Anti-Demidovich (Lyashko I.I., i dr.). Tom 1. Vvedenie v matematicheskij analiz, proizvodnaja, integral (2001)(ru)(T)(358s) (940506), страница 40
Текст из файла (страница 40)
А Доказать, что !у (х)! < — 'гх Е [О, 1]. м По формуле Тейлора имеем г У(0) = 1(х) — хУ'(х)+ Гл(бг) —, 0 < бг < х < 1; 2' (1 х)г 2 откуда гй Х(х) =-, У (0) — Ул(бг)~ ) ), О < <1. 2 з 2 Оценивая зто равенство по абсолютной величине, получаем !~'(х)! < — „(2х — 2х+ 1), 0 < х < 1. Но так как О < 2х — 2х+ 1 < 1 при 0 < х < 1, то !у"(х)! < —, что и требовалось доказать. !ь 140.
Пусть Х вЂ” дважды дифференцируемая на ] — оэ, +оо[ Функция и Мс = вцр ф 1(х)] <+ос, й = О, 2. « + х+ 3 137. Функцию Г: х ь-~, х Е] — оо, +ос[, разложить во формуле Тейлора с 3+ха' остаточным членом в форме Лагранжа. Разложение вести в окрестности точки хэ = 1 и найти первые три члена разложения. М Искомое разложение имеет вид .Г(*)=Л~)+Х'(~)(*- )+ — „( — ) + „— (х — 1), <6<1. г' (1) г У (1+6( — 1)) з Найдем значение функции и ее производных в точке х = 1. Имеем У(1) =1, Х'(1) = — —, Хл(1) = --. 16' 4 8 9. Формула Тейлора Доказать неравенство Мг < 2МОМ2. и По Формуле Тейлора имеем 2 2 (ха) = ((х) + вг (х)(ха — х) + ~' (Р) откуда !х — х! 2 !Х(ха)! < !Х(х)!+ !( (х)!!ха х!+ )Х (6)!, < Ма+ Мгу+ Мг —,, у = !ха — х!, Поскольку Ма + 2ПУ+ — 'Мгуг ) 0 при всех у, то Мг < 2М0М2 141.
С помощью формулы Тейлора приближенно вычислить: ' а) вгп18'; б) агс18 0,8. м а) Согласно формуле Маклорена с остаточным членом в форме Лагранжа, о . х 'г 1 х 1 х 01в18' =вы — = — — —. — + — — + Лт, 10 10 6 102 120 100 г где !112! < — „и„. Итак, / хг хв 'Г ~ 9,8696О4 (9,869604)2 ) + 1О [,1 60О рг.1Ов) — 3 4'89 [,1 ГОО 12 -100 ) 0,314159(1 — 0,016449 + 0,000079) 0,31)9017.
б) Применяя формулу Тейлора, имеем при ха = 1 агс080,8 = агс18(ха — 0,2) = агсгдха — (агс08х) ! =, 0,2+ — 0,04(агс18х) ! =,— 0,008 (аыг8 х)0'! —, — — 0,1 — 0,01 — 0,00066 0,67474. 6 Поскольку (агсгд х)1~1/авва = О, (агс08 х)00!„-в = 24 — —,4 г ф- < 12 при 0,8 < 6 < 1, то по формуле остаточного члена в форме Лагранжа получаем оценку погрешности !77! < —,(О,г) < 3,2 1о '. в гсов Цг +21~,, г ег л "+ < л < 10-0 (2в+ 2)! г~го/ 202"+2(2в+ 2)1 откуда в ) 2. Таким образом, сов 9' 1 — — ! — ) + — ( — ) 0,98769.
г (,го) 4) (,го) х ) О, разложим по формуле Тейлора в окрестности точки б) Функцию 7: х ь .„Гх, ха =4: 1 г угх = 2+ -(х — 4) — — (х — 4) 4 64 п=2,3, + —,(х — 4)' + .. + 1 3 512 ( 1)в — (ги 3)н + з "(х — 4)" + и +2(х) где (2в — 1)!! ( — 1)" (х — 4) "+ ( ) (и+1)~гввг(4+9(х — 4))0+00' 142. Вычислить: а) сов 9' с точностью до 10; б) Л с точностью до 10 м а) Определим число членов разложения Функции косинуса по Формуле Маклорена для достижения заданной точности. Его можно получить из оценки остаточного члена в форме Лагранжа. Так как 0 < 6 = 9 — < — х = —, то 20 20 ~ 20 ' 178 Г24. 2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной Полагая в разложении х = 5, получаем Л = 2+ — — — + — + ... + ( — 1)",,„," + 17 ег(ц Из условия О (Лещ(5)( <,,"~, < 18- (44 4 1)~22 +г находим, что и > 4.
Тогда из (1) следует ъ'5 2+ — — — + — — — = 2,236022 .... и 1 1 1 5 4 64 512 244 Используя разложения 1 — У, найти следующие пределы: 2 соз х — ехр ( — — ) 143. 11щ 2-О х4 М Применяя разложения 1 н П1, получаем сов х — екр (- — ) Г г 2), 1 4Г х х йп — 1гп4 1 + + х О ха Ох'1 2 24 144. 1пп (322хз+ хг — ~/хз — х'). М Преобразовав выражение, находящееся под знаком предела, и применив разложение 1Ъ', имеем 1 1'~ йш ('~ ХО + хз — 4„гх4 — хз) = йгп х 1 -1- — ) — (1 — — ) Ф Е44 х х = Йп х (1+ — '+ О (-') — (1 — —,' + о Н) ) = -'.
В 145 1;щ1 (..ьх) О т М Пользуясь представлением и" = еа и ", и > О, и разложениями 1, Ъ', находим -3 *«*м44*х 1 — (1+сйпх1псозх+О(х )) х О х О хг 1всоах . 1п(1 Огв х) 1, Бгп х+О(х ) 1 = — ! пп = — 1пп, = — Бгп 2 -О х" а Ох 2 О хг 2 146. ы = 1пп х '(з)4(гдх) — х). х О И Здесь применяем разложение 1, а также используем разложение 18 х = х+ — + О(24). з Имеем 18 х + — 18 х + О(х ) — х х + — + О(х ) + — + О(х ) — х гх = 1пп = 1пп з О хз -о хз 2 х О величины у определить главный член вида Сх" (С— разложение 2 4 17 г 3 гдх=х+ — ч- — х + — х +О(х), х О. 3 15 315 Для бесконечно малой при постоянная): 147.
д = 18(я1в х) — гл(28 < Прежде всего установим х х о(х ) — 1 — —,+ — +О(х ) 2 8 ( 1 О(х)1 1 =1щ( +, ~1- — ° =О 12 х' ) 12 6 9. Формула Тейлора 179 2 -- 1.з 3 ь 5, 7 ! 3 Вбх = мах(1 — яп х) 2 = япх+ —,яп х+ — яп х+ — вш я+о(х ) = 2 8 16 х х х 1 1 х х 1 ' х ' 5 7 в з ь 7 / з 5'53 7' 3'75 =х — — + — — — +-(х — — + — ) +(х — — ) + — х +о(х)= 3! 5! 7! 2 11 3! 5! ) ~ 3! ) 16 х 2 5 17 7 в з =х+ — + — х. + — х +о(х ), х-70, 3 15 315 формулу, а также упомянутые разложения, полу- что и требовалось доказать.
Используя зту чаем япх2,в 17 16~к у = 55(япх) — яп(ьбх) = япх+ — + — яп х+ —,яп х — вбх+ 3 15 315 6 7 3 5 7 / 3 5 3 Вбьх 36 х в х хь х 1 / хз хь'т 2 / хз71 + (ив) / 1 / ! + 5! 7! 3! 5! 7! 3 (Ь 3! 5! ) 15 ~, 31 7 17 7 хз 2 5 17 7 1 / хз 2 + — х — х — — ' — — х' — — х + — х+ — + — хв 315 3 15 315 6 ~ 3 15 3, 5 7 в в — — х + — ) + — + о(х ) = — + о(х ), 120 ( 3,/ 71 30 ОтКУДа СХо = ЗВ . СЛЕДОВатЕЛЬНО, С = 3„, И = 7. М 148. у= (1+х)* — 1.
я Применяя разложения ! и Ч, получаем 2 у=в*~1+ ! — 1жх!п(1+х)+о(х )=х х — — +о(х ) +о(х ) =х +о(х ), х О. 2 Итак, Сх" = х . Следовательно, С = 1, и = 2. м 1 149. у =1 — ( е х-70 я Используя формулу з" = е" '" ", и > О, а также разложения Ч и 1, находим 71 / хз у = 1 — екр 7( — 1п(1 + х) — 1) = 1 — екр — (Ьх — — + о(хз) ~х ) ~х(ь 2 х 7 х х = 1 — ехр ) — — + о(х)) = 1 — (1 — — + о(х)) + о(х) = — + о(х), х 0; 2 ) (, 2 ) 2 х, 1 Сх" — — — ', С= —,, и=1.
М 2' 2' 150. Подобрать козффициенты А и В так, чтобы при х 0 было справедливо равен- ство 1 -!- Ахз «бх = + 0(х ). х -1- Вхз я Имеем сов х 1+ Ахз свбх = — '= ' +0(х ), 51пх х+ Вхз откуда (х + Вхз) соз х = (1 + Ах ) яп х + 0(х ). Используя разложения П и П!> получаем 2 7 з ь (х+ Вх ) 1 — —, + —, + 0(х )) = (1+Ахз) ~ х — — + —, + 0(х ) + 0(хт), откуда 3 5 5 3 5 х х 7 З 7 з .Аь 7 х — — 4- — 4.0(х )+ Вх —  —,=х — — '+ — +0(х )+Ах — — х +0(х ). 2! 4! 2 6 120 6 Действительно, представляя 36 х в виде яп х(соз х) ' и используя разложения П вЂ” !Ч, полу- чаем 180 Гл. 2.
Днфференциалъное исчисление функций одной переменной — —., откуда А = --, В = — —. м л, г е з !з' и Р справедлива при х 0 асимптотическая 1 1 1 Я 1 Следовательно, — —. + В = Л вЂ” —., — — — =— 1 е г! г !го 151. При каких коэффициентах А, В, С формула 1+ Лх+ Вх2, з 1+ Сх+ Рхг Ч Имеем е'(1-9 Сх-9 Рх!) = 1-9 Ах+ Вх + О(х ).
2 З 3 Поскольку е = 1+ х+ — ', + —, 4- —, + О(х ), то нз (1) получаем с 2 3 ! 1+:е+ — + —, +,—, + О(ха) (1+ Сх+ Рх ) = 1+ Ах+ Вх + О(хз), 2 6 24 откуда, записывая в разложении члены до х включительно, находим 2 гзхСзР!хС!х 2 з ! 2 ! 1+Сх+Рх +х+Сх +Рх'+ — + —,х + — х + — + — х + — '=1+Ах-!-Вх +0(х ). 2 2 2 6 6 24 Отсюда, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, приходим к системе уравнений! Р С вЂ” + — + — =О, 2 6 24 С С+1=А, Р+ — -~- — =О 2 решив которую.
получаем 1 ., 1 1 В= —,, С= — —, Р= — —.ь 12' 2' 12 Л= —,, 1 Г ( 1+х , 1 †— — ~( — =(1+2)з(1 — х) з — (1 — е)з(1+2) з = 1 — х (1 1+х г 21/ 1 2 = (1+ -х — -х -1- о(х )) (1+ -х + -х + о(х ))— 3 9 3 9 1 1 г г.'з / 1 2 г 2-1 4 4 — (1 — -х — -х + а(х )) (1 — -х+ -х + о(х )/! = -х+ о(х ) -х. .1 9 ) (! 3 9 ) 3 3 б) Применяя разложение Ч, приходим к приближенной формуле 1п 2 1п2 100 1л 2 70 1п (1+ — ) — ' — '+ о(хг) х х /1 х 153. Вектор-Функцию Г: х ! (-, —, а!с!Ох), х Е И!1(0, — 2), разложить по целым '1х' х + 2' г положительным степеням бинома х — 1 до члена с (х — 1) включительно.
М Искомое разложение может быть получено в результате применения формулы Тейлора для вектор-функции (см. пункт 9.4): Г(х) = Г(1) + Г'(1Н* - 1) + †,' Гл(1)(. — 1)2 + П' 2 Поскольку Г(1) — (1, —., -), Г (1) — ( — 1, —, -), Г (1) — (2 —, — -), то / 2 11 У(х) = (1, †, -) + (- , †, †, ) (х — 1) + (1, --, — -) (. — 1) + Вз ':1'4) 1 '9'2) 27' 4) где Кз — остаточный член в какой-либо форме. м 152.
Считая !г~ малой величиной, вывести простые приближенные формулы цля следу- ющих выражений! ),/~+* 1аа м а) Пользуясь разложением 1Ч, получаем 8 9. Формула Тейлора Упражнения для самостоятельной работы 181 Разложить по формуле Тейлора следующие функции: 330. г: х и (илх)"о, х > О, в точке хо = 1 до члена с (х — 1) включительно. Остаточный член взять в форме Пеано. 331.
1: х о 18(х+ хг) в точке хо = 1 до члена с (х — 1) включительно. Остаточный член взять в Форме Пеано. 332. у: х и — ", х > О, в точке хо = 1 до члена с (х — 1)' включительно. Остаточный 1 з чп ' член взять в форме Пеано. 333. 1: х и хе ", х 6 Й, в точке хо = 2 до члена с (х — 2) включительно. Остаточный член взять в форме Лагранжа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
