а, 6[ Е» имеет производную (и+ 1)-го порядка на ]а, 6[. тогда Ох, хО е ]а, 6[г!»»рг > О ндг, 1 = 1, /с, такие, что справедлива формула а!О(ХО) у(х) = ~ ~—., (х — хо)'+ В..+1(х), О где г(х) = (11(х), 1 (х), ..., 1»(х)), 1 г 1, (Х вЂ” хо) ~~и-1(х) (НО+1 Л! +1 ! ~~у ь1) а! П(ха+д»(х — х )) Рг Для вектор-функции справедлива локальная формула Тейлора. Написать разложения следующих функций по целым положительным степеням переменной х до членов указанного порядка включительно: 114 Гл. 2.
Дифференциальное исчисление функций одной переменной 1+х+х )4) 128. /1х 2 до члена с х . Чему равно /~ )(0) 2 г м Представляя значение функции / в виде /(х) = 1+ (2 . + 2х')(1+ х') ' и пользуясь разложением 1"47 (1+х ) =1 — х +о(х ), х О, получаем /(х) = 1+ (27 -)- 2х )(1 — х -). о(х')) = 1 + 2х+2х — 224+ о(х ), х О. Сравнивая полученное выражение с разложением в общем виде (см. пункт 9.2), находим /(4)(0) 4! = — 2, откуда /4 )(0) = — 48.
И 120 ег* М Полагая 1 до члена с х'. 2 = 2х — х и используя разложение 1, имеем 13 14 15 + + + (15) 3! 4! 5! = 1+ (2х — х )+ — (2х — х ) + ... + — (2х — х ) + о(х ), 2 1 2 2 1 2 5 5 2. 5! е =1+3+ —,+ 21 (мы учли, что о(1~) = о(2х — хг) = о(хз) при х 0). Выполняя далее соответствующие действия н записывая в разложении члены до х (ха, хг, ... вносим в о(х )), окончательно получаем г — *' 2 2 3 5 4 1 5 с = 1+ 2х+ х — -х — -х — —.ха+ о(х ), х О. И 3 6 15 41-; —- 13 130, чягн хз до члена с х ' .
М Положим хз = 3 и воспользуемся разложением функции зш1 по формуле Маклорена: зьяг=г — -2 + — 55+ 0(2 ), 1 3 1 5 3 6 120 а также разложением 1Ъ'. Тогда получим 3 1 + (г')~ =13(1 (7)) г ' ( 1 / 3' 14 '4 1 / 22 34 51 .'» = ' +- — Н- — ) "'"» = 3 ~ 6 120 ~ 9 ~ 6 120 ~ 3 Ы 7 13 х х' 15 -'го(1) =х 1 — — — —.~-о(х ) =х — — — —,-)-о(х ). М 18 3240 ) 18 3240 1 / 12 34 4Я~г=гз ~1 — — +— 6 120 1 1 2 = 1з (1+ -о — -о + 3 9 ,7 г 14 =23 ~1 — —— 18 3240 131. 1псозх до члена с х . и Применяя разложения Ъ' и П, получаем хг х4 хз = — — — — — — +о(х ), х-10.
> 2 12 45 132. сйл(ып х) до члена с х'. 1поззх =1в 1 — зпз х = — 1а(1 — йв х) = —, ~ — 31л х— 2 1 2 1 2 2 2 [ 3 5 / 3 1(( х х — х — — + — +о(х )) + — ~х —— 2 ) 1 6 120 ) 2 ~ 6 1 х х х х г(4 Зб З 60 2 З+ З+'(х) ып х зщ х 2 3 + ( 7) 4 + о(х )) + — + о(х ) 3 ! 9. «2«ормула Тейлора и Пользуясь разложением П, имеем яп х з яп(ял х) = зш х — + о(яв т) 6 з з х' 1 з «.,«х « х — — + о(х )) — — (х' + о(х )) + о(яп х) = х — — + о(х ), М 3! ) 6 3 133. «8 х до члена с хз. М Поскольку функция «8 х не «етная, то ее разложение в окрестности точки х = О имеет вид О, (1) «8х=Ах+Вхз+Схз+о(хз), х где А, В, С вЂ” коэффициенты. Записывая (1) в виде япх = (Ах+ Вх + Сх + 0(х ))соэх и используя разложения П и Ш, получим А), (, А В), 3 з х — — + — -~о(х)=Ах+( — — )х + С+ — — — х +о(х), х — ° О.
3! б! 2/ ( 4! 2/ Отсюда, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, и~ходим 1, 2 А=1, В= —, С= —. 3' 15 Таким образом хз 2 «6 х = х -!- — + — хз -)- о(хи), х -«О. М 3 16 134. Найти трн члена разложения функции /: х «з/х по целым положительным степеням разности х — 1, и Воспользовавшись формулой Тейлора с остаточным членом в форме Пеано, получим /(х) = /(1) + /'(1)(х — 1) + †, (х — 1) + о((х — 1) ), х Х (1) г г ,Затем находим /(1) = 1, /'(х) = —, /'(1) = —; /а(х) = — —, /а(1) =-- 2 х' 2' 4хз/г' 4 и, подставив эти значения в полученную формулу, окончательно имеем /(х) = 1+ — (х — 1) — — (х — 1) + о((х — 1) ), х 1.
«ь 1 1 г г 2 8 135. Функцию /: х «асЬ вЂ”, и > О, в окрестности точки х = О приближенно заменить а параболой второго порядка. и Поскольку с!« — = — е -, 'е =1 !.— +о(х), х О, а 2 (, ' ,) 2аг „ /(х) — „ + " + а(х'), х — О. М 136. Функцию /; х «- Н/1+ха — х, х > О, разложить по целым положительным 1 1 степеням дроби — до члена с —. е хз < Преобразовывая выражение з/Г+ хг — х н пользуясь разложением !Н, получаем =х(1+ — ',— ',+о( — ',)-1)= — '- —,',+о( — ',), х +со.М 176 Гл.
2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной Таким образом, 3 г Х (1+6(х 1)) з Х(х) =1 — — ( — 1) — -( — 1)'+ (х — 1) . ! 16 6 3! 138. Пусть г"(х+ й) = Ях) + й,Г'(х) + ... + —,Г! "1(к+ 6)г), (1) где 0 < 6 < 1, причем ~~ее ~(х) ~ О. Доказать, что !пв д = — . а-о о+ 1 Поскольку у~ ~ц(х) существует, то по формуле Маклорена с остаточным членом в форме Пеано запишем й" йьз! г(х+ й) = г (х)+ йг'(х) + ... + — (00(х)+ г "+' (х) -!-о(й + ), и! (а+ 1)! л" Вычитая из равенства (1) равенство (2) и сокращая на —,, имеем убб(х 4.66) — урб(х) (! +М(х) о(й) й и+1 й й О. (2) откуда г ~ 1(х) о(й)'] ( 11 1(к+дй) 11 г(х) +1 й /)ч д!з Переходя к пределу при й 0 в этом выражении и принимая во внимание, что У!"+М(х) ~ О, находим Вш д = —,. !ь л-о "+' 139. Пусть ХЕ С~'1([О, 1]) и Г(0) = у(1) =О, причем ВА > 0: !Х"(х)] < А Ух Е]0,1[.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
