Anti-Demidovich (Lyashko I.I., i dr.). Tom 1. Vvedenie v matematicheskij analiz, proizvodnaja, integral (2001)(ru)(T)(358s) (940506), страница 41
Текст из файла (страница 41)
334. у: х и- х агсодх, х 6 й, в точке хо = 1 до члена с (х — 1) включительно. Остаточный член взять в Форме Коши. 336. (: х о ч? — хг агсз1пх, ~х~ < 1, в точке хо = 0 до члена с х включительно. Остаточный член взять в Форме Пеано. 336. Г; х и (соз(сйв х), мв(соз г), еи" *), х Е )й, в точке хо = 0 до члена с х~. 337. Х: х и ()г(х), тг(х), Хэ(х)) в точке хо = 0 до члена с х, где ~г(х)ж „,, х~О, ~г(0)=2; г ~ ~ = 1 + х ]х~ + †, + ... + (;) — + о(х ")? 1 340. г:х~ г " хФО (дочленасх' ). О, х= О Справедливо ли разложение 1 1 1 Г 1 е '=1 — — + — †...+( — 1)" +о — ? хг 2хо гй хг 1 хгп ] ' 341.
1"; Х К, х = 21 — 1, у = 21 — Г~ (до члена с хз). 342. 1': Л У, г: = 21+ ып1, у = ге' (до члена с хз). 343. Г":Х К х=т — Г, у=41 — 1 (дочленасх ). 344. г":Л' К, уз+у — х=О (дочленасх ). Пользуясь Формулой Макгюрена с остаточным членом в форме Лагранжа, получить разложения по целым положительным степеням х до членов указанного порядка включительно следующих функций: э 346. г": х и- ' ' (до члена с х ). Г х*, хмО, 346. у: Л' — Р, х~ + у~ + з1п ху = 1 (до члена с хз на отрезке ( — 1, 1]). 347. г": х и е' ", х > О. Справедливо ли разложение 348.
Пусть 1, х и соз(?г(х)), где  — функция Дирихле. Справедливо ли разложение соз(В(х)) = 1, + ... -~- ( 1) ) + гсг аг(х). Уг(х) = ' '*, х ф 0 Хг(0) = — — гз(х) = агяЬ х. Пользуясь локальной формулой Маклорена, получить разложения по целым положительным степеням х до чланов наибольшего или указанного порядка вкюочительно следующих функций: о 1 О, х=О. 339. 1: х и е* ~ ~. Справедливо ли разложение 182 Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной Найти выражение для Яз„эз(х).
Подобрать коэффициенты А, В, С таким образом, чтобы при г -г 0 справедливы были следующие асимптотнческие равенства с наиболее возможным их порядком точности (установить этот порядок относительно х); е,г„з м г 349. агсьбх =, и*, + О'(х"). 350. агсвйпх = *,+в*, + О'(х"). Оценить абсолютную погрешность приближенных формул: 365. сов х 1 — — + —" при )х( ( 1. 356. ' — *+ — 1+ — при (з.! > 10 . г г з 357. агсгбх — — — при ~х~ > 10, з г г г 358. в1в(ав1в(ых)) ж аюх — " при )аогх) ( 0,1. зэс "-*'%=хо ° ~ч го ого хаем*=в ° ° ~Ч г . зз ) = мгмчаФ=~'" ° ° ~Ч г гг 362.
Пусть Е удовлетворяет уравнению Е'(х) = Е'( Е(х)), где г" — известная, достаточное число раз дифференцнруемая функция. Пусть 1(х + Л) — 1(х) Тогда Е(х+Л) — Е(х) ЛЕ(Е(х)). Оценить /Е(х) — Е'(х)/, где Е" --- удовлетворяет уравнению Е (х + Л) — Е*(х) = ЛЕ (Е (х]). 363. Пусть У удовлетворяет уравнению Е'(х) = Е'(Е(х)), где Е' — известная, достаточное число раз дифференцируемая функция. Оценить (Е(х) — Е'(х)(, где Е' удовлетворяет уравнению (х + ") + 4Е'(х) - 5У*(х - Л) = 2Л(2Е(Е*(х)) 4 р(Е (, „)) Используя разложения 1 — Ч, найти следующие пределъс г *-о -о ыг1оэг1 1 о го о ~ 10. Экстремум функции.
Наибольшее и наименьшее значения функции 10.1. Экстремум функции. Определение. Пусгзгь функция Е определена всюду в некоторой окрестности точки с. Будем говорипгь, чпго функция Х имела в птчкс с локальный максимум (минимум), если найдется такая окрсспгность пгочки с, в пределах которой значение Е(с) мвммстсм наибольшим (наименьшим) среди всех других значений эптй функции. Локальный максимум н локальный минимум объединяются общим названием эксгпрсмум. 10.2.
Необходимое условие экстремума. Если функция дифференцнруема в точке с и имеет в этой точке экстремум, то Е'(с) = О. Определение 1. Корни уравнения Е'(х) = 0 назьтаюпгся спзационарными точками функции Е. К точкам, подозрительным на экстремум, следует отнести и такие, в которых производная функции Е не существует. Определение 2. Спзационарныс очочки и пгочки, в копгорых производная функции нс Существует, называютсм критическими пгочкам и Этой функции. 110. Экстремум функции 183 10.3. Достаточные условия экстремума. Первое праевло.
Пусть функция Х дифференцируема всюду в некоторой окрестности точки с, за исключением, быть может, самой точки с, и непрерывна в точке с. Тогда, если в пределах указанной окрестности производная у положительна (отрицательна) слева от точки с и отрицательна (положительна) справа от точки с, то функция ! имеет в точке с локальный максимум (минимум). Если же производная у' имеет один и тот же знак слева и справа от точки с, то экстремума в точке нет. Второе правило. Пусть функция у имеет в данной точке возможного экстремума конечную вторую производную.
Тогда функция у" имеет в точке с максимум, если У'~(с) < О, и минимум, если 1 "(с) > О. Третье правило. Пусть и — некоторое целое положительное число и пусть функция у = г(х) имеет в некоторой окрестности точки х = с производную порядка и — 1, а в самой точке с — производную и — го порядка. Пусть в точке х = с выполняются следующие соотношения: у'(с) = 1' (с) = ... = у " ' (с) = О, у " (с) г.
О. Тогда, если в — четное число, то функция у = 1(х) имеет локальный экстремум в точке с, а именно: максимум, если 1!"!(с) < О, и минимум, если )00(с) > О. 10.4. Абсолютный экстремум. Наибольшее (наименьшее) значение непрерывной на сегменте [а, Ь] функции у постигается либо в критической точке этой функции, либо в граничных точках а и Ь этого сегмента. Исследовать на экстремум следующие функции: 154. Х!х~-~хм(1 — х)", гбао, т, лба.
Я Находим производную функции 1 И прнравинваем ее к нулю ~ (х) = (т+ н)х--'(1 — х)"-' ( — — х) = О. (ш+и Корни этого уравнения х! = 0 (ьч > 1), хз — — 1 (и > 1), хз — — — будут стационарными точками. Проверим достаточные условия. Пусть 0 < е < — „. При ш четном 1'( — е) < О, у~(е) > О, следовательно, в точке х! = 0 функция у' имеет минимум, равный нулю.
Аналогично для точки хз = 1: прн и четном г"'(1 — е) < О, у'(1+а) > О, поэтому функция Г" в этой точке имеет минимум, равный нулю; при и нечетном у'(1 — е) > О, у'(1+ с) > О, т. е. экстремума нет. Наконец, для точки хз = — имеем .!. э у' ( — ) > о, у' ( + ) < о. Таким образом, в точке хз функция у имеет максимум гл '1 ш и" ( и! + и) (тп + и) Случай, когда хо = 1 (я = 1), предлагаем читателю рассмотреть самостоятельно. ы ! з 155. у: х ~-~ х з (1 — х) з, х б Н. м Приравнивая к нулю производную данной функции, находим стационарную точку х! = ! ! з' —.
В точках хз = 0 и хз = 1 конечная производная не существует. Пусть 0 < е < —, тогда, ~'(- — с) > О, Х' (-+е) < 0; У'( — е) > О, У'(с) > 0; ! (1 — е) < О, у' (1+ с) > О. ! ! згСледовательно, при х! = - функция имеет максимум, равныи — зг4. При хэ = 0 экстре! з зг мума нет, а при хз = 1 функция имеет минимум, равный нулю. ° ! 156. у ! х ~ с ~*~ (т!2+э!в -1, х ~ О, и г(0) ж О. х.
) 134 Ггь 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной ш Исследуем знак приращения функции у в точке х = О. Имеем 1 2т1(0) = е Ы~ (ъ'2+ з1п — ) > 0 при всех х ~ О. Следовательно, функция имеет при х = 0 минимум, равный З (0) = О, При х ф 0 рассмотрим уравнение у (х) = О. Очевидно, 11 : х ~ х е И~ ~(э/2+и1п — ] зйпх — соз-), х ф О. получаем точки, подозрительные на экстремум: (г' ('-) = 0); хг = 1; хз = 2 (пропзводная не существует). Сравнивая между собой отсюда з хг =— г числа Х(хг) = —, У(хг) = О, Х(хз) = 0 (( — 10) = 132: Д(10) = 72, 1 4 приходим к выводу, что наибольшее значение функции равно 132, а наименьшее равно О. Ш 160.
Найти точную нижнюю ((п1) и то иную верхнюю (зпр) грани функции Х: х е е соя х на интервале ] — ею, +ос[. Ш Принимая во внимание четность функции у, рассматриваем ее на полуинтервале х ) О. и е': — ут ' я — Ч,, * .,=,=/феи Й Е и'и, подозрительны на экстремум. Сравнивая числа -э'- . Х(0)=1, У(хи)= — о 4 .
ОЕЯо, 1пп Я(х)=0, че2 заключаем, что 1 пН ге(х) = — е и — «*4,Д зпр Д(х) = 1.  — <и<4 1+б 161 ° Определитын1'Х(Д н зпрЯ) функции г: б е на интервале ]х, +со[. 3+ иег ш По производной у~: б е ~ ~ находим точки, подозрительные на экстремум: РтггЗг — 3, бг = 1. ',Затем из чисел у( — 3) = — „-, г"(1) = —, 1Зпг у'(б) = 3'— -т, йщ у(б) = 0 выбираем 1 ЕО Э+ 1-4 наибольшее и наименьшее. Поскольку ]з1п — + сои -~ < Я, то производная при переходе через точки, в которых она и ! обРашаетса в нУль, знака не менЯет, позтомУ дРУгих экстРемальных значений, кРоме Уиии = 1(0) = О, функция не имеет.
ш Найти экстремумьи слецующих функций: 157. )': х е агс1д х — — 1п(1 + х ), х Е И . 1 г 2 ° Производная у': х и, ~'", = 0 при х = 1. Поскольку ('(1 — е) > О, а у'(1+ е) < О, и 0 < з < 1, то в точке х = 1 функция имеет максимум, равный — — — !л 2. 158. (:х ]х]е И ~, хЕ1<. Ш Из выражения для производной 1': х е е ~ ~ здп х — [х[е ~ г здп (х — 1), х ф О, х ф 1, видим, что точки хг = — 1, хг = 0 н хи = 1 подозрительны на экстремум. О наличии экстремума и его характере судим по знаку производной при переходе через точки х, (г = 1, 2, 3). Имеем г'( — 1+ с) < О, у'( — 1 — з) > 0 (максимум, равный е г); 1'( — е) < О, 1'(е) ) 0 (минимум, равный 0); )и(1 — е) > О, г '(1 + и) < 0 (максимум, равный 1) (з — достаточно малое положительное число).
Ш 159. Найти наименьшее и наибольшее значения функции у: х е-е ]х — Зх+2] на сегменте [ — 10, 10]. ш Находим производную 1": г ~ (2х — 3)здп(х — Зх+2), х ф1, я~2; 4 10. Экстремум функции 185 Пусть х ( 1. Тогда 4'» ( —, и звр у(у) = г(1) = 2. Если х > 1, то зпр 1(4) = <1<42» 1«*4<4 1+ —. Следовательно, 3 .!. 2 звр у(С) = *<2<+ х(1, з+ ' УЫ) = --,' и »п1 ХЯ) = —,. з+ '' О и »п1 2(С)=0 . <1<4 Пусть х ( — 3. Тогда —, > — — и »л1 1 -!- 1 3.!- 22 б Пусть — 3 < 2 < -1. Тогда — — < — ' ( 0 1 1.1-. з+*» Наконец, если х > — 1, то 2 2» -.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
