Anti-Demidovich (Lyashko I.I., i dr.). Tom 1. Vvedenie v matematicheskij analiz, proizvodnaja, integral (2001)(ru)(T)(358s) (940506), страница 37
Текст из файла (страница 37)
имеются перегибы (прн переходе через эти точки вторая производная меняет знак). ,гоь поэтому требуемое значение 6 получим нз равенства ~ = о) т ~ь = ), о > О. и 162 Гл. 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной 111. Пусть функция х' дважды дифференцируема в промежутке а ( х < +со, причем; 1) 1(а) = А ) 0; 2) 1" (и) < 0; 3) 1" о(х) ( 0 прн х ) а. Доказать, что уравнение у(х) = 0 имеет один и только один действительный корень в интервале ]а, +со[. ч По формуле конечных приращений Лагранжа при х > а получаем 1(х) = А+ (х — а)1 (61(г)), а < 61 < х, (') 1 (х ! = 1 (а) -1- (х — а)1 (сг(х)), а ( сг ( х. (2) Из условия 1 (бг) < 0 следует, что 1 (х) < 0 при х ) а, поэтому функция 1 убывает на интервале ]а, -6оо[.
Иэ формул (1) и (2) находим Г(х) = А+ (х — а)~'(а) + (х — а)(Ь1 — а)~и(62(61)). (3) В силу условий ~'(а) < О, 1' ~(бг(61)) < О, из формулы (3) следует, что при достаточно болыпом хо ) а значение функции отрицательно. Поскольку функция 1" непрерывна на сегменте [а, хо], то по теореме коши о промежуточных значениях существует такое хг к]и, хо[, что 1(хг) = О. Функция 1 не может обратиться в нуль ни в какой иной точке, отличной от хг, так как убывает на интервале ]а, +ос[, !ь 1 12. Функция 1' называется выпуклой сниау (сверху) на интервале ]а, 6[, если для любых точек х1 и хг из этого интервала и произвольных чисел Л1 и Лг, Л1 > О, Лг > О, Л1+Лг = 1, имеет место неравенство )(Л1х1 + Лгхг) < Л1ПХ1) -~- Л2Л(хг) (илн соответственно противоположное неравенство 1 (Л1хг -!- Лгхг) > Лгг'(хг) + Лгг (хг)).
Доказать, что функция Г выпукла снизу на ]а, 6[, если )" (х) > 0 при а ( х < 6, и х' выпукла сверху на ]а, 6[, если Го(х) < 0 при а < х < 6. М Пусть |о(х) > О, х б]а, 6[, н пусть Л1 > о и Лг > Π— произвольные числа, удовлетворяющие условию Л1 + Лг = 1. Если хг и хг — любые точки интервала ]а, Ь[ и хэ < хг, то точка Лгхг + Лгхо, очевидно, лежит между ними. По формуле Лагранжа имеем ~(Л121 -6 Лгхг) — э'(хг) = Лг(хг — х1)хэ(сэл), (1) где хг < 41 ( Лгх1 + Лгхг, и хэ(гг) — Г(Л1 х1 -!- Лгхг) = Л1(хг х1)Х (Ьг), (2) где Лгхг+ Лгхг < 5 < хг.
Умножая левую и правую части равенств (2) и (1) на Лг н Лэ соответственно и вычитая из первого полученного равенства второе, находим Лгу(хг) + Л11(х,) = 1(Лгх1 + Лгхг) + Л1Л2(хг — хг)1 (Сз), (3) где Сг < бз < бг. В силу условий Л1 > О, Лг > О и Го(бз) > О, имеем Л21(хг) + Л11(хг) > 1(Л1 хг+ Лгхг), т. е. Г выпукла снизу на ]а, 6[.
Если же )"(х) < 0 на ]а, 6[, то функция 22 1 х еэ - Г(х) по доказанному выше выпукла снизу на ]а, Ь[, в силу чего имеем Л! 22(Х1) + Л2р(Х2) ) 22(Л1Х1 + Л2 Х2) откуда л11(хг) + лг)(хг) < 1(л,х1 + лгхэ). полученное неравенство показывает, что 1 вы- пукла сверху на ]и, 6[. !е 113. Показать, что функции 121 1 х е х" (а > !), 222: х 1 е*, 1ог: х 1 х!их, х > О, выпуклы снизу на интервале ]О, +оо[, а функции 41 . х еэ х (О < п < 1), 262 .
х е !и х выпуклы сверху на интервале ]О, -!-оо[. М Дифференцируя дважды данные функции, находим (х) — п(в 1)х 222 (х) = е ез (х) — Р1 (х) в(а 1)г лог (х) х х2' При х б]0, +со[ илгеем 121о(х) ) О (1' = 1, 3), ОЬлб(х) < О (6 = 1, 2), поэтому, на основании ре- зультата, полученного при решении предыдущего примера, можем утверждать, что функции 1оэ выпуклы снизу, а функции 1111 выпуклы сверху на интервале ]О, +со[. М 163 17. Направление выпуклости графика функции 114. Доказать, что ограниченная выпуклая функция всюду непрерывна и имеет односторонние левую и правую производные. ° Предположим для определенности, что функция у выпукла снизу на интервале ]а, Ь[. В силу ограниченности г" на ]а, Ь[, Зс > О такое, что [г(х)[ < с.
Пусть хо Е]а, Ь[ и приращение аргумента Ь > О в этой точке взято такое, что точки хо — й и хо+ й также принадлежат ]а, Ь[. Поскольку 1" выпукла снизу, то справедливо неравенство У(хо + Ь) +г(хо — Ь) > 2г(хе), которое перепишем в виде ~(х) — 1(хз — й) < у(хз + й) — 1(хз).
Из неравенства (1) получим систему неравенств 1(хо — йй) — У(хо — (й + 1) Ь) < г (хо + Ь) — Х(хо) < < [(хо + (й+ 1) Ь) —.У(хо + йй), й=б,п — 1, (2) при условии, что точки хз — (й -Ь 1)й, хо + (й + 1)й (й = 1, и — 1) принадлежат интервалу ]а, Ь[. Суммируя неравенства (2) по й ат О до а — 1, приходим к неравенству Дхз) Х(ха — ггй) у(хо + пй) — У(ха) (3) и и из которого, принимая во внимание ограниченность функции 1, получаем [)'(хз -Ь й) — 1"(хо)[ < —. (4) и Каким бы ни было е > О, при всех и > 1 — '] имеем Гг (8) [У(хэ+ й) - 1(хз)[<., если Ь удовлетворяет условию (Ь вЂ” ха хо — а ~ Непрерывность функции г" в любой точке интервала ]а, Ь[ доказана.
Докажем существование односторонних производных функции. Пусть й > Ьг > О. Тогда справедливы неравенства Х(хо + Ь,) — у(хо) у(хо + Ь) — Х(хо) Х(хо — йг) — Дхо) У(хо — й) — Х(хо) а) < й , б) > В самом деле, записав йг = дй, О < 9 < 1, видим,что неравенство а) эквивалентно неравен- ству д)'(хо + й) + (1 — д)Х(хо) > Х(хо — Ьг), а неравенство б) эквивалентно неравенству духо — й) + (1 — д)У(хо) > г'(хо — йг), каждое из которых справедливо в силу выпуклости снизу функции Г.
т„,, ~„,,ф„„„„ г г., ь числом — — „', а функция и: Ь, возрастает при й +О и ограничена сверху гг числом —. Поэтому существуют пределы ьг ' йш 1г(й) = Х+(хо), 1пп ф(й) = У' (хо). М 11 5. Доказать, что если функция у' дважды дифференцируема в бесконечном интервале ]хо, +ос[ и 1пв у(х) = О, Ьйп 1"(х) = О, то в интервале ]хо, +со[ имеется, по меньшей — ьаз г-+с мере, одна такая точка у,что у (8) = О.
м В силу выполнения условий задачи 81, в интервале ]хо, +оо[ ЛЬг такая, что г'(бг) = О. Поскольку у'(х) = о(х) при х +со, то на основании решения примера 93 заключаем, что йш ]г '(х)[ = О. + Тогда, в силу примера 81, в интервале ]бг, +ос[ Вб такая, что ~о(б) = О. М 164 Гл. 2, Дифференциальное исчисление функций одной переменной Упразкнения для самостоятельной работы Найти интервалы выпуклости следующих функций: 254. г: х ь (1+ ха) з + х. 255. г': х ь-з агссоз —, +Зх — 8. 256. у": х н -г;=== — 5г 257. ь": х зо — ' — 1+ Зх. 7з.з-ь ' ' ь+.
253. У ь Х У, х = (Г+ 1), у = (1 — 1) . 259, У': Х з У, х = з1ь 1 — 1, у = с(ь1 — 1. 260. зз: Х У, х = 11п 1, у = — бьц — Зтг. 1 ь 261. Ь:Х У,х=(1+1)ь,у=(1+Г) ь. 262. у:Зз~ ь,о<р< —, 263. У: ььз ь р = Зз — у~, Зз ~~ О (р, Зз — полярные координаты). 264. Исследовать направление выпуклости графика функции Г . Х У, заданной неявно уравнением х — у — Зх у — Зу+ 1 = О в окрестности точки М( — 1, О). з з г 265. Исследовать на перегиб в нуле графики следующих функций; ] х зьп-, х~б,, ( х соз-', хфбь а) г': х б) ь":х~ х = О. 266.
Пусть )' — выпуклая снизу на интервале ]а, 6[ функция. Доказать, что гдеа<хз<хг« ., хз=6,а>2. Используя неравенство предыдущего примера, доказать неравенства: 269. а) 1" +2" + ... +а >и( — "), о>1, пб1ь1; ь ь 270. з ~" ~ > (з~з~ ) з, х > О, у > О, з ) О, х ~ у, х ~ з, у ~ з, зь ) 1. Доказать неравенства. ь ь.-ь 271. ~ (: —,) — > — при зь > по > 1. 6ь Указание. Использовать выпуклость вниз графьзка фуикпви 1 у: —,, > о. з 272.
2, .з >Опрнб<х<зг. з=ь Указание. Рассмотреть функцию г' ь х ь-ь 2 — „' при о < х < х. з. з=ь 273. Доказать, ьто сумма конечного числа функций, выпуклых вниз, есть функция, выпуклая вниз. 274. Доказать, что функция У': х ь-ь 1пп У (х), х Е]а, 6[, тле ь"ь,,ьг, -., У, выпуклые вниз на ]а, 6[ функции, является выпуклой вниз функцией.
275. Доказать, что если: 1) р, ) О и рь + рг + ... + р > О, 2) функция ь' непрерывна и выпукла снизу, то ь (~З зюз- з .зш зь+лз+ +р / ~ гьоьзО" +з (неравенство Иенсеиа). 276. Доказать, что если функция ь" ь] — оо, +со[ вЂ И непрерывна и выпукла снизу, то Лььзь х ь ах + 6 (а, 6 Е И) такая, что ьзх Е ] — оо, +ос[ справедливо неравенство ь'(х) ) ах+ 6.
188! 3 7. Направление выпуклости графика функции 277. Число Л б Й называется е»аорым производным числом Шварца функции 1 в точке х, если 3(е ) такая, что !пп еь = О, е > О, и ь Л = рп»» -т(1(х+в„) — 2»(х)+1(х — е„)). Доказать, что если все вторые производные числа Шварца непрерывной функции у нрохрицательны, то эта функция выпукла вниз.
278. Доказать, что если »" — выпуклая вниз функция такая, что а ( 1(х) ( 6 вх б [а, 19], и 6 возрастающая выпуклая вниз функция, определенная на [о, »д], то сложиал функция у: х ! 6(1(х)) также является выпуклой вниз. 279. ДОКаэатЬ, Чта ЕСЛИ 1», уз,, уь — ВЫПУКЛЫЕ ВНИЗ фуНКцИИ На ]а, 6[, та фуиуцня )'! х» шах Д(х) также вь»пукла вниз на ]а, 6[. !« 28О. Если: 1) функция »" »] — оо, +со[ Н выпукла вниз; 2) г(х) > О»1х ~ О; 3) Зр > 1 ! такое, что »(дх) = дву(х), х б] — оо, +оо[, и гд ) О, то функция 6 ! х »-» (У(х))!' является выпуклой вниз на ] — схь +со[. ь 281. Пусть д, > О, а, > О (» = 1, 6), ~ д, = 1.
Доказать, что =! ь» и; я"' =! .=! Отсюда, в частности, вывести, что а"6' < да+ (1 — д)Ь Уа„Ь > О (О ( д ( 1). 282. Положив в предыдущем примере ! »-в у! х,е а = » Е хв »-е »=1 получить неравенство Гельдера для сумм ху ( ) хе ~ у! где х! ) О, у! > О. 283. виславе»! ебласп»ью постоянной матрицы А = (а,!), где а»! б С, », 1 = 1, »», называе»ся множество всех комплексных чисел вида 2,' а„х,х„~ ~х»[ = 1, =»»=! где х! = о! +»4в, о„»д! б К (» = — 1). Показать, что для любой матрицы А граница числовой области С на комплексной цлоскости - является выпуклой замкнутой кривой, т. е, отрезок, соединяющей любые две точки кривой, погружен в Н, 286.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
